第1讲 有理数与数轴深入探究课后练习2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数与数轴，以基础题为主，通过概念辨析、数轴操作到综合应用的梯度设计，巩固知识并发展抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|有理数概念、数轴表示、综合应用|单选辨析核心概念（如第1-3题考有理数定义），填空深化数轴操作（如折叠、距离计算，第6-10题），解答题综合应用（如数轴运动问题，第14-15题）|

【课后练】拔高-有理数和数轴深入探析-学生版 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 2．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 3．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 4．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 二、填空题 5．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 6．在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 7．数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 8．如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 9．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 三、解答题 10．把下列各数填在相应的集合内： ，45，，0，，，，． 非正数集合：{          …}； 整数集合：{           …}； 负分数集合：{         …}；． 11．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 12．如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_____； （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_____； （3）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，，，-（+1.6） 13．如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 14．如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 15．我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-有理数与数轴深入探析-教师版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．正数和负数统称为整数 B．正有理数和负有理数统称为有理数 C．可以写成分数形式的数称为有理数 D．有理数的绝对值都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义和有理数的分类，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的定义和有理数的分类，绝对值的定义进行判断即可． 【详解】解：A、整数包括正整数、0和负整数，故本选项错误，不符合题意； B、正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误，不符合题意； C、可以写成分数形式的数称为有理数，正确，符合题意； D、0是有理数，但其绝对值不是正数，故有理数的绝对值都是正数，说法错误，不符合题意， 故选：C． 2．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的相关知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据实数的相关知识解答即可． 【详解】解：A．有理数包括整数和分数，选项正确，不符合题意； B．有理数和无理数统称实数，选项正确，不符合题意； C．无理数一定是无限不循环小数，选项正确，不符合题意； D．因为无理数不为零，所以两个无理数相乘的结果一定不是零，选项错误，符合题意； 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，通过列方程求解符合条件的数． 设数轴上与的距离等于4的点表示的数为；根据数轴上两点间距离公式列出绝对值方程；解绝对值方程得到x的值，进而确定答案． 【详解】设数轴上与的距离等于4的点表示的数为x． 根据数轴上两点间的距离公式，可得，即． 解这个绝对值方程： 当时，解得； 当时，解得． 因此，数轴上与的距离等于4的点表示的数为或． 故选：C． 5．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 二、填空题 6．如图是有理数a，b在数轴上的位置，比较大小．（填“＞”或“＜”） （1）a b；        （2） b； （3） ；        （4） a． 【答案】 < > > > 【分析】此题考查利用数轴比较数的大小，绝对值的性质，据此判断各式子的大小即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为<； （2）由题意得，， ∴， 故答案为：>； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：>； （4）由题意得，， ∴， 故答案为>． 7．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到数形结合进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍，且两个数之间的距离为4， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 8．如图，小张在纸上画了一条数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示4的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出线段的中点是解题的关键．点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点：1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是， 故答案为：或5． 9．数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 10．如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律问题，首先根据题意得到点，，，，，分别表示的数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， … ∴，， ∴表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 11．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 【答案】解：有理数：①③④⑤；无理数：②⑥． 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念辨析，解题的关键是掌握有理数（整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的定义特征． 根据有理数是有限小数或无限循环小数、无理数是无限不循环小数的定义，对每个数逐一进行判断，区分出有理数和无理数． 【详解】解：①是有限小数，属于有理数； ②是无限不循环小数，属于无理数； ③0是整数，属于有理数； ④是分数，属于有理数； ⑤是无限循环小数，属于有理数； ⑥（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，有理数有①③④⑤，无理数有②⑥． 12．把下列各数填在相应的集合内： ，45，，0，，，，． 非正数集合：{          …}； 整数集合：{           …}； 负分数集合：{         …}；． 【答案】非正数集合：；整数集合：；负分数集合： 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：非正数集合： 整数集合：； 负分数集合：． 13．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 14．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 【答案】(1)， ； (2)或个单位长度； (3)个． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、数轴上的整点问题，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值求出两点之间的距离． 设任意相邻两点之间的长度为个单位长度，根据从点到点之间共有个空格，两点之间的距离为，列一元一次方程求出的值，根据原点在点的右侧距离点 个单位长度，可以确定原点的位置，再根据点与点之间的距离确定点表示的数； 因为点表示的是原点，根据点、与原点的距离确定点、表示的数，根据两点表示的数求出两点之间的距离，注意分情况讨论； 因为点到点的距离与点到点的距离之和是，可以判断点在线段上，包括线段的两个端点，有到之间一共有个整数点，从而可得点的个数． 【详解】（1）解：设任意相邻两点之间的长度为个单位长度， 根据题意可得：， 解得：， ， 表示原点的点是点， 点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：点到点距离为个单位长度， 点表示或， 点到点距离为个单位长度， 点表示或， 当点、表示的数相等时，点、之间的距离为， 点、表示的数不相等时，点、之间的距离为， 点、之间的距离为或个单位长度； （3）解:根据题意可知，点在点、之间，可以和或重合， 为整数， 这样的点一共有个． 15．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知、是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示的数，现将点向右移动个单位长度得到终点B，那么终点表示的数是 ．、两点间的距离是 ． (2)如果点A表示的数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度得到终点B，那么终点B表示的数是 ．、两点间的距离是 ． (3)如果点表示的数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到终点B，那么请你猜想终点B表示的数是 ．、两点间的距离是 ． 【答案】(1)， (2)；3 (3)， 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数、绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数、绝对值是解决本题的关键． （1）根据数轴的特点向右移动加，、两点间的距离等于移动的距离求解即可； （2）根据数轴的特点向左移动减，向右移动加，、两点间的距离等于移动的距离求解即可； （3）根据数轴的特点向左移动减，向右移动加，、两点间的距离等于移动的距离求解即可． 【详解】（1）解： ， 点表示的数是， 点向右移动个单位长度到点， 、两点间的距离是． 故答案为：；． （2） ， 点表示的数为，与之间的距离是． 故答案为：；． （3）由题得：点表示的数为；两点间距离是． 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-有理数和数轴深入探析-教师版 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的相关知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据实数的相关知识解答即可． 【详解】解：A．有理数包括整数和分数，选项正确，不符合题意； B．有理数和无理数统称实数，选项正确，不符合题意； C．无理数一定是无限不循环小数，选项正确，不符合题意； D．因为无理数不为零，所以两个无理数相乘的结果一定不是零，选项错误，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 4．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，通过列方程求解符合条件的数． 设数轴上与的距离等于4的点表示的数为；根据数轴上两点间距离公式列出绝对值方程；解绝对值方程得到x的值，进而确定答案． 【详解】设数轴上与的距离等于4的点表示的数为x． 根据数轴上两点间的距离公式，可得，即． 解这个绝对值方程： 当时，解得； 当时，解得． 因此，数轴上与的距离等于4的点表示的数为或． 故选：C． 二、填空题 5．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到数形结合进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍，且两个数之间的距离为4， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 6．在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 【答案】1 【分析】若n是正整数，则．由于1，2，3，，2022共有2022个数，应用上述结论，每连续4个数的和为0，剩余2个数．可将和2两个数剩下，前面分别添加“”和“”，则可得这2022个数的非负和的最小值． 【详解】若n是正整数，则，由此可得 因此这2022个数的非负和的最小值为1．     故答案为：1 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算，及这个结论是解题的关键． 7．数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 8．如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律问题，首先根据题意得到点，，，，，分别表示的数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， ∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为， … ∴，， ∴表示的数为． 故答案为：． 9．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴, ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ……， 以此类推可得，当为奇数时，；当为偶数时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．把下列各数填在相应的集合内： ，45，，0，，，，． 非正数集合：{          …}； 整数集合：{           …}； 负分数集合：{         …}；． 【答案】非正数集合：；整数集合：；负分数集合： 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：非正数集合： 整数集合：； 负分数集合：． 11．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 12．如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_____； （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_____； （3）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，，，-（+1.6） 【答案】（1）4；（2）2或6；（3）数轴表示见解析，-2<-（+1.6）<|-1.5|<2.5<5． 【分析】（1）根据点A表示-3即可确定原点位置，然后根据数轴确定点B的坐标即可； （2）分两种情况即可求解； （3）先在数轴上确定各数的点的位置，然后再根据数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大，最后用"<"号把这些数连接起来即可． 【详解】解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4; 故答案为4； （2）点C表示的数为4-2=2或4+2=6. 故答案为：2或6； （3）把下列各数在数轴上表示如图： 由数轴可知：-2<-（+1.6）<|-1.5|<2.5<5． 【点睛】本题主要考查了有理数的比较大小和数轴的应用，在数轴上确定各数所表示的点的位置是解答本题的关键． 13．如图所示，将一串有理数按下列规律排列，解答下列问题． (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在A处的数是正数 (2)负数排在B和D的位置 (3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置 【分析】（1）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，解答即可． （2）根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，根据此规律解答即可． （3）根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数； 解答即可． 本题考查了数字的规律，有理数的运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，A在向上的的箭头所指的位置上，故为正数， 故A表示的数是正数． （2）解：根据数字的排列规律，向上的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数，向下的的箭头所指的数是正数，箭尾所指的数是负数， 故负数排在B和D的位置． （3）解：根据负数的特点，上方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；下方的负数为，其规律是，其中n表示第n个数；且序号是奇数时，其对应位置上的数一定是负数，且数值等于序号，由2025是奇数，故第2025个数一定是负数，且为，当时， 解得；当时，解得，不是整数， 故第2025个数一定是上方负数，故一定排在B的位置． 14．如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【分析】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 15．我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）或4；（2）①，②表示的数为，表示的数为；（3）， 【分析】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到的距离都为，进而问题可求解． （3）由题意可知表示数的点到两点的距离都为，然后问题即可求解． 【详解】解：（1）∵点表示的数为1，且到点A的距离为， ∴这个数为或， 故答案为：或． （2）①∵点与点重合， ∴折叠点对应的数为：， ∴与点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴点表示的数为：，F点表示的数为：． （3）∵数轴上两点间的距离为（在左侧），表示数的点到两点的距离相等， ∴表示数的点到两点的距离都为， ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：；． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-有理数与数轴深入探析-学生版 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．正数和负数统称为整数 B．正有理数和负有理数统称为有理数 C．可以写成分数形式的数称为有理数 D．有理数的绝对值都是正数 2．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 3．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 4．在数轴上与的距离等于4的点表示的数为（   ） A． B．2或 C．或 D． 5．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．如图是有理数a，b在数轴上的位置，比较大小．（填“＞”或“＜”） （1）a b；        （2） b； （3） ；        （4） a． 7．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 8．如图，小张在纸上画了一条数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示4的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是 ． 9．数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 10．如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为 ． 三、解答题 11．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 12．把下列各数填在相应的集合内： ，45，，0，，，，． 非正数集合：{          …}； 整数集合：{           …}； 负分数集合：{         …}；． 13．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 14．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等．已知点表示，点表示． (1)表示原点的是点_______，点表示的有理数是_______； (2)数轴上有两点，，点到点距离为个单位长度，点到点距离为个单位长度，则点，之间的距离为多少？ (3)点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到点的距离与点到点的距离之和是，则这样的点共有几个？ 15．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示的数是，已知、是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题． (1)如果点A表示的数，现将点向右移动个单位长度得到终点B，那么终点表示的数是 ．、两点间的距离是 ． (2)如果点A表示的数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度得到终点B，那么终点B表示的数是 ．、两点间的距离是 ． (3)如果点表示的数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到终点B，那么请你猜想终点B表示的数是 ．、两点间的距离是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $