第五章 二元一次方程组 单元卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，覆盖概念、解法及应用，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，渗透抽象能力、模型意识等核心素养，适配初中单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组概念、解的意义、无解条件|基础辨析，如第1题判断方程组类型| |填空题|6/18|方程变形、实际问题建模|文化融合，如第15题《九章算术》牛羊值金问题| |解答题|8/72|解方程组、含参数问题、实际应用（阶梯电价、租车方案）、整体思想|分层提升，如第24题渗透整体思想，第23题结合租车情境培养应用意识|

第五章 二元一次方程组（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：②中含有三个未知数，④未知数的最高次数是2，都不符合二元一次方程组定义， ①③符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，共两个； 2、已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程得： ，， 解得， 3、数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、将代入得，故该选项错误； B、将代入得，代入得，故该选项错误； C、将代入得，故该选项错误； D、将代入得，将代入得，两个方程都成立，故该选项正确． 4、下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为 ． 5、已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 【答案】D 【详解】解：， 由②得：y＝2x﹣1③， 把③代入①得：ax+3（2x﹣1）＝2， ∴（a+6）x＝5， ∵方程组无解， ∴a+6＝0， ∴a＝﹣6， 6、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 【答案】C 【详解】解：将代入代数式，得：，即①； 将代入代数式，得：，即②； 联立得方程组 由①-②得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴ ， ∴， 7、某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【答案】B 【详解】解：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得： ①+②得：2y＝22 y＝11 所以一共有11天， 8、关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 9、如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数经过点， ， 解得：， ， ∴方程组的解是． 10、已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则______． 【答案】 【详解】解：原式为：， 把y移到等号的一边，其它项都移到等号另一边，得， 故答案为：． 12、 方程组的解为______． 【答案】 【详解】 ， 得： ， 解得： ， 把 代入 得： 解得： ， 则方程组的解为： ． 故答案为：． 13、若关于的方程的解满足，则 ． 【答案】 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14、如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A， 得， 解得 于是得到点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 15、 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 16、某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为 ． 【答案】150元 【详解】 水果搭配 A B C 甲 2 4 0 乙 3 8 1 丙 2 6 1 解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由②﹣①×11得 31（y+z）＝465，即y+z＝15 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10＝150（元） 故答案为：150元 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组 【答案】 ． 【详解】解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 18、关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，由原方程组得， 变形得， 得：， 解得； （2）解： 得：， 将代入，得：， 解得． 19、关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见详解 (2) 2 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 20、为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行阶梯收费（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过度按第一阶梯电价收费，超过度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张明家2026年月和月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？ （代收电费收据如下表：） 电表号 户名 张明 月份 月 用电量 度 金额 元 电表号 户名 张明 月份 月 用电量 度 金额 元 【答案】答：第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度元，元． 【详解】设第一阶梯电价和第二阶梯电价每度分别为元和元， ∴， 解得：， 答：第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度元，元． 21、某超市用360元钱按批发价从水果批发市场购买了苹果和香蕉共200kg，然后按零售价出售，苹果和香蕉当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 苹果 香蕉 批发价（单位：元/kg） 2.0 1.5 零售价（单位：元/kg） 2.4 1.8 （1）这一天该超市购买苹果和香蕉各多少kg？ （2）如果苹果和香蕉全部以零售价售出，该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了多少钱？ 【答案】（1）苹果120kg，香蕉80kg；（2）72元 【详解】解：（1）设购买苹果，香蕉，根据题意可列方程组为： ， 解这个方程组得：， 答：这一天该超市购买苹果120kg，香蕉80kg； （2）（元）， 答：该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了72元． 22、某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 23、某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． (2)①见详解；②最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意可得，， 解得， 答：每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． （2）解：①依题意可得，， ， ，为非负整数， 或或， 答：租车方案有三种：方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆． ②方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ， 最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 24、[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3、数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（ ） A． B． C． D． 4、下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 5、已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 6、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 7、某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（　　） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 8、关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9、如图，一次函数和的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 10、已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则______． 12、 方程组的解为______． 13、若关于的方程的解满足，则 ． 14、如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 15、 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ． 16、某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组 18、关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 19、关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 20、为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行阶梯收费（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过度按第一阶梯电价收费，超过度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张明家2026年月和月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？ （代收电费收据如下表：） 电表号 户名 张明 月份 月 用电量 度 金额 元 电表号 户名 张明 月份 月 用电量 度 金额 元 21、某超市用360元钱按批发价从水果批发市场购买了苹果和香蕉共200kg，然后按零售价出售，苹果和香蕉当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 苹果 香蕉 批发价（单位：元/kg） 2.0 1.5 零售价（单位：元/kg） 2.4 1.8 （1）这一天该超市购买苹果和香蕉各多少kg？ （2）如果苹果和香蕉全部以零售价售出，该超市当天卖这些苹果和香蕉共赚了多少钱？ 22、某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 23、某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 24、[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $