1.3 用反比例函数解决问题（2） 导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用反比例函数解决问题（2）”，通过知识回顾复习反比例函数表达式、图象及性质，结合三角形面积、煤烧天数等基础题搭建支架，引导学生从旧知过渡到实际应用情境。 资料以工程、经济等现实问题为载体，引导学生经历抽象反比例关系、构建模型的完整过程，培养模型意识与应用意识。例题解析与分层检测结合中考题，助力提升运算能力和推理意识，促进学生用数学语言表达现实问题。

1.3 用反比例函数解决问题（2） 学业质量要求： 1.能够识别实际问题中的反比例关系并建立反比例函数模型，熟练运用函数表达式、图象与增减性质解决工程、经济、物理背景下的实际问题，提升数学建模、数形结合与代数运算推理能力。 2. 经历从现实情境抽象函数模型、列式求解、结合实际检验结果的完整过程，体会函数模型的应用价值，发展数学建模、直观想象核心素养，学会用函数视角分析现实数量问题。 学习重点: 从实际情境中提炼反比例关系，构建反比例函数模型，利用反比例函数的表达式与性质解决实际应用问题。 学习难点: 结合现实意义确定自变量取值范围；运用反比例函数增减性处理不等式类实际问题. 学习过程： 一、问题情境 1.知识回顾 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为 . 函数对称性 函数图象的两支曲线关于 成 对称 图象所在象限 第 、 象限 第 、 象限 函数变化趋势 在每个象限内，y随x的增大而 . 在每个象限内，y随x的增大而 . 2.已知一个三角形的面积是6，它的底边长是，底边上的高是，则与的函数关系式是 ；若=3，则=_________；若=6则=__________． 3.某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ ） A．（＞0） B．（≥0） C．y＝300x（≥0） D．y＝300x（＞0） 二、例题学习 例1 某图书馆要对一套共2400页的古籍进行数字化扫描． （1）完成扫描的时间t h与扫描的平均速度n页/h有怎样的函数关系？ （2）平均每小时应扫描多少页，才能保证在72 h内完成扫描任务？ 解：分析：（1）工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三个量存在的数量关系为： ；当工作总量一定时，另外两个量存在 关系. （2）本题中总页数(工作总量）为 页，扫描时间（工作时间）与扫描速度（工作效率）的关系为： . 例2 某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y元/个由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x个成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． （1）求y与x的函数表达式； （2）若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 分析：1.条件中“材料成本保持不变，加工成本与加工数量x个成反比例函数关系”说明了 ，可以设 ； 2.本题还有数量关系为： . 解： 归纳：（1）若两个变量y，x之间存在反比例函数关系，可以设 ； （2）若已知一个变量的值可以代入利用解方程求出另外一个变量，若已知其中一个变量的范围则可以利用不等式或者借助函数图象利用函数的增减性解答. 三、当堂检测 1. 某污水处理厂计划建造一个4×104m3的长方体蓄水池. （1）求蓄水池的底面积S m2关于其深度h m的函数表达式； （2）如果蓄水池的深度设计为5 m，那么它的底面积应为多少？ （3）如果考虑绿化及辅助用地的需要，蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么它的深度至少应为多少（结果精确到0.01）？ 2.有一条长80 m 、宽2.4 m的路面，计划由两名工人用边长为40 cm的正方形地砖来铺设.设每名工人平均每小时铺地砖n块，两人合作完成此项工作所需时间为th. (1)求t关于n的函数表达式； (2)如果这两名工人要在14h内完成此项工程，那么每名工人平均每小时至少要铺设多少块地砖? 四、小结与反思 1.当遇到什么实际问题时我们可以考虑建立反比例函数的模型解决？ 2.若已知一个变量的值或范围时如何研究另一个变量的值或范围？ 五、课后作业设计 1．已知长方形的面积为20 cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边长为x cm，则y与x之间的函数图像大致是 ( ) 2．如果等腰三角形的底边长为，底边上的高为，则它的面积为定值S时，则与的函数表达式为 ． 3．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V＝200时，p＝50；则当p＝25时，V＝ ． 4.（26扬州）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 40 45 55 70 80 100 视野角度（度） 100 89 73 57 50 40 (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 课后作业设计参考答案 1.【答案】B 【知识点】反比例函数的实际应用、反比例函数的图象. 【分析】先根据长方形面积公式列出函数关系式，结合边长大于0，判断函数图象是反比例函数在第一象限的分支. 【详解】解：∵长方形面积等于长乘宽，面积为20， ∴xy=20, ∴, ∵长方形边长为正数, ∴x>0，y>0. 因此函数图象是反比例函数在第一象限内的双曲线分支，对应选项B. 2.【答案】(x>0) 【知识点】反比例函数，三角形面积公式 【分析】利用三角形面积公式变形，推导出y关于x的表达式，注意边长x>0. 【详解】解：∵三角形面积 ∴2S=xy ∴. ∵底边长大于 0, ∴x>0. 函数表达式为(x>0). 3.【答案】400 【知识点】反比例函数实际应用，求反比例函数解析式. 【分析】先设，代入已知数值求出k，再把p=25代入求V. 【详解】解：∵p与V成反比例, ∴设. 把V=200，p=50 代入，得 ∴k=10000, ∴. 当p=25 时，. 解得V=400. 4.【答案】 (1)如图. (2). (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即. 【知识点】反比例函数模型、描点作图与不等式应用. 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）如图. （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：. （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 学科网（北京）股份有限公司 $