2.2 平方根与立方根（第1课时 算术平方根）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦算术平方根的概念、符号表示及双重非负性，通过正方形画布面积问题导入，结合勾股定理中无理数情境，构建“已知平方求正底数”的学习支架，衔接有理数、乘方等旧知。 特色在于以实际问题驱动概念生成，如自由落体时间计算培养模型意识，通过分类讨论a的正负深化性质理解发展推理能力，例题涵盖平方数与非平方数提升抽象能力，助力学生建立数学与现实联系，为教师提供清晰的概念形成逻辑与分层教学资源。

2.2.1 算术平方根（第1课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 【新教材】北师版·八年级上册 2.2.1 算术平方根（第1课时） 教学目标 1．了解算术平方根的概念及其性质。 2．会根据算术平方根及其性质解决实际问题。 3．了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力。 教学重点 算术平方根的概念、符号表示及其双重非负性。 教学难点 的分类化简与“非负数和为0”性质的综合运用；将实际问题抽象为求算术平方根的数学模型。 教材分析 本节内容为北师版八年级上册第二章《实数》2.2.1“算术平方根”第1课时。核心知识包括：算术平方根的概念、符号表示、被开方数的取值范围、算术平方根的性质（，），以及的化简和简单应用。 概念形成逻辑：由正方形面积求边长，引出“已知平方结果求正底数”的需求；再结合勾股定理得到，，，，发现无法用有理数精确表示，从而自然产生引入算术平方根的必要性。定义一个正数满足，则叫做的算术平方根，记作，并规定的算术平方根是。由此明确被开方数，负数没有算术平方根。进一步通过与的辨析，深化对算术平方根非负性的理解。本节是后续学习平方根、立方根及实数运算的基础，也是用无理数表示现实数量关系的重要工具。 学情分析 学生已学习有理数、乘方、勾股定理及无理数的初步认识，具备由平方运算逆推平方根的基础。对于“面积为25的正方形边长是5”这类直观问题，学生容易理解，因此算术平方根概念的归纳相对较易。但学生初次接触根号，对既表示一种运算又表示运算结果，以及需按的正负分类讨论，容易产生困惑。将自由落体、几何面积等实际问题转化为方程再求算术平方根，对学生的抽象建模能力要求较高，是本章节学习的主要难点。教学时应借助面积、勾股定理等具体情境，从“已知平方结果求正底数”切入，通过对比、分类讨论和变式训练，帮助学生突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【引入新课】学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 从学生熟悉的正方形面积问题出发，建立“已知平方求底数”的现实需求，激发学习兴趣，明确学习方向。 探究点1：算术平方根的概念与表示 【问题引入】请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： 学生计算得： 【师生活动】教师提问：x、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？ 学生回答：z 是有理数，x、y、w 是无理数. 教师追问：为什么 不写成 ？ 学生明确： 表示边长，只能取正数。 教师引导：这些无理数又该如何表示呢？由此引入根号。 【归纳总结】算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 特别地，我们规定：0的算术平方根是0即． 【新知探究】1.一个正数的算术平方根有几个？ 解：一个正数的算术平方根有 1 个.正数的平方不可能是负数. 2.0的算术平方根有几个？ 解：0的算术平方根有一个，是0. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 解：负数没有算术平方根. 【探究思考】教师提问：你能根据等式=144，说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来. 学生回答： 教师总结:常见平方数： 【例题巩固】例1.求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ；(4)14 ． 解析： .因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 . 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 . 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 . 不是平方数，其算术平方根只能表示为 方法技巧：非平方数的算术平方根只能用根号表示。 通过勾股定理中的实际计算制造认知冲突，使学生体会引入根号的必要性；在判断、讨论中强化算术平方根的概念及被开方数的非负性，为后续学习打好基础。 探究点2：算术平方根的性质 【思考交流】观察例1中得到的几个式子： 一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ 这些数都可以化成 的形式。 在上面的式子中，，也就是 。一般地，当 时， 成立吗？ 成立。 当 时， 还成立吗？ 不成立。如 。 所以： 成立吗？这里的 是什么数？你是怎么理解的? 与同伴进行交流. 成立，这里的 是非负数。 【归纳总结】 当 a＜0 时， -a. 一般地： 即当 时为 ，当 时为 。 【例题巩固】例2.自由下落物体下落的距离 s（m）与下落时间 t（s）的关系为 s = 4.9 . 有一铁球从 19.6m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 代入 ，得： 因为 ，所以： 答：铁球到达地面需要 s。 方法技巧：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值。 例3.若 ，求 的值. 解：因为 ，， 又 ， 所以 ，， 所以 ，， 因此： 方法技巧：几个非负数的和为 ，则每个数均为 。初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根。 通过观察、举例、分类讨论，帮助学生自主发现 和 ，突破性质理解难点，强化算术平方根的双重非负性。 课堂小结 板书设计 2.2.1 算术平方根（第1课时） 探究点1：算术平方根的概念与表示 探究点2：算术平方根的性质 随堂练习 1.一个数的算术平方根是 ，则这个数是（） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【答案】B 2. 2.求下列各数的算术平方根： 16 【解析】 .因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 . 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 .因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 4.因为=16，所以的算术平方根是4 3. 3.如果将一个长方形 折叠，得到一个面积为 的正方形 ，已知正方形 的面积等于长方形 面积的 倍，求长方形 的长和宽。 4. 解：设正方形 的边长为 ， 则： 所以： 所以： 又因为： 设 ，则： 解得： 所以： 答：长方形 的长为 cm，宽为 cm。 教学反思 本课教学目标基本达成。通过正方形边长问题引入，学生能自然理解算术平方根的概念，借助例1对不同类型的数（平方数、分数、非平方数）进行开平方训练，概念理解目标通过例题辨析基本达成。学生在“ = |a|”的理解上存在一定困难，特别是当 a < 0 时容易忽略绝对值，需在后续练习中继续强化。双重非负性在例3中的运用效果较好，多数学生能掌握“几个非负数和为0，则每个非负数均为0”的模型。不足之处在于实际应用问题（如自由落体）留给学生思考的时间偏少，列方程建模仍需加强引导。后续教学可增加小组合作列方程的时间，并结合生活实例进一步体会算术平方根的应用价值。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $