第五章 二元一次方程组（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，涵盖定义、解法及应用，通过基础题与综合实践题结合，适配八年级上册单元复习，体现抽象能力、运算能力与模型意识的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、解法、解的意义|结合各地期末真题，基础巩固| |填空题|6/18|整数解、参数问题、新定义“对偶函数”|渗透创新思维，考察灵活应用| |解答题|9/72|解方程组、纠错、无人机运输/研学租车应用题、函数图象交点、“共生实数对”新定义|分层设计，融合科技（无人机）、社会热点（研学），体现模型意识与几何直观|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）下列各组数对中，是二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 6．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·广东广州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 9．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知关于、的方程组，当取不同实数时，下列结论正确的是（     ） A．的值与有关 B．方程组的解也是方程的解 C．当时， D．当是整数时，或可能不是整数 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的一组整数解为______（写出一个即可）． 12．（25-26七年级下·北京密云·期末）若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 13．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 14．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 15．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 16．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“对偶函数”． （1）判断函数___________（填“是”或“不是”）“对偶函数”； （2）写出一个是“对偶函数”的一次函数：___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 19．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 20．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）相交于点． (1)求关于，的二元一次方程组的解； (2)若将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线对应的函数解析式． 21．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 22．通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 23．（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 24．类比我们学过的有序数对，观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对实数为“共生实数对”，记为，如：数对都是“共生实数对”． (1)判断数对是不是“共生实数对”，并说明理由； (2)若是“共生实数对”，求a的值； (3)请再写出两对“共生实数对”； (4)若与都是“共生实数对”，求m与n的关系． 25．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）综合与探究 我们曾探究过二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应这个二元一次方程的解，所以我们把这条直线就叫做这个二元一次方程的图象． 【问题探究】 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． (1)请阅读并填空： ①求A点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与x轴相交于点A，所以A点的纵坐标为0（即），将代入中，求得x的值，从而得到点A的坐标为__________； ②求C点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与y轴相交于点C，所以C点的横坐标为0（即），将代入中，求得y的值，从而得到点C的坐标为__________； 【问题迁移】 (2)点D在直线上，若三角形的面积是6，求点D的坐标； 【问题拓展】 (3)在（2）的条件下，当点D在x轴上方时，过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接并延长交y轴于点F，求点F的坐标； 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26七年级下·云南德宏·期末)下列方程中是二元一次方程的是() A.2y=6 B.x+2y=8 C.x2+2y=1 D.y=1+2 2.(25-26七年级下·浙江杭州期末)已知方程3y-4x=5,用含x的代数式表示y,得() A.y=4x+5 3 B,y=+5 C.y=5-4x 3 3.(25-26七年级下·浙江衢州期末)下列各组数对中，是二元一次方程2a-b=5的解是() a=2 a=-2 a=2 a=-2 A.b=1 B.b=1 C.b=-1 D.b=-1 2x+y=7① 4.(25-26七年级下·广西崇左期末)解方程组x-y=2②，下列解法步骤中不正确的是() A.用加减消元法消去y,①+②得3x=9 B.用代入消元法消去y,由①得y=7-2x C.用代入消元法消去x,由②得x=y+2 D.用加减消元法消去x,①-②×2得2y=3 [x=-1 5.(25-26七年级下河南南阳期末)已知y=2是关于x,y的方程x+ay=1的一组解，则a的值为 () A.1 B.0 c.-1 D.2 6.如果(x+y-4+3x-y=0,郑么2x-y的值为() A.-3 B.3 C.1 D.-1 7.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八， 117 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出 7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是( y-8x=3 y-8x=3 8x-y=3 8-x=3 A.y-7x=4 B. 7x-y=4 y-7x=4 D.7x-y=4 2x+y=7 x=1 8.(25-26七年级下广东广州：期末)小明在解关于x,y的二元一次方程组x-y=△时，解得y=0, 则△和口代表的数分别是() A.4和5 B.8和9 C.-8和9 D.-4和5 9.(25-26八年级下云南德宏期末)如图，直线yc+b与y=x+1 (1,2 的图象交于点 ,则关于x,y y=kx+b 的二元一次方程组y=x+1的解是() =+6 P1.2 x=-1 x=2 x=3 x=1 y=0 B.y=3 c.y=4 D.y=2 3x+2y=4-k 10.(25-26七年级下浙江台州期末)已知关于x、y的方程组x-y=3-2k,当k取不同实数时，下 列结论正确的是() A.x+y的值与k有关 B.方程组的解也是方程x+2y=k的解 C.当x-2y=0时，k=2 D.当k是整数时，x或y可能不是整数 217 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.方程2x-y=5的一组整数解为（写出一个即可）· x=a 12.(25-26七年级下北京密云·期末)若y=b是二元一次方程x-3y=4的一组解，则a-3b+1的值为 ax+5y=10① 13.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)在解方程组4x-y=4②时，由于粗心，甲看错了方程①中的a, x=5 x=-3 解得y=4,乙看错了方程②中的b,解得y=-1,原方程组的正确解为 a-b=6 14.(25-26八年级下·辽宁大连期末)已知方程组3a-b=m中，a和b互为相反数，则m的值是 15.定义运算“*”，规定 x*y=ax2+by ,其中a,b为常数，且1*2=5.2*1=6，则2*3= 16(25-26八年级下湖南邵阳期末)定义：P(<)与2(0，)为“对偶点”，对于两数”=f(国，若至 少有一组对偶点在其图象上，且x专y,则称该函数为“对偶函数” (1)判断函数y=2x+1 一（填“是”或“不是”)“对偶函数”； (2)写出一个是“对偶函数”的一次函数： 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.解方程组： 「y=2x-1 (1)3x+2y=12 [2x+3y=7 (2)3x-2y=4 18.(25-26七年级下·湖北荆州期末)下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 317 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的任务： 3x-y=4① 解方程组： 6x-3y=10② 解：①×2，得6x-2y=8③第一步： ②-③，y=2 得.第二步 将y=2代入①， 得x=2.第三步 [x=2 所以，原方程组的解为y=2.第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 以上求解步骤中，第一步的依据是 (2)第 步开始出现错误，具体错误是 (3)求出该方程组的正确解， 19.“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小 茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球， 总得分不低于30分得奖券一张.现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： 0 0 0 ⑧ 小刚：25分 小明：39分 小红：？分 (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由. :y=x+1,n2:y=-x+m 20.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 (m为常数)相交于点 P(1,b) 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 61 y=x+1 (1)求关于x,y的二元一次方程组y=-x+m的解： ②)若将直线？向下平移3个单位长度后得到直线，求直线对应的函数解析式。 21.随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题.在某山区水果种 植基地，果农计划租用A,B两款无人机进行吊运作业.据了解，2架A款无人机和1架B款无人机每次 满载可吊运水果共300千克；1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运水果共330千克. (1)求A,B两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用A,B两款无人机若干架（每架飞机都是满载）， 恰好一次运完，则需要分别租用A,B两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案. 22.通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线=x+6与直线乃=，+6中的6=小 时，两直线互相垂直：反之亦然，即：若两直线互相垂 直， kik=-1 ki k2 (、均不为0)·下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： Q①活直线'过点-)，和点2)，直接与出该直线的离数解析式 ②若直线y=c+l过点年，-2），请间：直线与4)中直线互相垂直吗？试说明理白. 23.(25-26八年级下·云南红河·期末)请你根据下列素材，完成有关任务： 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣， 背景 某市建立了综合实训基地.该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客 车，接送学生前往实训基地. 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等. 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元. 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需 素材三 租赁 请完成下列任务： (I)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐， 且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案， 1 2 24.类比我们学过的有序数对，观察下列两个等式：2 32×3+1,5-2 3 35×+1,给出定义如下：我们 3 医时等式ab山成立的一对实数4D为共生实敌对”，记为a0,:数对23多是我 生实数对” (1)判断数对 2,2)是不是“共生实数对”，并说明理由： (2)若 a,5) 是“共生实数对”，求a的值： (3)请再写出两对“共生实数对”； ④活2m川与m2m）都是“共生实数对”，求m与u的关系. 25.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)综合与探究 我们曾探究过二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.我们知道，二元一次方程有无数个解，在平 面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标(x的值为横坐标，y的值为纵坐标)的点，就会发现这些点 在同一条直线上.反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应这个二元一次方程的解，所以我 们把这条直线就叫做这个二元一次方程的图象. 【问题探究】 如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴，y轴上，直线AB是二元一次方程2x+y=6的图象，直 线BC是二元一次方程x-2y=-2的图象. 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)请阅读并填空： ①求A点的坐标： 因为直线AB是二元一次方程2x+y=6的图象，并与x轴相交于点A,所以A点的纵坐标为0（即y=0), 将y=0代入2x+y=6中，求得x的值，从而得到点A的坐标为 ②求C点的坐标： 因为直线BC是二元一次方程x-2y=-2的图象，并与y轴相交于点C,所以C点的横坐标为0（即x=0), 将x=0代入x-2y=-2中，求得y的值，从而得到点C的坐标为. 【问题迁移】 (2)点D在直线AB上，若三角形AOD的面积是6，求点D的坐标； 【问题拓展】 (3)在(2)的条件下，当点D在x轴上方时，过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E,连接AE并延长交y 轴于点F,求点F的坐标； 7/7 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D A D C D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 16． 不是 （答案不唯一） 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： 把①代入②，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 则方程组的解为..................3分 （2）解： ①②得 ， 解得， 将代入①，得 ， 则方程组的解为．..................6分 18． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2；..................2分 (2)解：二，合并同类项计算错误..................4分 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为..................6分 19． 【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分， 根据题意得：， 解得：， 答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分；..................3分 (2)解：能得到一张奖券，理由如下： （分）， ∵， ∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券．..................6分 20． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 点的坐标为， 关于，的二元一次方程组的解为；..................3分 （2）解：将点代入，得， 解得， 直线对应的函数解析式为， 直线对应的函数解析式为，即．..................6分 21． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克．............4分 （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架．..................8分 22． 【详解】（1）解：设该直线的解析式为，直线过点，和点， 则， 解得， 直线的函数解析式为；..................4分 (2)直线与（1）中直线不垂直．理由： 将点代入直线，可得， 因为，故两直线不垂直．.................8分 23． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元；..................3分 （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆．..................8分 24． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴数对不是“共生实数对”；..................3分 （2）解：∵是“共生实数对”， ∴， 解得：；..................6分 （3）解：设是“共生实数对”， 是“共生实数对”，根据题意得： ，， 解得：，， ∴和都是“共生实数对”；（答案不唯一）..................9分 （4）解：∵与都是“共生实数对”， ∴， 得：， 整理得：．（或）..................12分 25． 【详解】（1）解：①∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， 解得 ∴点A的坐标为；..................2分 ②∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， ∴ ∴点C的坐标为；..................4分 （2）解：∵点A的坐标为 ∴ ∵三角形的面积是6 ∴，即 解得或 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或；..................8分 （3）解：如图， ∵点D在x轴上方 ∴ ∵过点D作x轴的垂线，交直线于点E， ∴点E的横坐标为1 将代入得， 解得 ∴ 设直线的方程为 将，代入得， 解得 ∴直线的方程为 将代入得， ∴．..................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第五章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·云南德宏·期末）下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的判断，根据定义解答，即含有两个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程 ，即为二元一次方程． 【详解】解：A选项：只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项：含两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； C选项：含未知数的项的最高次数为2，不符合题意； D选项：的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过移项、系数化为1，将方程整理为用含的代数式表示的形式，即可得到答案． 【详解】解：原方程为，移项得，两边同时除以，则． 3．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）下列各组数对中，是二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中，的值代入原方程，若代入后左右两边相等，则该组数对是方程的解． 【详解】解：A、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解； B、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解； C、将代入得，左边，右边，左边右边，故是方程的解； D、将代入得，左边，右边，，故不是方程的解． 4．（25-26七年级下·广西崇左·期末）解方程组，下列解法步骤中不正确的是（     ） A．用加减消元法消去，得 B．用代入消元法消去，由得 C．用代入消元法消去，由得 D．用加减消元法消去，得 【答案】D 【分析】根据消元法的规则和等式性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：用加减消元法消去，得，整理得，步骤正确，不符合题意； 选项B：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项C：用代入消元法消去，对移项可得，步骤正确，不符合题意； 选项D：用加减消元法消去，先给两边乘得，再用减去这个式子，即，整理得，不是，步骤错误，符合题意． 5．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【详解】解：把代入，得 ， 移项得， 解得． 6．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“盈”“不足”的含义，分别列总出钱数与物价的等量关系． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， ∵每人出8钱，盈3钱， ∴， ∵每人出7钱，不足4钱， ∴， 联立得． 8．（25-26七年级下·广东广州·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 9．（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 10．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知关于、的方程组，当取不同实数时，下列结论正确的是（     ） A．的值与有关 B．方程组的解也是方程的解 C．当时， D．当是整数时，或可能不是整数 【答案】B 【分析】先利用消元法解二元一次方程组，用表示出和，再逐一验证各选项即可． 【详解】解：， 得， 得，， 解得， 把代入②得，， 整理得， 方程组的解为， 对选项A：，是定值，与无关，A错误； 对选项B：，满足方程，B正确； 对选项C：当时，代入得，整理得，解得，C错误； 对选项D：当是整数时，，都一定是整数，D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的一组整数解为______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵方程， ∴当时，， ∴方程的一组整数解为（答案不唯一）． 12．（25-26七年级下·北京密云·期末）若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， 将代入方程得， ． 13．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 【答案】 【分析】首先根据甲、乙的解求出、的值，即可得到正确的方程组，解方程组求出方程组的正确解． 【详解】解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 原方程组为， 解方程组可得：． 14．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 【答案】 【分析】先对方程组消元，用含的式子表示和，再根据相反数的性质得到，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：， ，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ，互为相反数， ， ， 解得． 15．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 【答案】 【分析】根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“对偶函数”． （1）判断函数___________（填“是”或“不是”）“对偶函数”； （2）写出一个是“对偶函数”的一次函数：___________． 【答案】 不是 （答案不唯一） 【详解】解：（1）根据定义，若是对偶函数， ∴满足方程组 且 ， 解方程组得 ， 此时，不满足的条件，因此不是对偶函数； （2）设一次函数解析式为， 根据定义可得 ， 整理得 ， 当时，等式对任意成立，总能找到满足要求， 取，得到一个符合要求的一次函数为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 则方程组的解为. （2）解： ①②得 ， 解得， 将代入①，得 ， 则方程组的解为． 18．（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 19．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图： (1)每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？ (2)根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由． 【答案】(1)投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； (2)解：能得到一张奖券，理由如下： （分）， ∵， ∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券． 【分析】（1）设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分，根据小刚和小明的得分列二元一次方程组求解； （2）根据得分规则计算小红的得分，然后判断即可． 【详解】（1）解：设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分， 根据题意得：， 解得：， 答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分； （2）略 20．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）相交于点． (1)求关于，的二元一次方程组的解； (2)若将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线对应的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得交点P的坐标，则交点的横纵坐标即为该方程组的解； （2）先求得直线对应的函数解析式为，再根据平移规律“上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 点的坐标为， 关于，的二元一次方程组的解为； （2）解：将点代入，得， 解得， 直线对应的函数解析式为， 直线对应的函数解析式为，即． 21．随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 22．通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)直线与（1）中直线不垂直．理由： 将点代入直线，可得， 因为，故两直线不垂直． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，根据两直线互相垂直的条件进行判断即可． 【详解】（1）解：设该直线的解析式为，直线过点，和点， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （2）略 23．（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． 24．类比我们学过的有序数对，观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对实数为“共生实数对”，记为，如：数对都是“共生实数对”． (1)判断数对是不是“共生实数对”，并说明理由； (2)若是“共生实数对”，求a的值； (3)请再写出两对“共生实数对”； (4)若与都是“共生实数对”，求m与n的关系． 【答案】(1)数对不是“共生实数对” (2) (3)，（答案不唯一） (4)（或） 【分析】（1）根据题目所给“共生实数对”的定义进行判断即可； （2）根据题目所给“共生实数对”的定义列出方程，求解即可； （3）设是“共生实数对”， 是“共生实数对”， 根据题目所给“共生实数对”的定义，列出方程求解即可； （4）根据“共生实数对”定义，得出，再整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴数对不是“共生实数对”； （2）解：∵是“共生实数对”， ∴， 解得：； （3）解：设是“共生实数对”， 是“共生实数对”，根据题意得： ，， 解得：，， ∴和都是“共生实数对”；（答案不唯一） （4）解：∵与都是“共生实数对”， ∴， 得：， 整理得：．（或） 25．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）综合与探究 我们曾探究过二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应这个二元一次方程的解，所以我们把这条直线就叫做这个二元一次方程的图象． 【问题探究】 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． (1)请阅读并填空： ①求A点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与x轴相交于点A，所以A点的纵坐标为0（即），将代入中，求得x的值，从而得到点A的坐标为__________； ②求C点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与y轴相交于点C，所以C点的横坐标为0（即），将代入中，求得y的值，从而得到点C的坐标为__________； 【问题迁移】 (2)点D在直线上，若三角形的面积是6，求点D的坐标； 【问题拓展】 (3)在（2）的条件下，当点D在x轴上方时，过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接并延长交y轴于点F，求点F的坐标； 【答案】(1)①，② (2)或 (3) 【分析】（1）①将代入求解即可； ②将代入求解即可； （2）首先得到，然后根据三角形的面积是6分两种情况，分别列方程求解即可； （3）首先得到，然后求出，求出直线的方程，将代入求解即可． 【详解】（1）解：①∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， 解得 ∴点A的坐标为； ②∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， ∴ ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为 ∴ ∵三角形的面积是6 ∴，即 解得或 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：如图， ∵点D在x轴上方 ∴ ∵过点D作x轴的垂线，交直线于点E， ∴点E的横坐标为1 将代入得， 解得 ∴ 设直线的方程为 将，代入得， 解得 ∴直线的方程为 将代入得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $