周周练07 3.3勾股定理的简单应用（数学新教材苏科版八年级上册）

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，融合《九章算术》“折竹抵地”“引葭赴岸”等古代名题与自动感应门、环卫车噪声等现代场景，考查几何直观与模型意识，实现文化传承与实际应用统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算应用|第3题“折竹抵地”问题，渗透数学文化| |填空题|8/24|实际情境距离计算|第14题梯子斜靠问题，强化空间观念| |解答题|6/46|综合与动态问题|第24题动点求最值，培养推理能力；第22题噪声影响问题，突出模型意识|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测07 3.3勾股定理的简单应用 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 【答案】A 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a＝5m，b＝12m，斜边为c． ∵这是一个直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵原路程为5+12＝17（m）， ∴少走的距离为17﹣13＝4（m）， 故选：A． 2．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 【答案】C 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑4m后，顶端距离墙角的距离： B′O＝24﹣4＝20（m）， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： AA′＝15﹣7＝8（m）． 故选：C． 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【详解】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 4．如图，东西方向上有A，C两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（　　） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： BC＝（5﹣8x）千米，DC＝6x千米， ∵BC2+DC2＝BD2， 则（5﹣8x）2+（6x）2＝32， 解得：x1＝x2＝0.4． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米， 故选：A． 5．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【详解】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2＝AG2， ∴， 解得：x＝12， 则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：C． 6．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 7．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 【答案】B 【详解】解：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯， 由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：12（m）， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 故选：B． 8．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【详解】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+1）米， 由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度是12米， 故选：B． 10．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①沿CC1展开，如图所示， MN2（cm）． ②沿B1C1展开，MN4（cm）， 42， ∴最短路线长是4cm， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 　96　 m2． 【答案】96 【详解】解：如图，连接AC． 在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°， ∴AC＝15m， 又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积15×209×12＝96（平方米）． 故答案为：96． 12．如图是一个滑梯的示意图．已知CE＝3m，AC＝AB，CD＝1m，则滑道AC的长为　5　 m． 【答案】5． 【详解】解：根据题意可得四边形BDCE是矩形，三角形AEC是直角三角形， 则CD＝BE＝1m， 设AC＝AB＝xm，则AE＝（x﹣1）m， 在Rt△AEB中，AC2＝AE2+CE2， 即x2＝（x﹣1）2+32， 解得x＝5， 故答案为：5． 13．如图，将一根18cm长的吸管斜置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，则吸管露在杯子外面的长度最短为　5　 cm． 【答案】5． 【详解】解：如图， 由题意可知，AB＝5cm，BC＝12cm，AD＝18cm，AB⊥BC， ∴AC13（cm）， ∴CD＝AD﹣AC＝18﹣13＝5（cm）， 即吸管露在杯子外面的长度最短为5cm． 故答案为：5． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为　2.2　 米． 【答案】2.2． 【详解】解：如图： 根据题意，可知AC＝CE，BC＝0.7m，AB＝2.4m，ED＝2m， ∵AB＝2.4m，∠ABC＝90°，BC＝0.7m， ∴， ∴CE＝2.5m， ∵∠CDE＝90°，DE＝2m， ∴， ∴BD＝BC+CD＝0.7+1.5＝2.2（m）． 故答案为：2.2． 15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　 米． 【答案】1.5 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 16．如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　　 cm． 【答案】． 【详解】解：∵16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ∵， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为． 三、解答题：本题共2小题,每题6分，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米 ∴AB8（米）， 答：B处的游船到岸边AC的距离为8米； （2）∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处， ∴CD＝12﹣1×7＝5（米）， 在Rt△ACD中， ∴AD3（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝（83）米． 答：游船向岸边移动的距离为（83）米． 18．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【详解】解：（1）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟）， 即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测07 3.3勾股定理的简单应用 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 2．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 4．如图，东西方向上有A，C两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（　　） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 5．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 6．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 7．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 8．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 10．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 　 　 m2． 12．如图是一个滑梯的示意图．已知CE＝3m，AC＝AB，CD＝1m，则滑道AC的长为　 　 m． 13．如图，将一根18cm长的吸管斜置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，则吸管露在杯子外面的长度最短为　 　 cm． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为　 　 米． 15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　 米． 16．如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　 　 cm． 三、解答题：本题共2小题,每题6分，共12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 18．（6分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测07 3.3勾股定理的简单应用 时间：100分钟 分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 2．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 4．如图，东西方向上有A，C两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（　　） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 5．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 6．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 7．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 8．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 10．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 　 　 m2． 12．如图是一个滑梯的示意图．已知CE＝3m，AC＝AB，CD＝1m，则滑道AC的长为　 　 m． 13．如图，将一根18cm长的吸管斜置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，则吸管露在杯子外面的长度最短为　 　 cm． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为　 　 米． 15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　 米． 16．如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　 　 cm． 17．如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是　 　 cm． 18．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，AD＝BC＝AO＝BO，那么门的宽度即AB的长为　 　 寸． 三、解答题：本题共6小题,第19-20题每题6分，第21~23题每题8分，第24题10分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 20．（6分）如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点A修建索道口，经测量A的垂直高度AC＝0.5km，在山下点B处也修建一个索道口，BC＝1.2km，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1km，那么多少分钟后才能到达山顶？ 21．（8分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 22．（8分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 23．（8分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 24．（10分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　 　 （用含x的代数式表示），CE的长为　 　 （用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　 　 ； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测07 3.3勾股定理的简单应用 时间：100分钟 分值：100分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 【答案】A 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a＝5m，b＝12m，斜边为c． ∵这是一个直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵原路程为5+12＝17（m）， ∴少走的距离为17﹣13＝4（m）， 故选：A． 2．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 【答案】C 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑4m后，顶端距离墙角的距离： B′O＝24﹣4＝20（m）， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： AA′＝15﹣7＝8（m）． 故选：C． 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【详解】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 4．如图，东西方向上有A，C两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（　　） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： BC＝（5﹣8x）千米，DC＝6x千米， ∵BC2+DC2＝BD2， 则（5﹣8x）2+（6x）2＝32， 解得：x1＝x2＝0.4． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米， 故选：A． 5．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB＝1丈＝10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF＝1尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是（　　） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【详解】解：设水深GF长为x尺，则芦苇GE＝AG＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2＝AG2， ∴， 解得：x＝12， 则芦苇的长度为x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：C． 6．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 7．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 【答案】B 【详解】解：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯， 由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：12（m）， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 故选：B． 8．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 9．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为（　　） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【详解】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+1）米， 由勾股定理得：（x+1）2＝x2+52， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度是12米， 故选：B． 10．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①沿CC1展开，如图所示， MN2（cm）． ②沿B1C1展开，MN4（cm）， 42， ∴最短路线长是4cm， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 　96　 m2． 【答案】96 【详解】解：如图，连接AC． 在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°， ∴AC＝15m， 又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积15×209×12＝96（平方米）． 故答案为：96． 12．如图是一个滑梯的示意图．已知CE＝3m，AC＝AB，CD＝1m，则滑道AC的长为　5　 m． 【答案】5． 【详解】解：根据题意可得四边形BDCE是矩形，三角形AEC是直角三角形， 则CD＝BE＝1m， 设AC＝AB＝xm，则AE＝（x﹣1）m， 在Rt△AEB中，AC2＝AE2+CE2， 即x2＝（x﹣1）2+32， 解得x＝5， 故答案为：5． 13．如图，将一根18cm长的吸管斜置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱体水杯中，则吸管露在杯子外面的长度最短为　5　 cm． 【答案】5． 【详解】解：如图， 由题意可知，AB＝5cm，BC＝12cm，AD＝18cm，AB⊥BC， ∴AC13（cm）， ∴CD＝AD﹣AC＝18﹣13＝5（cm）， 即吸管露在杯子外面的长度最短为5cm． 故答案为：5． 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为　2.2　 米． 【答案】2.2． 【详解】解：如图： 根据题意，可知AC＝CE，BC＝0.7m，AB＝2.4m，ED＝2m， ∵AB＝2.4m，∠ABC＝90°，BC＝0.7m， ∴， ∴CE＝2.5m， ∵∠CDE＝90°，DE＝2m， ∴， ∴BD＝BC+CD＝0.7+1.5＝2.2（m）． 故答案为：2.2． 15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　1.5　 米． 【答案】1.5 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 16．如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为　　 cm． 【答案】． 【详解】解：∵16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ∵， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为． 17．如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是　3　 cm． 【答案】3． 【详解】解：如图，由题意得：AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得： AB17（cm）， ∴吸管在饮料罐内部的长度为17cm， ∵吸管的总长度为20cm， ∴外部长度为20﹣17＝3（cm）， 即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm． 故答案为：3． 18．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），两扇门间的缝隙CD为2寸，AD＝BC＝AO＝BO，那么门的宽度即AB的长为　101　 寸． 【答案】101 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于点F， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF＝CD＝2寸， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）， ∴AE＝BF， 又∵AO＝BO， ∴OE＝OF＝1寸， 设AD＝BC＝x寸，则AE＝BF＝（x﹣1）寸， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， AD2＝AE2+DE2， 即x2＝（x﹣1）2+102， 解得x， ∴AO＝BO寸， ∴AB＝2AO＝101（寸）， 故答案为：101． 三、解答题：本题共6小题,第19-20题每题6分，第21~23题每题8分，第24题10分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【详解】解：可疑汽车超速；理由如下： ∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵27m/s＜30m/s， ∴可疑汽车超速了． 20．（6分）如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点A修建索道口，经测量A的垂直高度AC＝0.5km，在山下点B处也修建一个索道口，BC＝1.2km，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走0.1km，那么多少分钟后才能到达山顶？ 【详解】解：在Rt△ACB中，AC＝0.5km，BC＝1.2km， ∴ ， 1.3÷0.1＝13（分钟）， 答：大约13分钟后才能达到山顶． 21．（8分）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍． （1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号） （2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米 ∴AB8（米）， 答：B处的游船到岸边AC的距离为8米； （2）∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处， ∴CD＝12﹣1×7＝5（米）， 在Rt△ACD中， ∴AD3（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝（83）米． 答：游船向岸边移动的距离为（83）米． 22．（8分）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域． （1）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【详解】解：（1）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB， ∴150×200＝250×CD， ∴CD120（m）， ∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校， ∵ED（m）， ∴EF＝100（m）， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴100÷50＝2（分钟）， 即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 23．（8分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【详解】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 24．（10分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　　 （用含x的代数式表示），CE的长为　　 （用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　13　 ； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　　 ． 【详解】解：（1）由AB＝5，DE＝1，BD＝8， ∵CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，． 故答案为：；． （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，作EF⊥AB的延长线于点F， ， 依题意得：BF＝DE＝1， ∴AE． ∴AC+CE的最小值为10． （3）如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， ， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F， 得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以， 即的最小值为13． 故代数式 的最值为13， 故答案为：13； （4）如图，作OA＝4．过点A作AB⊥OA，使AB＝3．OC＝2，连接BC交x轴负半轴于点D， ， 设D的坐标为（x，0）， 则BC的长即为代数式的最大值， 过点C作CE⊥AB， 则AE＝OC＝2，CE＝OA＝4， ∴BE＝1， 在Rt△CBE中， 根据勾股定理，得BC， 即代数式（x是任意实数）的最大值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $