精品解析：河北张家口市桥东区2026-2027学年上学期九年级数学学科学业水平质量监测

九年级数学学科学业水平质量监测（2026.9） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 2. 如图，在平行四边形中，，周长等于．则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形对边相等可得，，结合周长公式列式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长为40， ， ， ． 3. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 4. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 5. 盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过列举法求概率，通过列举法列出所有摸球的等可能结果，再找出“一个红球、一个黄球”的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设两个红球分别为红1、红2，两个黄球分别为黄1、黄2． ∵从四个球中随机摸出2个球的所有等可能结果为：(红1，红2)、(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)、(黄1，黄2)，共6种． 其中“一个红球、一个黄球”的结果有：(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)，共4种． ∴刚好是“一个红球、一个黄球”的概率为． 故选：D． 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在中利用勾股定理求得，最后由即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中 ， ∴． 8. 如图，在中，，点是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴． 9. 如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（ ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）． 10. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等求出，的长，利用线段垂直平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴, ∵垂直平分线段， ∴． 11. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，，，求出阴影部分和各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分和均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ∵轴，轴， ∴，， 由图可知，过，；过，；过，；过，， 设的直线解析式为， 将代入上式，则， ∴的直线解析式为； 同理可得另外三条直线的解析式分别为：，，， ∵直线与 的斜率均为 ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； ∴， 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； ∴阴影部分的面积． 阴影部分的面积． ∴． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中心对称图形的定义确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率. 【详解】解：由题意，总共有种等可能的抽取结果，其中菱形是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；正方形是中心对称图形； ∴符合条件的结果共种， ∴从中任意抽取一张是中心对称图形的概率. 14. 为了测量某小区地下车库立柱两条对角棱之间的水平距离，小明在空地上取一点，连接，，取，的中点，，连接．测得，则，之间的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断是的中位线，根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 16. 如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 【答案】（1）一；因式分解法 （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【解析】 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； 【小问2详解】 略． 18. 晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． （1）求晓红购买到与过道相邻席位的概率； （2）若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：因为系统是随机分配座位的，所以任何一种座位组合出现的可能性都是相同的，因此晓红购买到与过道相邻席位的概率； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则晓红和妈妈相邻而坐的概率是． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 20. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴，， 又 即， ∴ （2）四边形DBFE的周长为28cm 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据已知条件可得即可得证； （2）根据勾股定理求得，根据（1）的结论证明四边形DBFE是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∴， ，D是AC的中点 ， ∴， 中， ∴， 又且， ∴四边形DBFE为平行四边形． ∴四边形DBFE的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定以及中位线定理是解题的关键． 21. 如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出，则，再得出即可得证； （2）先求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 22. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】（1）2； （2）； （3）的最大值为18． 【解析】 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， 当时，有最小值； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 23. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，的长为20米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 24. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为、宽为的矩形纸片，由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方． 【探究】 （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边是________（填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展】在梯形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该梯形纸片． （3）如图3，将梯形纸片沿对角线折叠， ①=________； ②点的对应点能否落在边上________（填写“是”或“否”）； （4）如图4，将梯形纸片折叠，使点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与边，分别交于、两点，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①解：折痕如图所示： ②解：四边形是菱形，理由如下： 设与相交于点， 由折叠可知，，且， 又， ，， ， ， ， 四边形为菱形； （3）①；②是 （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）由图易知，进而可得； （2）①利用尺规作图，作的垂直平分线即可；②设与相交于点，根据题意可得，，且，再证，进而得到，即可得到四边形为菱形； （3）①过点作于点，证明四边形是矩形，得到，则，结合，即可求解；②根据题意可得，由①知，，推出，即平分，即可判断； （4）分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，再分别画出图形，结合轴对称的性质，矩形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由翻折可知， 又， ，即较长边是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图，过点作于点， ∴， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ； ②，， ， 由①知，， ， ， 即平分， 点的对应点能落在边上； 【小问4详解】 解：如图，当在左侧时，连接，，，过作于， ， 由翻折可得，，， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 解得， 即； 如图，当在右侧时， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科学业水平质量监测（2026.9） 本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 答题要求及注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上；准考证号用B铅笔涂在答题卡上． 2．选择题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净；非选择题部分，必须使用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写在答题区域内，超出答题区域书写无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，周长等于．则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（ ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 12. 如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分） 13. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是________． 14. 为了测量某小区地下车库立柱两条对角棱之间的水平距离，小明在空地上取一点，连接，，取，的中点，，连接．测得，则，之间的距离为________． 15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 16. 如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解： ……………第一步 或 ……………第二步 ， …………………第三步 （1）嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） （2）请用正确的方法解方程． 18. 晓红同学计划假期去剧场观看经典话剧《茶馆》，她用某购票软件在网上购买门票时，显示只可以购买剧场某区域某排中的席位，如图，网上显示阴影部分的座席已经售出，其余A，B，C，D，E五个席位由系统随机分配． （1）求晓红购买到与过道相邻席位的概率； （2）若晓红的妈妈也一同购票，用画树状图或列表法求晓红和妈妈相邻而坐的概率．（说明：在座位之间有过道不算相邻而坐） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 20. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 21. 如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 22. 配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求的最小值___________； （2）已知，求的值； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 23. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 24. 综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为、宽为的矩形纸片，由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方． 【探究】 （1）通过嘉嘉的方法可以判断，较长边是________（填“”或“”）； （2）在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展】在梯形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该梯形纸片． （3）如图3，将梯形纸片沿对角线折叠， ①=________； ②点的对应点能否落在边上________（填写“是”或“否”）； （4）如图4，将梯形纸片折叠，使点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与边，分别交于、两点，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $