专题06 利用勾股定理解决折叠问题七大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过七大题型系统构建折叠问题解题体系，提炼折叠全等、直角构造、方程建模等方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形折叠（边/内外/双重）|3题型/3典例|折叠全等得等边角，锁定新直角三角形列勾股方程|从基础折叠到双重折叠，逐步提升空间观念| |三角形折叠（取值/存在性）|1题型/1典例|临界端点定范围，分类讨论直角顶点|结合动态问题，发展推理与创新意识| |长方形折叠（顶点/对角线/动点）|3题型/3典例|利用矩形性质标等线段，转移至直角三角形求解|从静态折叠到动点综合，强化模型意识| |正方形折叠综合|1题型/2典例|构造辅助线求折痕，线段等量代换简化计算|融合正方形特性，提升综合应用能力|

专题06 利用勾股定理解决折叠问题七大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 题型07 正方形纸片折叠综合 ▌题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 1. 折叠得到对应边、对应角相等，折叠经常生成新的直角； 2. 优先锁定折叠后新产生的直角三角形，设未知数列勾股方程； 3. 常见考法：直角顶点折到斜边、锐角顶点折到另一条直角边上。 【典例1】如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【变式1-1】如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（　　） A．7 B．8 C．11 D．14 【变式1-3】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边AC＝6，BC＝8，他想用所学知识求出CD的长． （1）求AB、BE的长； （2）设CD为x，求出CD的长． ▌题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 1. 落点落在三角形外部，依然满足折叠全等，线段多用减法表示； 2. 双重折叠：每一次折叠，要分别标记一组相等边、相等角； 3. 常要依靠角度互余推导直角，题目不一定直接给出直角条件。 【典例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【变式1-2】如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ，，，则 的长为______． ▌题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 1. “点落在某条边上” 未指定具体位置，找两个临界端点，求线段取值范围； 2. 条件 “折叠后三角形为直角三角形”，分类讨论哪一个内角是直角，画出全部情况； 3. 每种情况独立列方程，解完检验点的实际位置，舍去无效解。 【典例3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【变式1-1】如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ． 【变式1-3】综合与实践 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图，当点与点重合时，则的长为________； ②如图，当点与点重合时，求的面积； (2)当点落在的三等分点时，求的长； 【类比操作】 (3)如图，折叠长方形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． ▌题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 1. 长方形纸片常识：四个角为直角，对边长度相等； 2. 利用折叠标出相等线段，优先在大直角三角形求出一条关键边长； 3. 再设未知数，转移到小直角三角形当中列勾股定理方程。 【典例4】如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】如图，将长方形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【变式1-2】如图，长方形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（　　） A．10 B．9.8 C．10 D．5 【变式1-3】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8 厘米， （1）求BF与FC的长； （2）求EC的长． ▌题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 1. 沿对角线折叠：长方形纸片对边平行 + 折叠等角，会产生等腰线段（等角对等边）； 2. 两点重合折叠：折痕是这一组对应点连线的垂直平分线，得到对应线段相等； 3. 可延伸求解重叠阴影部分的面积。 【典例5-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）长方形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【典例5-2】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【变式1-3】如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 1. 区分动点在线段上还是射线上；射线动点要分：线段上、延长线上两类画图； 2. “某三角形是直角三角形”，分类判断哪个内角等于 90°； 3. 多小问综合题，前一问计算得到的线段结论，可以直接用于后一小问； 4. 计算结束，检验动点位置是否符合题干条件。 【典例6】在长方形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M处，折痕BE交AD于点E．将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点F．AB＝5，MN＝3，则BC的长（　　） A．5 B．12或 2 C．12 D．12或13 【变式1-1】长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______． 【变式1-2】如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 ▌题型07 正方形纸片折叠综合 1. 正方形纸片常识：四条边全部相等，四个角都是直角； 2. 求折痕长度：不能直接算折痕，需要作辅助线构造直角三角形，再使用勾股定理； 3. 周长类题目：依靠折叠做线段等量代换，不需要逐条算出每一小段； 4. 阅读探究大题，按题目步骤逐步推导；没有原图，必须自己根据题意画图。 【典例7-1】如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【典例7-2】如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 【变式1-1】如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【变式1-2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 利用勾股定理解决折叠问题七大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 题型07 正方形纸片折叠综合 ▌题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A． 【变式1-3】 【答案】（1）∴AB＝10；BE＝4． （2）CD＝3． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，翻折后可知AE＝AC，然后直接求出BE； （2）根据翻折对称，可知CD＝DE，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵将直角边AC折叠，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝10﹣6＝4． ∴AB＝10；BE＝4． （2）∵Rt△ADC翻折得到Rt△ADE， ∴DE＝CD＝x， ∴BD＝8﹣x， 在Rt△BDE中，42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是翻折前后的图形对称，对应的边和角都相等，然后通过勾股定理列方程求解即可． ▌题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】cm ▌题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 【典例3】【答案】 【变式1-1】【答案】或5 【变式1-2】【答案】4或3 【变式1-3】 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】（1）①根据折叠的性质即可求解；②根据折叠的性质及勾股定理求出的长，面积即可求解； （2）根据当点落在的三等分点，分两种情况求解即可； （3）先根据折叠的性质及勾股定理在中求出，进而即可在中求出． 【详解】（1）解：①∵当点与点重合时， ∴； ②如图，当点与点重合时， 设， 则， 在中， ∵， ， 解得， ， ； （2）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折得：， ， 在中，， 即， 解得：； 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折可得：， ， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或； （3）解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． ▌题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 【典例4】【答案】D 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】A． 【变式1-3】 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得AD＝BC，根据翻折变换的性质可得AF＝AD，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据FC＝BC﹣BF计算即可得解； （2）根据翻折变换的性质可得EF＝DE，设EC＝x，表示出EF，再利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝10cm， ∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10cm， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6cm， 所以，FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm； （2）∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴EF＝DE， 设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2＝EF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即EC＝3cm． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键． ▌题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 【典例5-1】【答案】B 【典例5-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】A ▌题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 【典例6】【答案】B． 【变式1-1】【答案】 或3 【变式1-2】【答案】D ▌题型07 正方形纸片折叠综合 【典例7-1】【答案】C 【典例7-2】【答案】C． 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】 【答案】（1）见详解；（2）3；（3）3.6． 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出BG即可； （3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM＝2.4，进而得出答案． 【详解（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， 又∵AG＝AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； （2）解：∵CD＝3DE， ∴DE＝2，CE＝4， 设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝x+2， ∵GE2＝CG2+CE2， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得x＝3， ∴CG＝6﹣3＝3； （3）解：如图，过C作CM⊥GF于M， ∵BG＝GF＝3， ∴CG＝3，EC＝6﹣2＝4， ∴GE5， CM•GE＝GC•EC， ∴CM×5＝3×4， ∴CM＝2.4， ∴S△FGCGF×CM3×2.4＝3.6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 利用勾股定理解决折叠问题七大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 题型07 正方形纸片折叠综合 ▌题型01 直角三角形折叠：落点落在三角形的边上 1. 折叠得到对应边、对应角相等，折叠经常生成新的直角； 2. 优先锁定折叠后新产生的直角三角形，设未知数列勾股方程； 3. 常见考法：直角顶点折到斜边、锐角顶点折到另一条直角边上。 【典例1】如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 【变式1-1】如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 【变式1-2】如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（　　） A．7 B．8 C．11 D．14 【答案】A． 【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6， ∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2， △AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7， 答：△AED的周长为7． 故选：A． 【点睛】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键． 【变式1-3】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边AC＝6，BC＝8，他想用所学知识求出CD的长． （1）求AB、BE的长； （2）设CD为x，求出CD的长． 【答案】（1）∴AB＝10；BE＝4． （2）CD＝3． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，翻折后可知AE＝AC，然后直接求出BE； （2）根据翻折对称，可知CD＝DE，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵将直角边AC折叠，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝10﹣6＝4． ∴AB＝10；BE＝4． （2）∵Rt△ADC翻折得到Rt△ADE， ∴DE＝CD＝x， ∴BD＝8﹣x， 在Rt△BDE中，42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是翻折前后的图形对称，对应的边和角都相等，然后通过勾股定理列方程求解即可． ▌题型02 直角三角形折叠：落点落在内部 / 外部、双重折叠 1. 落点落在三角形外部，依然满足折叠全等，线段多用减法表示； 2. 双重折叠：每一次折叠，要分别标记一组相等边、相等角； 3. 常要依靠角度互余推导直角，题目不一定直接给出直角条件。 【典例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 【变式1-2】如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式1-3】如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ，，，则 的长为______． 【答案】cm 【分析】由折叠的性质得出∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE==5cm，由三角形面积即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC是直角三角形， ∴∠C=90°， 由折叠的性质得：∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°， ∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=×180°=90°，DC'⊥AB， ∴BE===5（cm）， ∵△BDE的面积=BE×DC'=DE×BD， ∴DC'=（cm）； 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键． ▌题型03 三角形折叠：取值范围、直角三角形存在性多解问题 1. “点落在某条边上” 未指定具体位置，找两个临界端点，求线段取值范围； 2. 条件 “折叠后三角形为直角三角形”，分类讨论哪一个内角是直角，画出全部情况； 3. 每种情况独立列方程，解完检验点的实际位置，舍去无效解。 【典例3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 【变式1-1】如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为_______． 【答案】或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ． 【答案】4或3 【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴AP=A′P， ∴∠PAA′=∠AA′P， ∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°， ∴∠PCA′=∠PA′C， ∴PC=PA′， ∴PC=AC=4， 如图2，当∠ACA′=90°时， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6． ∴AB=10， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴A′B=AB=10，PA=PA′， ∴A′C=4， 设PC=x， ∴AP=8-x， ∵A′C2+PC2=PA′2， ∴42+x2=（8-x）2， 解得：x=3， ∴PC=3， 综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3， 故答案为：4或3． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式1-3】综合与实践 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】现有一张直角三角形纸片，，，，小明用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)①如图，当点与点重合时，则的长为________； ②如图，当点与点重合时，求的面积； (2)当点落在的三等分点时，求的长； 【类比操作】 (3)如图，折叠长方形的一角，使点落在边的点处，折痕交于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】（1）①根据折叠的性质即可求解；②根据折叠的性质及勾股定理求出的长，面积即可求解； （2）根据当点落在的三等分点，分两种情况求解即可； （3）先根据折叠的性质及勾股定理在中求出，进而即可在中求出． 【详解】（1）解：①∵当点与点重合时， ∴； ②如图，当点与点重合时， 设， 则， 在中， ∵， ， 解得， ， ； （2）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折得：， ， 在中，， 即， 解得：； 如下图，∵点落在的三等分点， ， 由翻折可得：， ， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或； （3）解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即． ▌题型04 长方形纸片折叠：顶点折叠落在长方形边上 1. 长方形纸片常识：四个角为直角，对边长度相等； 2. 利用折叠标出相等线段，优先在大直角三角形求出一条关键边长； 3. 再设未知数，转移到小直角三角形当中列勾股定理方程。 【典例4】如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 【变式1-1】如图，将长方形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠性质、勾股定理，根据长方形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式1-2】如图，长方形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（　　） A．10 B．9.8 C．10 D．5 【答案】A． 【分析】如图：连接PD，DE，由AE＝AB﹣EB＝5，则，由翻折可得PE＝EB＝3，由EP+DP≥DE可知，当E，P，D三点共线时，DP最小，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接PD，DE， ∵AD＝12，AB＝8，EB＝3 ∴AE＝AB﹣EB＝5， ∵四边形ABCD为长方形， ∴∠A＝90°， ∴， 由翻折可得PE＝EB， ∴PE＝4， ∵DP≥DE﹣EP， ∴当E，P，D三点共线时，DP最小， ∴DP最小值＝DE﹣EP＝13﹣3＝10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查翻折变换、长方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 【变式1-3】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8 厘米， （1）求BF与FC的长； （2）求EC的长． 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得AD＝BC，根据翻折变换的性质可得AF＝AD，然后利用勾股定理列式计算求出BF，再根据FC＝BC﹣BF计算即可得解； （2）根据翻折变换的性质可得EF＝DE，设EC＝x，表示出EF，再利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝10cm， ∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝10cm， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF6cm， 所以，FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm； （2）∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴EF＝DE， 设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC2+EC2＝EF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即EC＝3cm． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键． ▌题型05 长方形纸片折叠：沿对角线折叠、两点重合折叠 1. 沿对角线折叠：长方形纸片对边平行 + 折叠等角，会产生等腰线段（等角对等边）； 2. 两点重合折叠：折痕是这一组对应点连线的垂直平分线，得到对应线段相等； 3. 可延伸求解重叠阴影部分的面积。 【典例5-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）长方形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据长方形与折叠可证，，，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，即的长为． 【典例5-2】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 【变式1-1】如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 【变式1-2】如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 【变式1-3】如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． ▌题型06 长方形纸片折叠：动点折叠、直角存在性多解压轴 1. 区分动点在线段上还是射线上；射线动点要分：线段上、延长线上两类画图； 2. “某三角形是直角三角形”，分类判断哪个内角等于 90°； 3. 多小问综合题，前一问计算得到的线段结论，可以直接用于后一小问； 4. 计算结束，检验动点位置是否符合题干条件。 【典例6】在长方形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M处，折痕BE交AD于点E．将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点F．AB＝5，MN＝3，则BC的长（　　） A．5 B．12或 2 C．12 D．12或13 【答案】B． 【分析】分两种情况：点M在线段AN时，点M在线段DN上时，由折叠性质和线段和差分别求得BD，进而由勾股定理求得BC． 【详解】解：当点M在线段AN上时，如下图， 由折叠性质得AB＝BM＝BC＝DN＝5， ∴BD＝BM+MN+DN＝13， ∵∠C＝90°， ∴BC； 当点M点在线段DN上时，如下图， 由折叠性质得AB＝BM＝BC＝DN＝5， ∴MD＝DN﹣MN＝5﹣3＝2， ∴BD＝AM+DM＝5+2＝7， ∵∠C＝90°， ∴BC； 综上，BC＝12或2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，关键是由折叠性质求得BD的长度． 【变式1-1】长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】 或3 【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5 ，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=∠B=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=3，可计算出CF=3，设BE=x，则EF=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEF为正方形． 【详解】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况： 当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接， 在Rt△ABC中，AB=3,BC=4， ∴==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处， ∴∠AFE=∠B=90°， 当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处， ∴EB=EF，AB=AF=3， ∴CF=5-3=2,， 设BE=x，则EF=x，CE=4﹣x， 在Rt△CEF中， ∵EF2+CF2=CE2， ∴x2+22=(4﹣x)2 解得：x= ； ②当点F落在AD边上时，如答图2所示． 此时ABEF为正方形， ∴BE=AB=3． 故答案为：或3； 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 【变式1-2】如图，在长方形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：D． ▌题型07 正方形纸片折叠综合 1. 正方形纸片常识：四条边全部相等，四个角都是直角； 2. 求折痕长度：不能直接算折痕，需要作辅助线构造直角三角形，再使用勾股定理； 3. 周长类题目：依靠折叠做线段等量代换，不需要逐条算出每一小段； 4. 阅读探究大题，按题目步骤逐步推导；没有原图，必须自己根据题意画图。 【典例7-1】如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 【典例7-2】如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C． 【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°， ∴A'C＝CD﹣A'D＝5， ∵△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处， ∴AE＝A'E，BE＝B'E， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， 在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2， ∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2， ∴BEB'E， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 【变式1-1】如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用等面积法求出点H到的距离即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1-3】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 【答案】（1）见详解；（2）3；（3）3.6． 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出BG即可； （3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM＝2.4，进而得出答案． 【详解（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， 又∵AG＝AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； （2）解：∵CD＝3DE， ∴DE＝2，CE＝4， 设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝x+2， ∵GE2＝CG2+CE2， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得x＝3， ∴CG＝6﹣3＝3； （3）解：如图，过C作CM⊥GF于M， ∵BG＝GF＝3， ∴CG＝3，EC＝6﹣2＝4， ∴GE5， CM•GE＝GC•EC， ∴CM×5＝3×4， ∴CM＝2.4， ∴S△FGCGF×CM3×2.4＝3.6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $