2.3 第3课时 二次根式的混合运算-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 3 二次根式 课题 第3课时 二次根式的混合运算 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P44-46 教学目标 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的四则运算。 2.了解根号内含有字母的二次根式的化简。 3.利用二次根式的运算解决简单的数学问题；通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。 4.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值。 教学重难点 重点：会熟练运用公式进行二次根式的运算。 难点：会进行二次根式的混合运算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问： （1）二次根式的乘法法则? 学生： (a≥0，b≥0)。 （2）二次根式的除法法则？ 学生： (a≥0，b>0)。 思考：梯形的上底是，下底，高是，面积是多少？ 答案预设： 梯形面积= 总结：实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式计算中仍然适用。 教师提示：这一节我们继续学习二次根式的四则运算与化简求值问题。 【归纳结论】 实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式计算中仍然适用。 利用实际问题引入，并通过复习二次根式的乘除法法则引入新课，有利于学生迁移知识到新课.并结合前面所学知识学习本节内。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师再指名学生上台板演。 【教材例题】 例6 计算： (1) (2) (3) (4) 解:(1) (2) (3) 提问：第（3）题你还有其他解法吗？ 学生活动：学生思考，举手回答。 解法二： (3) (4) 思考：第（4）题还可以继续化简吗？为什么？ 师生活动：学生思考，举手回答，教师总结。 小结：在上面第（4）题中，很容易看出，化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式。 【归纳总结】 如果算式中的二次根式化简成最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，结果中可保留，不必化为最简二次根式。 尝试·思考： 化简，其中a=28，b=7。你是怎么做的？ 学生活动：思考问题，并尝试独立完成。 答案预设： 把a=28，b=7代入代数式中， 原式= =×14 =-13。 小结：先代入后化简。 追问：你还有其他解法吗？ 学生活动：小组讨论，并总结。 方法二： 原式= 把a=28，b=7代入代数式中， 原式=-13. 小结：先化简后代入。 追问：哪种方法更简便？ 【归纳总结】 含字母的二次根式化简求值的方法： 解决二次根式的化简求值问题时，直接代入求值比较麻烦，可先化简已知条件，再用乘法公式变形，最后代入求值即可. 思考·交流： 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1。 （1）求梯形ABCD的周长。 （2）求梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法？与同伴进行交流。 预设答案： （1）AD=6，CD=BC=2，AB=5，∴梯形ABCD的周长=6++7。 （2）方法1：分割法 可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. S梯形ABCD=S1+S2+S3 =18. 方法2：补图法 通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示. S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2 =18。 方法3：直接法 过点D作AB边的高DE，如图所示. 根据勾股定理得CD=，AB= CD∥AB,CD与AB间的距离DE= S梯形ABCD =18。 继续熟悉二次根式的加、减、乘、除运算，但运算的难度要求稍有提高，同时关注解决问题方法的多样化，引导学生灵活运用法则解决问题。同伴间进行交流，教师适时引导。激发学习热情。 思考不同的解题方法，体会解决问题的方法的多样性。 在交流中进一步感受方法的多样化，同时对方法的优化有所感悟，具备一定的优化意识。 体会先化简后求值这种常见题型，通过这一环节的学习，学生可以对比整式运算法则理解二次根式运算法则并掌握。 此题的方法有很多，让学生充分发表意见，培养学生的探索能力。让学生体验数学活动充满着探索与创造。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次根式的混合运算 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解。 例 计算： 解：（1）原式 （2）原式 变式训练 计算： （1）(2－)×(＋)； （2）(3＋)×(－4)． 解：（1）原式＝(－)(＋)＝×＋×－×－×＝2＋2－1－＝1＋； （2）原式＝(3＋4)(3－4)＝(3)2－(4)2＝18－48＝－30。 考点2 含字母的二次根式的运算 例 化简： （1）；（2）； （3）（，）。 解：（1）＝＝＝； （2）＝＝； （3）＝＝＝。 变式训练 求代数式的值，其中，。 解：由题知，， ＝ ＝ ＝ ＝． 当，时，原式=＝。 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列运算，结果正确的是(　　) A.－＝ B．3＋＝3 C.÷＝3 D.×＝2 答案：D 2．下列各数中与2+的积是有理数的是（ ） A．2- B．2 C． D．2+ 答案：A 3．计算(﹣3)0+﹣的结果是（ ） A．1+ B．1+2 C．1+4 D． 答案：B 4.计算： （1）（7+）（7﹣4）﹣（3﹣1）2； （2）÷2。 解：（1）原式=49-28+7-12-（27-6+1）= 37-21-28+6=9-15. （2）原式=÷2-4÷2+3÷2= -2+=-1+3=+2。 5.已知已知a＝，b＝，求的值 解：∵a＝＝＝＋2， b＝＝＝－2， ∴a＋b＝2，ab＝1。 ∴＝=＝＝2。 通过练习，进一步巩固二次根式的混合运算和求值化简的基本思路和基本方法。 5.课堂小结，自我完善 1.二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行。 2.化简已知条件和所求代数式。 3.分母有理化。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P47习题2.3中的T3、T5、T10。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．学生需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用。 本节课还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $