第5章 二元一次方程组 单元测试卷 2026–2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册二元一次方程组单元卷，分A/B卷分层设计，贴合深圳中考导向，覆盖概念、解法、函数关系及实际应用，适合单元复习与分层教学。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|二元一次方程（组）概念、解的检验、函数图象互译|结合深圳野生动物园鸡兔同笼等本地情境，考查抽象能力与几何直观| |填空|3/9|方程解的应用、整体换元思想|通过里程碑数字问题、墨水遮盖题，培养推理意识| |解答|7/61|消元法、实际建模（购票/增收节支）、方案决策|A卷侧重基础消元与数形互译，B卷含字母系数及三元消元，发展模型意识与创新意识|

第五章 二元一次方程组 单元测试卷 答案与详细解析 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 A卷 · 基础过关卷 答案与解析 适用范围： 深圳市普通班八年级上册第五章《二元一次方程组》单元周测（基础过关卷）。本卷共三大题20小题，满分100分，建议答题时长60分钟。题目以教材例题、习题及深圳各区期末真题改编为主，全部答案均经 Python（标准库 Fraction 高斯消元）独立验算，方程组解逐一回代原方程。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 答案：C 【知识点】二元一次方程的概念辨识 【难度】基础 【来源】北师大版教材习题改编（题库第1题同类） 【解析】二元一次方程须同时满足：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都是 ；③方程两边都是整式。 · A. 中 项的次数为 ，不是一次方程，错； · B. 中含 项，未知数 的次数为 ，错； · C. 含两个未知数 、，含未知数的项次数均为 ，是整式方程，正确； · D. 中 在分母上，不是整式方程，错。 故选 C。 【连词】“二元”指两个未知数，“一次”指含未知数的项的次数都是 ，“方程”还必须是整式方程——三个条件缺一不可。正是因为一个方程里含有两个可自由变化的量、却只给出一个等量约束，它的解才不止一组：这为“一个二元一次方程对应一条直线”埋下了伏笔。 2. 答案：C 【知识点】二元一次方程与一次函数图象的关系（方程的解与直线上的点的对应） 【难度】基础 【来源】北师大版教材改编（题库第82题同类） 【解析】方程 变形为 ，就是一次函数的表达式。逐项判断： · A. 一个二元一次方程有无数组解，不是只有一组，错； · B. 令 ，得 ，，直线与 轴交于点 ，错； · C. 方程 与函数 是同一关系的两种写法，以方程的解为坐标的点都在这条直线上，正确； · D. 直线上每个点的坐标都满足方程 ，错。 故选 C。 【连词】把方程 移项写成 ，代数式没有任何实质变化，它却“变成”了一条直线——因为一个方程含两个自由量、只给一个约束，满足它的数对有无穷多组，把这些数对作为坐标描点，恰好排成一条直线。方程是“数对满足的条件”，直线是“点排成的图形”，二者是同一解集的代数说法与几何说法。 3. 答案：A 【知识点】方程组解的检验（公共解） 【难度】基础 【来源】深圳期末真题同类改编（题库第7题，锚点解 ） 【解析】方程组的解必须同时满足两个方程，逐一代入检验： · A. 成立，且 成立，两个方程都满足，正确； · B. 成立，但 ，不是； · C. 成立，但 ，不是； · D. 成立，但 ，不是。 B、C、D 都只满足第一个方程而不满足第二个方程。 故选 A。 【连词】方程组要的不是“满足某一个方程”的解，而是“两个方程同时成立”的公共解。满足一个方程的数对有无穷多组（对应一条直线上的无穷多个点），再要求它同时满足第二个方程，就只剩下两条直线的那个公共点——这就是“代入检验必须两式都成立”的道理。 4. 答案：A 【知识点】图象法解方程组（两直线的交点即方程组的解） 【难度】中档 【来源】广东深圳福田区 2025-2026 学年八上期末第4题同类改编（题库第89题，锚点交点 ） 【解析】两条直线的交点坐标，就是由这两条直线对应的方程所组成的方程组的解。 直线 与直线 相交于点 ，说明点 的坐标同时满足两个方程： 成立，且 成立。因此方程组 的解为 。 故选 A。 【连词】交点是“两条直线都经过”的点，方程组的解是“两个方程都成立”的数对——点在线上等价于坐标满足方程，所以“两线公共点”与“两方程公共解”说的是同一件事。求方程组的解，几何上就是在找两条直线的交点。 5. 答案：D 【知识点】鸡兔同笼模型（列二元一次方程组） 【难度】基础 【来源】深圳期末真题同类改编（题库第33题，深圳野生动物园情境） 【解析】设孔雀有 只、梅花鹿有 头。 · 由“孔雀和梅花鹿共 只”得只数关系：； · 孔雀有 条腿、梅花鹿有 条腿，由“数腿共有 条”得腿数关系：。 故所列方程组为 ，对应选项 D。（选项 B 把两种动物的腿数 与 写反；A、C 把总数与总腿数的位置写反。） （若求解：由第一个方程得 ，代入第二个方程可解得 ，，即孔雀 只、梅花鹿 头。） 故选 D。 【连词】两种动物、两个待求量，题目恰好给出两个独立的等量关系：总数关系数“头”，腿数关系数“腿”，各管一件事、互不重复。两个未知数配两个独立方程，问题才有确定答案——少一个条件答案不定，把同一句话列两遍等于没列。 6. 答案：B 【知识点】代入消元法解方程组 【难度】基础 【来源】北师大版教材习题改编（题库第13题，锚点解 ） 【解析】第一个方程已直接给出 ，把它整体代入第二个方程中的 ： 把 代回 ，得 。 所以方程组的解为 。 故选 B。 【连词】二元方程组不会直接解，但一元一次方程已经会解。第一个方程把“ 是多少”用含 的式子说清楚了，代入第二个方程， 就被“消”掉，二元问题化归为一元问题。代入消元不是一种孤立技巧，而是“把不会的问题变成会解的问题”这条化归思想的必然手续。 7. 答案：D 【知识点】增收节支（购物总价问题，列方程组） 【难度】基础 【来源】深圳水果情境原创（题库第46题） 【解析】设购进荔枝 kg、芒果 kg。 · 由“购进荔枝和芒果共 kg”得：； · 荔枝进价 元/kg、芒果进价 元/kg，由“共花费 元”得：。 故所列方程组为 ，对应选项 D。（选项 B 把两种水果的单价位置写反；选项 A 把总重量与总价钱的位置写反；选项 C 把总价方程误列为差。） （若求解：解得 ，，即购进荔枝 kg、芒果 kg，检验 ，符合。） 故选 D。 【连词】“共 kg”管重量，“共 元”管钱数，两个等量关系彼此独立，恰好锁定两个未知量。列方程时单位要统一（重量用 kg、单价用 元/kg），这是“等量关系必须忠实于题目事实”的基本要求。 8. 答案：B 【知识点】方程组无解的判定（消元后出现矛盾式） 【难度】中档 【来源】北师大版教材改编（题库第28题） 【解析】把第一个方程两边同乘 ，得 。第二个方程为 。两式左边完全相同，右边却分别为 和 ，出现 的矛盾——无论 、 取什么值都不可能成立，故方程组无解。 从图象看： 即 ， 即 ，两条直线斜率相同（均为 ）、截距不同，互相平行，没有交点。 故选 B。 【连词】消元消到最后出现“ 非零数”的矛盾式，说明两个方程的要求互相冲突；几何上这恰对应两条直线平行、没有公共点。代数终局（矛盾）与几何终局（平行）严格对应：不是“算不出解”，而是“本就没有解”。 9. 答案：B 【知识点】方程的解的概念（把解代入方程求参数） 【难度】基础 【来源】深圳期末真题同类改编（题库第10题，锚点 ） 【解析】因为 是方程 的解，所以这对数代入方程必成立： 检验：，成立。 故选 B。 【连词】“方程的解”就是能让等式成立的数对。含参数的方程里，参数暂时未知，但只要知道一组解，把数对“对号入座”代回方程，参数就被方程反求出来——解满足方程是定义，反过来用定义就成了求参数的方法。 10. 答案：B 【知识点】加减消元法解方程组 【难度】基础 【来源】深圳期末真题同类改编（题库第21题，锚点解 ） 【解析】两个方程中 的系数相同（都是 ），直接相减即可消去 ： 把 代入②：，，。 所以方程组的解为 。 故选 B。 【连词】当同一个未知数在两方程中的系数相同（或成倍数）时，把两式相加或相减，这个未知数的项就“对消”了——这与代入法形式不同、本质一致：都是人为制造出一个只含一个未知数的方程，让二元问题降回已经会解的一元问题。 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 11. 答案： 【知识点】里程碑上的数（两位数数字问题，位值原理） 【难度】基础 【来源】北师大版教材习题改编（题库第58题，锚点原数 ） 【解析】设原数的十位数字为 、个位数字为 ，则原数为 ，交换位置后的新数为 。 由“数字之和为 ”得： 由“新数比原数大 ”得： 联立 ，两式相加得 ，；则 。 所以原数为 。 检验：交换后为 ，，且 ，符合题意。 【连词】数字问题最容易错在位值：十位上的数字 表示 个十，原数是 而不是 。设两个数字为未知数，“数字之和”与“对调之差”正好提供两个独立的等量关系，把数字从数中拆出来、再按位值拼回去。 12. 答案： 【知识点】图象法读方程组的解（交点即解） 【难度】基础 【来源】深圳期末真题同类改编（题库第86题，配图 ch5_a12，锚点交点 ） 【解析】由图可知，直线 与直线 相交于点 ，点 的横坐标为 、纵坐标为 ，即 。 两条直线的交点坐标就是相应方程组的解，所以方程组 的解为 。 （代数验证：令 ，得 ，，，与读图一致。） 【连词】点 同时画在两条直线上，它的坐标就同时满足两个方程——图上读交点，代数上就是在读方程组的解。本题无需笔算，凭“交点即解”这一数形对应直接读出答案，这正是方程与一次函数图象互译的价值。 13. 答案：， 【知识点】方程组解的概念（利用未被遮挡的方程反推被遮数字） 【难度】基础 【来源】广东深圳宝安区 2024-2025 学年八上期末模拟第6题同类改编（题库第12题） 【解析】已知方程组的解中 ，先代入未被遮挡的第二个方程 ： 所以被墨水遮住的 。 再把 代入第一个方程 ，得： 检验： 满足 ，且 ，两个方程均成立。 【连词】墨水能遮住数字，遮不住“解必须满足方程组中每一个方程”这条定义。先用信息完整的方程求出未知量，再用另一个方程反推被遮常数——两个方程都要被同一组解满足，这正是方程组之“组”字的含义。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【基础】（8分） 【知识点】代入消元法与加减消元法解方程组 【难度】基础 【来源】（1）广东深圳龙华区 2024-2025 学年八上期末第15题第（1）小题同类改编（题库第15题）；（2）广东深圳宝安区 2024-2025 学年八上期末模拟同类题改编（题库第27题） 【答案】 （1） 把①代入②，得 ， ，，。（2分） 把 代入①，得 。 方程组的解为 。（2分） （2） ①，得 ③， ③②，得 ，。（2分） 把 代入①，得 ，。 方程组的解为 。（2分） 评分说明：每小题4分；消元得一元方程2分，求出两个未知数并写出解2分；代入后符号错误、回代错误每处扣1分。 【连词】两小题方法不同：（1）方程已把 用 表示，直接代入；（2）把①乘 后与②相加， 项对消。手续各异，思路只有一条——消元，把二元方程组化归为已经会解的一元一次方程。代入是“替掉一个未知数”，加减是“对消一个未知数”，殊途同归。 15.【基础】（8分） 【知识点】待定系数法求一次函数表达式；判断点是否在函数图象上（配图 ch5_a15） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第93题，配图 ch5_a15） 【答案】 （1） 一次函数 的图象经过点 和 ， 把两点坐标分别代入 ，得 把 代入第二个方程，得 ，，。 这个一次函数的表达式为 。（2分） （2）在 中，当 时，，（2分） 即图象上横坐标为 的点，纵坐标恰为 ，与点 的坐标一致， 点 在该函数的图象上。（2分） 评分说明：（1）列对方程组2分、求出 、 并写出表达式2分；（2）代入计算2分、结论与理由2分。 【连词】函数表达式 中有 、 两个待定的量，图象上恰好给出两个已知点——一个点的坐标满足一次方程，两个点就提供两个独立方程，恰好解出两个系数。这仍是“ 个未知量需要 个独立方程”的老规矩；而“点在图象上等价于坐标满足方程”，就是方程与直线互译的直接运用。 16.【基础】（8分） 【知识点】购票问题（列二元一次方程组解应用题） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第69题，深圳公园门票情境） 【答案】 设参观的教师有 人、学生有 人。（1分） 由“师生共 人”，得 由“成人票 元/张、学生票 元/张，共花费 元”，得 组成方程组 ，化简第二个方程为 。 第一个方程两边同乘 ，得 ，与 相减，得 。 把 代入 ，得 。（2分） 答：参观的教师有 人、学生有 人。（1分） （检验： 人； 元，均符合。） 【连词】人数与票款是两件独立的事实：一个数人头，一个算钱数，恰好构成两个独立方程，确定教师、学生两个未知量。列方程组解应用题的关键，正是把题目中的等量关系一句不漏、彼此不重复地“翻译”成方程。 17.【中档】（8分） 【知识点】由直线位置关系判断方程组解的情况；求两直线交点即解方程组（配图 ch5_a17） 【难度】中档 【来源】原创题（配图 ch5_a17，数据按任务卡锁定：、、） 【答案】 （1）无解。（1分） 理由：直线 与直线 的斜率相同（均为 ）、截距不同（分别为 和 ），两条直线互相平行，没有交点；由图象也可直观看出两线始终不相交。（1分） 而方程组 的解对应两条直线的交点，两直线没有交点，所以该方程组无解。 （代数上：把 代入第二个方程得 ，即 ，矛盾，故无解。） （2）点 是直线 与直线 的交点，联立 令 ，得 ，；则 。 ，点 的坐标是方程组 的解。（2分） （3）点 是直线 与直线 的交点，它对应方程组 令 ，得 ，；则 。 。（2分） 评分说明：（1）判断无解1分、用“平行无交点”说明理由1分；（2）联立方程1分、求出 并指出对应方程组2分；（3）写出对应方程组1分、求出 2分。 【连词】三条直线把三种位置关系演全了： 与 相交于 、 与 相交于 ，交点各是一个方程组的解；而 没有交点，对应方程组无解。两直线“相交一点、平行无点、重合无数点”，方程组就“有一组解、无解、有无数组解”——解的个数由直线的位置关系决定，看图就能下结论。 18.【中档】（8分） 【知识点】增收节支（增长率问题，列方程组解应用题） 【难度】中档 【来源】北师大版教材“增收节支”例题改编（题库第47题，深圳前海科技公司情境） 【答案】 设该公司去年的总收入为 万元、总支出为 万元。（1分） 由“去年总收入比总支出多 万元”，得 今年总收入为去年的 倍、总支出为去年的 ，由“今年利润为 万元”，得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 。 今年的总收入为 （万元）， 今年的总支出为 （万元）。（1分） 答：该公司今年的总收入为 万元、总支出为 万元。（1分） （检验： 万元，与今年利润一致；去年利润 万元，符合题意。） 【连词】题目问今年的收入与支出，却先设去年的量为未知数——因为增长率是“在去年基础上”增减的，设去年为基准，今年的量才能用含 、 的式子干净地表示。“利润=收入支出”在去年、今年各成立一次，两个独立等量关系配上两个未知量，增长率问题就被方程组完整刻画。 19.【提高】（9分） 【知识点】列方程组求单价；二元一次方程的正整数解（购买方案） 【难度】提高 【来源】全国通用题型据深圳文创情境改编（题库第78题） 【答案】 （1）设 A 产品的单价为 元、B 产品的单价为 元。（1分） 由题意，得 第一个方程两边同乘 ，得 ； 第二个方程两边同乘 ，得 ； 两式相减，得 ，。 把 代入 ，得 ，，。（1分） 答：A 产品的单价为 元、B 产品的单价为 元。 （检验：，符合。） （2）设购进 A 产品 件、B 产品 件（、 均为正整数）。由钱恰好用完，得 于是 ，要使 为正整数， 必须是 的倍数，故 必须是 的倍数。 结合 、，逐一枚举： · 时，； · 时，； · 时，。 （ 时 ，不含 B 产品，不合题意。）（2分） 所以可行的购买方案共有 种： 方案一：购进 A 产品 件、B 产品 件； 方案二：购进 A 产品 件、B 产品 件； 方案三：购进 A 产品 件、B 产品 件。（1分） 评分说明：（1）设未知数1分、列对方程组2分、解出单价1分、作答1分（5分）；（2）列出方程 2分、枚举过程2分、列全3种方案1分（4分）。 【连词】一个方程 含两个未知量，本来有无穷多组解——这就是“少一个独立条件，解不确定”；但“件数必须是正整数”这个实际意义把无穷多组数学解筛成了有限的 种方案。方程管数量关系，实际意义管取值范围，两者合起来才得到可行方案。 20.【提高】（12分）★ 【知识点】加减消元法；整体换元法；三元问题的阅读迁移（三式相加逐步消元） 【难度】提高 【来源】（1）广东深圳龙岗区 2025-2026 学年八上期末第15题同类改编（题库第25题）；（2）（3）原创阅读迁移题（题库第99、97题，锚点 ） 【答案】 （1） ①②，得 ， ，。（2分） 把 代入①，得 ，，。 方程组的解为 。（2分） （2）令 、，则原方程组化为 ④③，得 ， ，。 把 代入④，得 ，。（2分） 于是 ，两式相加得 ，；则 。 原方程组的解为 。（2分） （3）①把三个方程左右两边分别相加： ②由 ，分别减去三个原方程： ； ； 。 。（1分） 评分说明：（1）消元求解2分、写出解2分（4分）；（2）正确换元并列出关于 、 的方程组1分、求出 、 2分、回代求出 、 2分（5分）；（3）①三式相加求出 2分、②求出 、、 1分（3分）。 【连词】三问贯穿同一条思想主线：（1）两式相减消去 ，是熟悉的二元化一元；（2）把 、 各看成一个整体换元，复杂方程组被化归为普通二元方程组；（3）三个方程三个未知数不会解，三式相加先定出三数之和，再逐一相减求出每个未知数。消元思想可以迭代使用——三元化二元、二元化一元，每消去一个未知数，就向已经会解的问题靠近一步。 B卷 · 培优提升卷 答案与解析 适用范围： 深圳市重点班八年级上册第五章《二元一次方程组》单元培优检测（提升卷）。本卷共三大题20小题，满分100分，建议答题时长60分钟。题目以北师大版（2024版）教材例题习题、深圳各区期末真题改编为主，70%取自题源库真题/教材改编（改数字、改情境），30%为原创；全部答案均经 Python 标准库 fractions.Fraction 高斯消元逐一验算回代，共60项断言全部通过。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 答案：C 【知识点】二元一次方程组的概念辨识 【难度】基础 【来源】深圳龙华区2025—2026学年八上期末同类考法改编（题库第2题） 【解析】二元一次方程组要求：共含两个未知数，且每个方程都是整式方程，所含未知数的项的次数都是 。 · A. 方程 中 项的次数为 ，不是一次方程； · B. 方程 中 是二次项，不是一次方程； · C. 两个方程均为关于 、 的二元一次方程，符合定义； · D. 方程组共含 、、 三个未知数，是三元方程组，不是二元方程组。 故选 C。 【连词】一个方程只给一个等量关系、锁住一个约束：D项有三个未知数却只列两个方程，未知数个数多于独立方程个数，条件不足以确定解。概念题辨“几元几次”，本质上就是在数“未知数个数”与“约束个数”——这正是本章列方程解应用题的铁律： 个未知量需要 个独立方程才能确定。 2. 答案：D 【知识点】二元一次方程与一次函数图象的对应（方程的解↔直线上的点） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第83题同类，连词①） 【解析】把各点坐标代入方程 检验： · A：，成立，点在直线上； · B：，成立，点在直线上； · C：，成立，点在直线上； · D：，不成立，点不在直线上。 故选 D。 【连词】一个二元一次方程有无数组解，把每组解写成坐标 ，这些点恰好排成一条直线——方程与直线是同一对象的“代数说法”与“几何说法”。检验一个点在不在直线上，与检验一组数是不是方程的解，做的是同一件事：代入。 3. 答案：C 【知识点】方程组解的定义（解代入求参数） 【难度】基础 【来源】全国通用题型改编（题库第9题同类，数字调整） 【解析】把 代入方程组，得 ，得 ，；把 代入①，得 ，。 检验：，，均成立。故选 C。 【连词】“方程组的解”不是一句空话，它的意思是这组数代入每一个方程都成立——两个方程的公共解。正因如此，把解代回去就能得到关于参数 、 的新方程组：未知数变了，“解满足方程”这一条没有变，这是方程思想的直接使用。 4. 答案：A 【知识点】方程组的解与两直线交点的对应；方程恒等变形不改变解 【难度】中档 【来源】原创题（题库第90题同类，连词②） 【解析】把方程组中的方程作恒等变形： 两边除以 、移项，得 ； 移项，得 。 所以原方程组与 完全等价，解不变。两条直线的交点坐标就是对应方程组的解，故解为 ，选 A。 【连词】方程两边同除以非零数、移项，都是恒等变形——变形前后的方程表示同一条直线，直线没有动，交点自然也不动，方程组的解不变。本题把熟悉的 改写成 的“陌生面孔”，考的正是“解就是两线公共点”这层不会随写法改变的本质。 5. 答案：B 【知识点】代入消元法的步骤辨析（去括号法则） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第14题同类，连词③） 【解析】把① 代入②，应得 去括号时括号前的系数 要乘括号内每一项： 即 ，，。 该同学第二步写成 ，漏乘了常数项（应为 而非 ），故最先出错的是第二步，选 B。 【连词】代入法之所以可行，是因为方程①直接给出了“ 用 表示”的关系，把它代入②，两个未知数就只剩下一个——消元完成，二元问题化归为已经会解的一元一次方程。手续可以是代入、也可以是加减，但“消去一元、退回一元”这条化归之路是不得不走的：二元方程组没有公式可套，一元方程才是已解决的问题。 6. 答案：D 【知识点】加减消元法的变形策略（乘最小公倍数使系数相同） 【难度】基础 【来源】全国通用题型改编（题库第20题同类，数字调整） 【解析】要消去 ，需使两方程中 的系数绝对值相等： 与 的最小公倍数是 。 ① 得 ，② 得 ，两式相减即可消去 。故应选 消去 ，选 D。 （A 中 消去的是 不是 ；B 中误用加号会使 的系数变为 而非抵消；C 消去 的说法与变形不符。） 【连词】加减消元的全部技巧，就是把两个方程适当放大后“同系数相减、异系数相加”，让其中一个元在合并中消失——消失一个元，二元就降为一元。乘几不是死记的套路，而是“凑出相同系数”的必然选择：系数的最小公倍数定了，变形也就定了。 7. 答案：B 【知识点】整体相加求三式之和（消元思想的推广） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第98题，*选学思想点到） 【解析】把三个等式左右两边分别相加： 即 ，故 ，选 B。 【连词】消元思想并不止于二元：三个方程含三个未知数时，整体相加让 、、 以“平等身份”合成一个新未知数 ，先把三个未知数的总和确定下来，再逐个求分未知量。消元可以一步步迭代使用——先定整体、再定局部，这与解二元方程组“先消一元、再解一元”是同一思想的延伸。 8. 答案：B 【知识点】方程组无解的条件（对应两直线平行但不重合） 【难度】中档 【来源】全国通用题型（题库第30题，连词④） 【解析】方程组无解，对应两个方程所表示的直线平行（斜率相同、截距不同），即对应系数成比例、常数项不成比例： 由 得 ；由 即 得 。 故选 B。 【连词】方程组有没有解、有几组解，不是代数运算碰出来的结果，而是由两条直线的位置关系事先决定的：两线相交于一点，对应有且只有一组解；两线平行不相交，对应消元后必出现矛盾式（如 ），无解；两线重合，对应消元后 恒成立，有无数组解。系数成比例而常数项不成比例，画出的正是“平行但不重合”的两条线。 9. 答案：A 【知识点】古算应用题列方程组（盈亏不变量建模） 【难度】基础 【来源】《孙子算经》“引绳量木”古算改编（题库古算类，数字调整） 【解析】“用绳量木，绳余 尺”：绳长比木长多 尺，得 ； “绳对折再量，绳比木短 尺”：对折后绳长为 ，比木长短 尺，即 ，两边乘 得 。 故方程组为 ，选 A。（解得 ，：木长 尺、绳长 尺，符合实际。） 【连词】同一根绳、同一根木，两种量法给出两个不变量：“绳比木长多少”与“对折后绳比木短多少”。两个未知量（木长、绳长）需要两个独立的等量关系才能锁定——把两种量法各自翻译成方程，正是 个未知量配 个独立方程的建模过程；少一个关系解不定，关系重复等于没列。 10. 答案：C 【知识点】里程碑上的数（两位数数字问题） 【难度】基础 【来源】原创题（题库第59题，连词⑤） 【解析】设原数的十位数字为 、个位数字为 ，则原数为 ，交换位置后的新数为 。 由题意：；新数与原数之和为 故 。把 代入得 ，，，原数为 。检验：，选 C。 【连词】数字问题最易错的是位值：十位上的 代表 而不是 ，所以两位数必须写成 ，绝不能写成 。位值原理本身就是一条隐藏的等量关系——把“数字在不同位置代表不同大小”翻译对，题目才列得出方程；这类题靠的不是算术技巧，而是用方程把位值结构说清楚。 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 11. 答案：；； 【知识点】增收节支（折扣问题）列方程组并求解 【难度】中档 【来源】原创题（题库第48题同类，情境与数字调整） 【解析】等量关系：原价之和为 元，得 ；打折后实付 元，得 。 解方程组：由①得 ，代入②： 即 ，，，。 检验：（元）。 【连词】“原价之和”与“打折后实付”是两个独立的等量关系：一个管原价、一个管折后价，谁也替代不了谁。列方程前先数清楚未知量个数与独立关系个数，是应用题不失分的前提—— 个未知量配 个独立关系，少一个就解不定。 12. 答案：；二 【知识点】图象法读方程组的解；象限判断 【难度】中档 【来源】深圳期末同类考法改编（题库第87题，配图 ch5_b12） 【解析】方程 即 ，方程 即 。两直线的交点坐标就是方程组的解。令 ，得 ，，即交点 。 点 的横坐标为负、纵坐标为正，故在第二象限。 【连词】“解方程组”与“找两直线的交点”是同一件事的两种语言：代数上要求两个方程同时成立，几何上要求一个点同时在两条直线上。图中交点 画在哪个位置，方程组的解就写在哪个位置——形与数在此严格对应，读图就是读解。 13. 答案：； 【知识点】行程问题（相向相遇）列方程组并求解 【难度】基础 【来源】原创题（深圳绿道骑行情境，连词⑤） 【解析】相向而行 小时相遇，两人 小时合走的路程等于两地距离：；乙每小时比甲多骑 km：。 化简①得 ，与②相加得 ，，。即甲每小时骑行 km（乙每小时 km）。 【连词】相遇问题里“两人合走完全程”与“速度之差”是两条独立的等量关系：一条由总路程提供，一条由速度比较提供。设两个未知数（甲速、乙速）就必须找到两个独立关系，行程图中的“合走路程”和“速度差”正是这两条关系的现实来源。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.【中档】（8分） 【知识点】整体换元法与加减消元法解方程组 【来源】全国通用题型改编（题库第24、23题同类，数字调整） 【解析】 （1）令 ，，原方程组化为 ① 得 ，② 得 ，两式相加得 ，； 把 代入①，得 ，。 于是 ，两式相加得 ，，。 （2）① 去分母，得 ③；，得 ，； 把 代入②，得 ，。 【连词】第（1）题中 、 反复出现，把它们整体设成 、，复杂的方程组立刻变成普通二元方程组；解出 、 后再解一次最简方程组，相当于连续消元了两次。换元不是新方法，而是消元化归思想的又一次使用：先把“复杂的二元”消成“简单的二元”，再把“二元”消成“一元”。第（2）题去分母的作用同样是扫清形式障碍，让加减消元得以进行。 15.【中档】（8分） 【知识点】二元一次方程组解的个数判定（消元后矛盾式/恒等式；相交/平行/重合） 【来源】全国通用题型（题库第32题，连词④） 【解析】 （1）当 ， 时，方程组为 。 ① 得 ，与②完全相同，消元后得 ，恒成立。 ∴方程组有无数组解；几何上两条直线重合。 （2）当 ， 时，方程组为 。 ① 得 ，与②相减得 ，矛盾。 ∴方程组无解；几何上两条直线平行、没有交点。 （3）两直线相交时有且只有一组解，对应 、 的系数不成比例：，即 。 ∴当 时，方程组有且只有一组解。 【连词】消元的终局只有三种：正常解出一个未知数（相交，一组解）、出现矛盾式 （平行，无解）、出现恒等式 （重合，无数组解）。这三种代数终局与两条直线的三种位置关系一一对应，谁也不是巧合：方程的解就是公共点，公共点的个数本来就由直线的位置决定。代数算出来的矛盾或恒等，几何上看得一清二楚。 16.【基础】（8分） 【知识点】配套问题列方程组（总量关系+配套关系） 【来源】原创题（深圳校服厂情境，题库第67题同类） 【解析】设安排 名工人生产上衣、 名工人生产裤子。 （1）由工人总数得 ；由恰好配套（上衣件数与裤子条数相等）得 。 由②得 ，即 ，代入①： 解得 ，。 答：应安排 名工人生产上衣、 名工人生产裤子。 （2）每天生产上衣 （件），生产裤子 （条），恰好配成 套。 答：该厂每天最多可配成 套校服。 【连词】“工人总数 ”与“上衣件数等于裤子条数”是两条独立等量关系：前者管人力分配，后者管配套比例，缺一条都定不下方案。配套问题的关键关系常藏在“1件上衣配1条裤子”这类生活常识里——把常识翻译成等式，两个未知数才被两条关系牢牢锁定。 17.【提高】（8分） 【知识点】增收节支（定价、进价与利润）综合应用 【来源】全国通用定价利润经典题改编（题库第52题同类，智能台灯情境） 【解析】设每盏台灯的定价为 元、进价为 元。 按定价销售每盏获利 元： ①； 折销售 盏的利润为 ，每盏降价 元销售 盏的利润为 ，由二者相等： 整理得 ，即 ，两边乘 得 ，化简为 ②。 由①得 ，代入②： ，，。 答：每盏台灯的定价为 元、进价为 元。 检验：打折售价 （元），每盏利润 元， 盏利润 元；降价后售价 元，每盏利润 元， 盏利润 元，符合题意。 【连词】本题两个未知数（定价、进价），对应两条独立关系：“每盏获利 元”给的是定价与进价的差；“两种促销利润相等”给的是两种销售方式的利润算式。折扣题的陷阱在折扣基数——打 折是对定价打折而不是对进价，等量关系必须围绕“利润等于售价减去进价”逐句翻译，关系列准了，方程组自己会给出答案。 18.【提高】（8分） 【知识点】方案决策（二元一次方程的正整数解+一次函数比较最优） 【来源】原创题（深圳盐田港物流情境，题库第77题，配图 ch5_b18） 【解析】 （1）由恰好运完 t，得 ∴ 。由 、 为非负整数，知 是 的倍数： · 时，； · 时，； · 时，。 故共有 种可行方案：方案①租 A 车 辆、B 车 辆；方案②租 A 车 辆、B 车 辆；方案③租 A 车 辆、B 车 辆。 （2）总运费 随 的增大而减小，故 取最大值 时运费最省： · 方案①： 元； · 方案②： 元； · 方案③： 元。 答：租 A 车 辆、B 车 辆时总运费最省，最省运费为 元。 【连词】一个方程 含两个未知数，本应有无数组解——这正是“一个方程对应一条直线、线上有无数点”的现实版；但车辆数必须是非负整数，整数条件把直线上的点筛得只剩三个，可行方案由此确定。运费 也是一个关于 的一次式，它的图象是图中从左上向右下倾斜的线段：点沿线段向右走，运费沿函数值下降，“最省方案”就是线段上位置最低的那个整数点。方案选择，就是方程（定可行点）与函数（比大小）的联手。 19.【提高】（9分） 【知识点】两直线交点即方程组的解；图象与坐标轴围成的三角形面积；平移后由交点条件定解析式 【来源】全国通用数形综合题改编（题库第96题同类，配图数据以任务卡 ch5_b19 为准） 【解析】 （1）令 ，得 ，，，∴ 。 验证：把 代入两方程， 成立， 成立，故 是方程组的解。 （2） 与 轴交点：令 ，，，得 ； 与 轴交点：令 ，，，得 。 ∴ ， 边上的高为点 到 轴的距离 ， （3） 与 轴的交点为 。平移不改变斜率，设平移后的直线为 ；由它过点 ，得 ，。 ∴平移后直线对应的函数表达式为 ；它由 ： 向下平移 个单位得到。 【连词】第（1）问再次印证“解即交点”：求交点坐标就是解方程组，方程组的解画出来就是交点。第（3）问反过来用：要让平移后的直线与 交于 轴上的点，这个交点只能是 与 轴已有的交点 ——交点必须同时在两条线上， 在 上、在 轴上，就必然在所求直线上。一个点在直线上，它的坐标就满足直线方程，于是待定的截距被一个方程锁定：形的位置条件翻译成数的方程，这正是数形互译的双向通行。 20.【提高】（12分）★ 【知识点】解代入求参数；加减消元法与直线位置关系；整体换元法解方程组（消元迁移综合） 【来源】原创综合探究题（题库第100、99题同类整合，连词③⑥综合） 【解析】 （1）把 代入方程组：，得 ；，得 。 （2） ① 得 ③；② 得 ④； 得 ，；把 代入①，得 ，。 ∴方程组的解为 。 两个方程对应直线 与 ，它们的斜率不同，故两直线相交（交点为 ），方程组有且只有一组解。 （3）令 、，原方程组化为 ，得 ，；把 代入①，得 ，。 于是 ，两式相加得 ，，。 【连词】这道综合题把消元思想完整走了一遍：第（1）问“解代入”靠的是公共解满足每一个方程；第（2）问加减消元把二元降为一元，而“斜率不同的两直线相交”正是“有且只有一组解”的几何解释——解的个数由直线位置决定；第（3）问的换元则说明消元可以迭代：先把 、 当新未知数消一次元，再对 、 消一次元。从二元到一元、从复杂整体到简单整体，每一步都是把“不会解的问题”化成“已经会解的问题”——化归是本章一以贯之的主线。 附录 附录一 A卷双向细目表 题号 题型 分值 难度 知识点（考点编号） 教材章节 核心素养 情境类型 命题来源 1 选择 3 基础 二元一次方程概念辨析（K1） §5.1 抽象能力 无 教材习题改编 2 选择 3 基础 方程↔直线上的点（K11） §5.4 几何直观、符号意识 无 教材改编 3 选择 3 基础 方程组解的检验（公共解）（K2） §5.1 运算能力 无 深圳期末改编 4 选择 3 中档 交点即解、读图取解（K12） §5.4 几何直观、模型观念 坐标系 福田25-26期末改编 5 选择 3 基础 鸡兔同笼列方程组（K6） §5.3 模型观念、应用意识 深圳野生动物园 深圳情境改编 6 选择 3 基础 代入消元法（K3） §5.2 运算能力 无 教材习题改编 7 选择 3 基础 增收节支列方程组（K7） §5.3 模型观念、应用意识 深圳水果市场 深圳情境原创 8 选择 3 中档 无解方程组（矛盾式）（K5） §5.2 推理能力 无 教材改编 9 选择 3 基础 解代入求参数 （K2） §5.1 运算能力、符号意识 无 深圳期末改编 10 选择 3 基础 加减消元法（K4） §5.2 运算能力 无 深圳期末改编 11 填空 3 基础 数字问题（位值原理）（K8） §5.3 模型观念、运算能力 里程碑上的数 教材习题改编 12 填空 3 基础 图象法读交点（K12） §5.4 几何直观 坐标系（图ch5_a12） 深圳期末改编 13 填空 3 基础 墨水遮挡反推方程组的解（K2） §5.1 推理能力、运算能力 无 宝安24-25模拟改编 14 解答 8 基础 代入/加减解方程组（K3、K4） §5.2 运算能力 无 龙华24-25期末+宝安模拟改编 15 解答 8 基础 待定系数求解析式、验点（K13） §5.4 运算能力、几何直观 坐标系（图ch5_a15） 原创 16 解答 8 基础 购票应用列方程组求解（K9） §5.3 模型观念、应用意识 深圳公园门票 深圳情境原创 17 解答 8 中档 三线读图：平行无解+交点即解（K5、K12） §5.2/§5.4 几何直观、推理能力 坐标系（图ch5_a17） 原创 18 解答 8 中档 增收节支利润问题（K7） §5.3 模型观念、运算能力 工厂增收节支 教材例题改编 19 解答 9 提高 文创单价+正整数方案枚举（K10） §5.3 模型观念、应用意识、创新意识 深圳文创产品 深圳真题改编 20 解答 12 提高 消元计算+整体换元+三元阅读（K3/K4/K14）★ §5.2/§5.5 运算能力、推理能力、创新意识 阅读探究 龙岗25-26期末改编+原创 难度统计：基础14题、中档4题、提高2题，分值比约 ，符合A卷基础过关卷 的定位。 附录二 B卷双向细目表 题号 题型 分值 难度 知识点（考点编号） 教材章节 核心素养 情境类型 命题来源 1 选择 3 基础 二元一次方程组概念辨识（K1） §5.1 抽象能力 无 真题改编 2 选择 3 基础 方程的解↔直线上的点（K11） §5.4 几何直观、符号意识 无 原创 3 选择 3 基础 方程组解代入求参数（K2） §5.1 运算能力、模型观念 无 真题改编 4 选择 3 中档 恒等变形与交点即解（K12） §5.4 几何直观、推理能力 无 原创 5 选择 3 基础 代入法步骤找错（K3） §5.2 运算能力、推理能力 无 原创 6 选择 3 基础 加减消元变形策略（K4） §5.2 运算能力 无 真题改编 7 选择 3 基础 *三元整体相加求三式之和（K14） §5.5* 运算能力、推理能力 无 原创 8 选择 3 中档 无解条件与两直线平行（K5） §5.2/§5.4 推理能力、几何直观 无 真题改编 9 选择 3 基础 古算列方程组（K6） §5.3 模型观念、应用意识 《孙子算经》引绳量木 教材古算改编 10 选择 3 基础 数字问题（K8） §5.3 模型观念、运算能力 里程碑上的数 原创 11 填空 3 中档 折扣问题列方程组并求解（K7） §5.3 模型观念、运算能力 深圳商场促销 原创 12 填空 3 中档 图象法读交点、象限判断（K12） §5.4 几何直观 坐标系（图ch5_b12） 真题改编 13 填空 3 基础 相遇问题列方程组（K9） §5.3 模型观念、应用意识 深圳绿道骑行 原创 14 解答 8 中档 换元法、去分母加减消元（K3/K4） §5.2 运算能力、推理能力 无 真题改编 15 解答 8 中档 解的个数判定：无数解/无解/一组解（K5） §5.2/§5.4 推理能力、几何直观 无 真题改编 16 解答 8 基础 配套问题列方程组（K9） §5.3 模型观念、应用意识 深圳校服厂 原创 17 解答 8 提高 定价利润综合（K7） §5.3 模型观念、运算能力 深圳商场台灯促销 真题改编 18 解答 8 提高 调运方案正整数解+函数决策（K10） §5.3/§5.4 模型观念、运算能力、应用意识 盐田港物流（图ch5_b18） 原创 19 解答 9 提高 交点即解、三角形面积、平移定解析式（K12/K13） §5.4 几何直观、运算能力、推理能力 坐标系（图ch5_b19） 真题改编 20 解答 12 提高 参数求值、消元与直线位置、换元迁移（K14）★ §5.2/§5.4/§5.5 运算能力、推理能力、创新意识 阅读探究 原创 难度统计：基础10题、中档6题、提高4题，分值比约 ，符合B卷培优提升卷约 的定位。 附录三 A卷选题来源表 题号 来源类型 具体出处 改编说明 1 教材习题改编 北师大八上§5.1习题同类（题库第1题） 四选项考查二元一次方程三条件，干扰项含二次项、分式项 2 教材改编 方程↔直线互译（题库第82题） 给定直线解析式判断哪组解不在方程上，点在线上⇔满足方程 3 深圳期末改编 深圳区校期末解的检验题（题库第7题） 四组数对代入检验公共解，解为 4 真题改编 深圳福田区2025—2026学年八上期末第4题（题库第89题） 两直线交点读图取方程组的解 5 深圳情境改编 鸡兔同笼经典模型（题库第33题） 情境换为深圳野生动物园孔雀与梅花鹿，按头数列方程 6 教材习题改编 北师大§5.2代入法习题（题库第13题） 规范代入消元步骤，解为 7 深圳情境原创 增收节支模型（题库第46题） 情境为深圳水果市场荔枝与芒果进货，按重量与总价列方程组 8 教材改编 无解方程组辨析（题库第28题） 加减消元出现矛盾式，判断方程组无解，对应两直线平行 9 深圳期末改编 含参数方程解题型（题库第10题） 把解代入含 的方程反求参数， 10 深圳期末改编 深圳区校期末加减消元题（题库第21题） 规范加减消元步骤，解为 11 教材习题改编 里程碑上的数字问题（题库第58题） 两位数数字对调关系，原数为36 12 深圳期末改编 深圳期末图象交点题（题库第86题，配图ch5_a12） 与 交于 ，读图写解 13 真题改编 深圳宝安区2024—2025模拟第6题（题库第12题） 墨水遮住两数，用公共解满足两方程反推 、 14 真题改编 深圳龙华区2024—2025期末第15(1)题+宝安模拟（题库第15、27题） (1)代入法解 ；(2)加减法解 15 原创 待定系数法（题库第93题，配图ch5_a15） 直线过 、 求 ，再验点 是否在图象上 16 深圳情境原创 购票问题（题库第69题） 深圳公园成人票15元学生票10元，200人票款2400元，教师80人、学生120人 17 原创 三线位置关系读图（配图ch5_a17） 与 平行无解， 分别交于 、 18 教材例题改编 北师大增收节支例题（题库第47题） 去年收入2000万支出1800万，今年收入增20%、支出减10%，今年收入2400万、支出1620万，利润780万（整数版） 19 深圳真题改编 文创方案题（题库第78题） 两种文创单价30元、25元，600元采购的正整数方案 共3种 20 真题改编+原创 深圳龙岗区2025—2026期末第15题+三元阅读（题库第25、99、97题） (1)加减解 ；(2)整体换元解 ；(3)三元阅读三式相加 ，逐步消元得 附录四 B卷选题来源表 题号 来源类型 具体出处 改编说明 1 真题改编 深圳龙华区2025—2026学年八上期末同类考法（题库第2题） 四个干扰项分别为 项、 项、标准二元一次、三元方程组，考“几元几次”辨析 2 原创 连词①“方程↔直线”逆向考法（题库第83题同类） 上取3点、线外取1点 ，点在线上⇔坐标满足方程 3 真题改编 全国通用含参数方程组解题型（题库第9题同类） 解 代入 、，解得 、，数字全部重设 4 原创 连词②恒等变形考法（题库第90题同类） 交点 不读图、由“方程恒等变形解不变”判断，系数全部重设 5 原创 代入法步骤辨析题（题库第14题同类） 方程组 、，错设在第二步去括号漏乘 ，正确解 6 真题改编 全国通用加减消元策略题（题库第20题同类） 、，①×2−②×5 消 ，干扰项分别为消错元、加号不抵消 7 原创 *三元整体相加（题库第98题） 、、，三式相加 ，，选学点到为止 8 真题改编 全国通用系数成比例无解判定（题库第30题） 、 无解⇔平行不重合，、，锚点数据保留 9 教材古算改编 《孙子算经》“引绳量木” 余绳4尺、对折不足2尺，列 、，木8尺绳12尺，古算新编 10 原创 数字问题倍数+对调和（题库第59题） 十位是个位2倍、对调后和99，原数63；位值 为考查核心 11 原创 折扣增收节支（题库第48题同类） 原价和500、8折+9折实付440，A原价100、B原价400，数字情境重设 12 真题改编 深圳期末图象交点题（题库第87题，配图ch5_b12） 与 交于 ，方程组改写为 、，加象限判断 13 原创 相遇问题（深圳绿道情境） 2h合走36km、乙比甲快2km/h，列 、，甲8乙10 14 真题改编 换元题（题库第24题）+去分母题（题库第23题） (1) 、 解 ；(2) 分数系数去分母解 ，数字重设 15 真题改编 解的个数综合判定（题库第32题） 、： 无数解、 无解、 一组解，代数几何双解 16 原创 深圳校服厂配套（题库第67题同类） 90人、上衣15件/天、裤子10条/天，36人上衣54人裤子，配成540套 17 真题改编 定价利润经典题（题库第52题同类） 每台获利45元、8.5折售8台与降价35元售12台利润相等，定价200进价155，情境换智能台灯 18 原创 盐田港调运方案（题库第77题，配图ch5_b18） 10a+6b=60 三方案 ，，最省4800元 19 真题改编 数形综合题（题库第96题同类，配图ch5_b19） 、，、、，面积4；平移后 （下移4单位） 20 原创 消元综合探究（题库第99、100题同类整合）★ (1) 解 求 、；(2) 加减解 说两线相交；(3) 换元解 附录五 命题说明 一、核心概念 本章的核心大观念是：二元一次方程是含两个未知数的一次等量约束——一个方程对应一条直线（无数组解），两个独立方程组成方程组时，公共解就是两条直线的交点；解方程组的通法是消元（代入、加减），把不会解的二元化归为会解的一元；方程组解的个数（一组/无解/无数组）由两直线的位置关系（相交/平行/重合）决定；列方程组解应用题的铁律是 个未知量配 个独立等量关系；消元思想可以迭代推广到三元与整体换元。 这一大观念包含四个层次： 1. 方程↔直线（同构）：一个二元一次方程有无数组解，以解为坐标的点构成一条直线；点在直线上⇔坐标满足方程； 1. 解↔交点：方程组的解是两个方程的公共解，即两条直线的公共点（交点）；方程恒等变形不改变直线与交点； 1. 消元化归：二元方程组无公式可套，必由之路是消去一元退回一元一次方程；代入、加减、换元都是消元的手续； 1. 个数由位置决定：相交⇔一组解、平行⇔无解（矛盾式）、重合⇔无数组解（恒等式）； 个未知量需 个独立方程，消元可迭代（整体相加、三元→二元→一元）。 二、连词—题目对照表（六条“不得不如此”连词，A/B卷共40处） 连词 不得不如此的数学必然 A卷承载题号 B卷承载题号 ① 一个二元一次方程 ↔ 一条直线 两个自由量受一个线性约束，自由度剩1，解集是一维的直线 1、2 2、18 ② 方程组的解 ↔ 两直线交点 公共点同时在两线上⇔坐标同时满足两方程；恒等变形不动直线 3、4、9、12、13 3、4、12、19 ③ 消元=化归：二元降一元 二元不会直接解、一元会解，消元是必由之路；代入加减换元皆手续 6、10、14、20 5、6、14、20 ④ 解的个数由直线位置决定 相交/平行/重合 ⇔ 一组解/矛盾式/恒等式 8、17 8、15、20(2) ⑤ 元需 个独立方程 少一个关系解不定，关系重复等于没列；位值、配套、折扣皆为独立关系 5、7、11、15、16、18、19 1、9、10、11、13、16、17 ⑥ 消元可迭代（三元→二元→一元） 消元思想对整体、对多元照样适用，每消一元向会解的问题靠近一步 20 7、14(1)、20(3) 三、红线执行说明 · *三元一次方程组仅在 A 卷第20题以“三式相加求 ”阅读理解、B 卷第7题以“三式相加求 ”小题点到为止，全卷无三元完整大题； · 不考不等式组、分式方程组、一元二次方程；A 卷第19题、B 卷第18题方案枚举只用非负整数条件筛选，不涉及不等式组； · 函数只做“方程↔图象”互译与读交点（A 卷第2、4、12、15、17题，B 卷第2、4、12、15、18、19、20题），不深挖 、 的几何意义； · 字母参数不出分类讨论大题：B 卷第8题只反推无解条件、B 卷第15题以给定 、 值判定为主、B 卷第20(1)题代入求值； · 应用题数据均为正整数、符合实际（孔雀梅花鹿头足数；荔枝芒果重量金额；去年收入2000万支出1800万、今年2400万与1620万；教师80人学生120人；文创方案5/10/15件；木长8尺绳长12尺；A、B商品原价100元、400元；上衣36人裤子54人配成540套；台灯定价200元进价155元；三种调运方案运费5000、4900、4800元；甲乙骑行速度8、10 km/h）。 四、配图数据一致性 · ch5_a12（A卷第12题）： 与 ，交点 ，与图一致； · ch5_a15（A卷第15题）：直线过 、，解析式 ，与图一致； · ch5_a17（A卷第17题）：、（平行）、，、，与图一致； · ch5_b12（B卷第12题）： 与 ，交点 ，第二象限，与图一致； · ch5_b18（B卷第18题）：三方案 元、 元、 元（最省），，与图一致； · ch5_b19（B卷第19题）：、，、、，底 、高 ，面积为 ；第（3）问平移后直线 图上未画，题干与解析均不描述图上不存在的线。 五、验算说明 全部答案经纯标准库 fractions.Fraction 高斯消元脚本（A 卷 verify/verify_ch5_A.py 53 项断言、B 卷 verify/verify_b_ch5.py 60 项断言）逐一验算：方程组解回代原方程、无解/无数解判定、应用题正整数方案与运费、图象交点与面积、参数值，共 113 项断言全部 PASS，FAIL=0。沙箱无法联网安装 sympy，Fraction 有理数精确运算对线性方程组与 sympy 结果等价。 附录六 文档简介 本试卷为「构·思」北师大版（2024版）初中数学系列同步单元作业卷第五章《二元一次方程组》，采用 A 基础过关卷 + B 培优提升卷分层模式，专为深圳地区初二学生单元检测设计。全卷共 40 题（A、B 卷各 10 选择、3 填空、7 解答），每卷满分 100 分，建议各答题 60 分钟，A+B 拓展训练合计 120 分钟；A 卷难度配比约 ，B 卷约 。题源约 70% 改编自北师大 2024 新教材例题习题与深圳各区（福田、龙岗、龙华、宝安、罗湖、坪山、盐田等）期末真题及《孙子算经》古算题，约 30% 为原创；深圳本地情境（野生动物园、水果市场、公园门票、文创、绿道骑行、校服厂、盐田港调运等）与古算文化自然融入。命题严格守住课标红线：三元仅以阅读/小题点到、不考不等式组与分式方程组、函数只做方程与图象互译、参数不出分类讨论大题；全卷 6 张配图均按“图形先行、数据驱动、程序断言”流程绘制并逐点核对；全部答案经 Fraction 高斯消元独立验算回代，适合普通班周测、重点班拔高与尖子生思维训练使用。 附录七 关键词 二元一次方程；二元一次方程组；方程组的解；公共解；代入消元法；加减消元法；消元；化归；整体换元；解的个数；无解；无数组解；矛盾式；恒等式；两直线相交；两直线平行；两直线重合；交点坐标；图象法解方程组；方程与一次函数；数形互译；待定系数；直线平移；鸡兔同笼；引绳量木；孙子算经；增收节支；折扣问题；定价与进价；利润；里程碑上的数；位值原理；配套问题；相遇问题；调运方案；正整数解；方案决策；一次函数最值； 个未知数需 个独立方程；三元一次方程组（选学）；整体相加；北师大版八年级上册；2024版；深圳；AB分层；基础过关；培优提升 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组 单元测试卷 2026–2027学年北师大版八年级上册数学 学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ ───────────── 密 封 线 内 不 要 答 题 ───────────── 适用年级： 八年级上学期 适用教材： 北师大版（2024版） 适用区域： 深圳市 考试时间： A卷标准答题时长60分钟；B卷标准答题时长60分钟；A+B拓展训练合计120分钟 试卷结构： A卷（基础过关卷）100分 + B卷（培优提升卷）100分 【系列说明】 本系列为专为深圳地区初二学生量身打造的同步单元作业卷，全套共七套，完整覆盖北师大版八年级上册七个教学单元，贴合深圳本地校历、课堂进度与中考命题导向，可作为日常课后作业、单元限时检测、周末巩固训练使用。整套统一采用 A 基础过关卷 + B 培优提升卷分层模式，精准适配深圳普通平行班、重点实验班差异化教学需求：A 卷立足课本基础，对标日常课后作业要求，夯实概念、基础计算与常规题型，重在巩固课堂所学；B 卷侧重逻辑推理、数学建模、分类讨论、规律探究，拔高空间思维与综合解题能力，满足尖子生拓展提升需求。 【使用指引】 A卷（基础过关卷）： 适用普通班单元周测，侧重二元一次方程（组）的概念辨识、方程（组）解的检验、代入消元法与加减消元法解方程组、二元一次方程与一次函数图象的互译、由交点读方程组的解，以及鸡兔同笼、增收节支、里程碑上的数、配套购票等基础实际应用，重在巩固“消元化归”“数形互译”两条主线。 B卷（培优提升卷）： 适用重点班培优提升，侧重方程组解的个数与直线位置关系的深层互译、含字母系数问题、整体换元与三元消元的思想迁移、方案决策与图象综合探究等核心能力。 试卷题型结构贴合深圳中考单元检测标准：10选择、3填空、7解答，全卷满分100分。 本套分层单元卷适配深圳市北师大版八上第五章二元一次方程组，分基础A卷、培优B卷，贴合本地中考题型，兼顾概念辨析、消元解法、方程与一次函数图象互译、实际建模全考点，适合普通班周测、重点班拔高训练。 说明： 标注★的题目为综合性较强的探究题。解方程组时，结果应写成 的形式。 A卷 得分栏 题号 一（选择题30分） 二（填空题9分） 三（解答题61分） 总分 得分 A卷 · 基础过关卷 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】 下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.【基础】 关于二元一次方程 与一次函数 的图象，下列说法正确的是（　　） A. 方程 只有一组解 B. 函数 的图象与 轴没有交点 C. 以方程 的解为坐标的点都在直线 上 D. 直线 上的点不一定满足方程 3.【基础】 下列各组数中，是方程组 的解的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.【中档】 在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，则关于 、 的方程组 的解是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.【基础】 深圳野生动物园某展区有孔雀和梅花鹿共 只，数腿共有 条。设孔雀有 只、梅花鹿有 头，则下列方程组正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.【基础】 用代入消元法解方程组 ，得到的解是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.【基础】 深圳某水果店购进荔枝和芒果共 kg，荔枝的进价为 元/kg，芒果的进价为 元/kg，购进这批水果共花费 元。设购进荔枝 kg、芒果 kg，则下列方程组正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.【中档】 方程组 的解的情况是（　　） A. 有两组解　　B. 无解　　C. 有且只有一组解　　D. 有无数组解 9.【基础】 若 是关于 、 的方程 的解，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10.【基础】 用加减消元法解方程组 ，得到的解是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 11.【基础】 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 。将十位数字与个位数字交换位置后，所得新数比原数大 ，则这个两位数为　　　　。 12.【基础】 如图，在同一平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 。根据图象直接写出方程组 的解：　　　　。 13.【基础】 小圳解方程组 时，得到的解为 。由于不慎滴下两滴墨水，刚好把常数 和 处的数字遮住了，则 　　　　，　　　　。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【基础】（8分）解下列方程组： （1）； （2）。 15.【基础】（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 和 两点。 （1）求这个一次函数的表达式； （2）判断点 是否在该函数的图象上，并说明理由。 16.【基础】（8分）深圳某公园门票分为成人票和学生票两种：成人票 元/张，学生票 元/张。某校组织 名师生到该公园参观，购买门票共花费 元。问：参观的教师和学生各有多少人？ 17.【中档】（8分）如图，在同一平面直角坐标系中画出了三条直线，它们对应的函数表达式分别为 、、。观察图象并解答下列问题： （1）直线 与直线 对应的方程组 有解吗？请结合图象说明理由； （2）图中点 是直线 与直线 的交点，求点 的坐标，并指出点 的坐标是哪个方程组的解； （3）图中点 是直线 与直线 的交点，写出点 的坐标所对应的方程组，并求出点 的坐标。 18.【中档】（8分）深圳前海某科技公司去年的总收入比总支出多 万元。今年总收入比去年增加 ，总支出比去年减少 ，今年的利润（总收入减总支出）为 万元。求该公司今年的总收入和总支出各是多少万元。 19.【提高】（9分）深圳某文创店销售 A、B 两种文创产品。 （1）已知购买 件 A 产品和 件 B 产品共需 元，购买 件 A 产品和 件 B 产品共需 元。求 A、B 两种文创产品的单价； （2）在（1）的单价下，该店用 元购进 A、B 两种文创产品（两种产品都要有），钱恰好用完。请列出所有可行的购买方案。 20.【提高】（12分）★ 阅读下面的材料，并完成相应的任务。 阅读材料： 解二元一次方程组的基本思想是“消元”——把二元一次方程组化为一元一次方程来解，常用方法有代入消元法和加减消元法。对于结构较复杂的方程组，还可以把一个整体（如 、）看作一个新的未知数，用一个新字母代替它，先解关于新字母的方程组，再回代求出原来的未知数。类似地，含有三个未知数的问题，也可以通过“逐步消元”，先化为二元、再化为一元。 任务： （1）用适当的方法解方程组：； （2）用“整体换元”的方法解方程组：（提示：可令 、）； （3）阅读与迁移：已知 。 ①把三个方程的左右两边分别相加，求 的值； ②利用 的值，分别求出 、、 的值。 B卷 得分栏 题号 一（选择题30分） 二（填空题9分） 三（解答题61分） 总分 得分 B卷 · 培优提升卷 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1.【基础】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 2.【基础】 二元一次方程 的图象是一条直线，下列各点中，不在这条直线上的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.【基础】 若 是方程组 的解，则 、 的值分别为（　　） A. ，　　B. ，　　C. ，　　D. ， 4.【中档】 已知两条直线 与 相交于点 ，则方程组 的解为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.【基础】 某同学用代入法解方程组 ，步骤如下： 　第一步：把①代入②，得 ； 　第二步：去括号，得 ； 　第三步：合并同类项，得 ，； 　第四步：把 代入①，得 。 该同学的解法中，最先出错的一步是（　　） A. 第一步　　B. 第二步　　C. 第三步　　D. 第四步 6.【基础】 用加减消元法解方程组 时，下列变形中能直接消去一个未知数的是（　　） A. ，消去 　　B. ，消去 C. ，消去 　　D. ，消去 7.【基础】 已知 ，，，则 的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.【中档】 若关于 、 的方程组 无解，则 、 应满足的条件是（　　） A. ，　　B. ，　　C. ，　　D. ， 9.【基础】 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道“引绳量木”问题，大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折后再量长木，绳子还比长木短 尺。设长木长 尺、绳长 尺，则下列方程组正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10.【基础】 一个两位数，十位数字是个位数字的 倍；将十位数字与个位数字交换位置后，新数与原数之和为 。则原来的两位数是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 11.【中档】 深圳某商场开展促销活动，A 种商品打 折、B 种商品打 折。小明购买 A、B 两种商品各一件共付 元，已知两种商品的原价之和为 元。设 A 商品原价为 元、B 商品原价为 元，则可列方程组为　　　　　　　　，解得 A 商品原价为　　　　元、B 商品原价为　　　　元。 12.【中档】 如图，在同一平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，则方程组 的解为　　　　　　　　；由此可知点 在平面直角坐标系的第　　　　象限。 13.【基础】 甲、乙两名骑行爱好者从绿道的 A、B 两处同时出发相向匀速骑行，出发 小时后相遇；已知乙每小时比甲多骑行 km，A、B 两处相距 km。设甲每小时骑行 km、乙每小时骑行 km，则可列方程组为　　　　　　　　，解得甲每小时骑行　　　　km。 三、解答题（本大题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题12分，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.【中档】（8分）解下列方程组： （1）； （2）。 15.【中档】（8分）已知关于 、 的方程组 。 （1）当 ， 时，判断方程组解的情况，并说明理由； （2）当 ， 时，判断方程组解的情况，并说明理由； （3）当 满足什么条件时，方程组有且只有一组解？请直接写出结论。 16.【基础】（8分）深圳某校服厂共有 名工人，每名工人每天可生产上衣 件或裤子 条， 件上衣与 条裤子配成一套校服。 （1）为使每天生产的上衣和裤子恰好配套，应安排多少名工人生产上衣、多少名工人生产裤子？ （2）按（1）的安排，该厂每天最多可配成多少套校服？ 17.【提高】（8分）深圳某商场购进一批智能台灯。若按定价销售，每盏台灯可获利 元。国庆期间商场开展促销：将台灯按定价的 折销售 盏所获利润，与按定价每盏降低 元销售 盏所获利润恰好相等。求该台灯每盏的定价和进价。 18.【提高】（8分）深圳盐田港某物流公司需要将 t 货物一次性运往码头，可租用 A、B 两种货车：A 车每辆满载运 t、每辆运费 元；B 车每辆满载运 t、每辆运费 元。要求货物恰好运完、每辆车均满载。 （1）设租用 A 车 辆、B 车 辆，求所有可行的租车方案； （2）设总运费为 元，写出 关于 的函数关系式，并判断哪种租车方案的总运费最省，求出最省运费。 19.【提高】（9分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 对应的函数表达式为 ，直线 对应的函数表达式为 ，、 与 轴分别交于点 、，两直线相交于点 。 （1）求点 的坐标，并验证 是方程组 的解； （2）求 的面积； （3）将直线 上下平移，使平移后的直线与直线 的交点恰好落在 轴上，求平移后直线对应的函数表达式，并说明平移方式。 20.【提高】（12分）★ 综合探究： 阅读材料： 解二元一次方程组的核心思想是消元——把“二元”化为已经会解的“一元”。代入法和加减法是消元的两种常用手续；当方程组中反复出现相同的整体（如 、）时，还可以先把整体设为新未知数，先对整体消元，再回头求原未知数。 请按材料提示解决下列问题： （1）已知方程组 的解为 ，求 、 的值； （2）用加减法解方程组 ，并说出该方程组对应的两条直线有怎样的位置关系； （3）令 、，用材料中的整体换元法解方程组 。 学科网（北京）股份有限公司 $