2.3 二次根式（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“二次根式”核心知识点，系统梳理概念（定义、有意义条件、双重非负性）、性质（最简二次根式、同类二次根式）、运算法则（乘除、加减、混合运算、分母有理化）及应用（几何求值、实际问题），承接七年级实数内容，为后续一元二次方程、勾股定理等学习搭建“概念-性质-运算-应用”的完整学习支架。 该资料通过“特别提醒”“易错提醒”精准突破双重非负性应用、含字母根式分类讨论等难点，培养学生抽象能力与推理意识。随学随练与题型分类结合，从基础辨析到综合运算，提升运算能力。几何应用题型（如正方形面积、勾股定理计算）体现模型意识，助力学生用数学语言解决实际问题。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第二章 实数 2.3 二次根式 课标要点 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式中被开方数字母的取值范围，理解二次根式双重非负性。 2.经历探索二次根式性质、乘除、加减运算法则的过程，体会类比、从特殊到一般的数学思想，发展推理意识。 3.掌握二次根式的四则运算法则，能进行二次根式的化简、简单四则运算及混合运算，运算结果化为最简二次根式，会简单分母有理化。 4.能运用二次根式的相关知识解决简单的几何求值、实际应用问题，规范运算步骤，提升运算能力，养成严谨的数学书写习惯。 学习重难点 重点： 1. 二次根式的概念，被开方数的取值范围，二次根式的两条核心性质：，。 2. 最简二次根式的判定，二次根式的化简，二次根式乘除、加减运算法则。 3. 二次根式的四则混合运算，能正确运用乘法公式进行根式运算。 难点： 1. 理解，化简含字母的二次根式，需要进行分类讨论时容易出错。 2. .灵活运用二次根式的双重非负性进行求值，多个非负数之和为 0 类题型。 3. 分母有理化、二次根式混合运算，准确区分同类二次根式，运算中符号、步骤易错，综合题型灵活运用能力提升。 知识点 二次根式 定义：一般地，形如（）的式子，叫做二次根式。其中叫做被开方数，叫做二次根号。 二次根式标准形式： 特别提醒 判断是否为二次根式，只看外在形式是否带二次根号，与结果是否为整数、有理数无关；只要式子含有且被开方数非负，就是二次根式。 易错提醒 学生常误以为开得尽方的不是二次根式（如也是二次根式）；忽略前提条件： 被开方数必须≥0，当被开方数<0无意义，不是二次根式。 教材延伸 二次根式是初中 “式的运算” 重要模块，承接七年级实数，为后续一元二次方程、勾股定理计算、反比例函数根式运算打基础。 随学随练 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 5．请写出一个系数为正整数的二次根式________． 知识点 二次根式有意义的条件 二次根式在实数范围内有意义的唯一条件：被开方数为非负数。有意义 特别提醒 单独二次根式：被开方数；根式在分母位置：被开方数必须（分母不能为0）。 易错提醒 分式+根式综合题型，只考虑根式≥0，忘记分母不能为 0；多个根式共存时，只满足一个，未联立所有不等式取公共解集。 教材延伸 本知识点是中考必考选择题，常结合分式、零次幂、负指数幂综合考查自变量取值范围。 随学随练 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．要使有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．要使式子有意义，则x的最大值为________． 知识点 二次根式的双重非负性 定义：二次根式自带两个非负属性，称为双重非负性，是初中三大非负数之一（平方、绝对值、二次根式）。 被开方数非负：；根式结果非负： 特别提醒 若几个非负数的和为 0，则每一个非负数单独等于 0。 常见组合： 易错提醒 只记住被开方数非负，忘记根式结果≥0。 多个非负数相加为0时，解方程漏项、少写等式。 教材延伸 双重非负性是八年级上册难点小题压轴，广泛用于求值、求参数、字母求解问题。 随学随练 1．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 3．若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 4．已知，则______． 5．若x，y为实数，且，则的值是_________． 知识点 最简二次根式 概念：同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 特别提醒 易错提醒 被开方数含有可开方因数（如）不继续化简。 被开方数含分母，认为已经是最简。 教材延伸 所有根式运算最终结果必须化为最简，是考试扣分重灾区。 随学随练 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 4．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 6．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 知识点 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式为同类二次根式。 特别提醒 必须先化简，再判断，不能直接看原式。 只有同类二次根式可以合并，非同类绝对不能合并。 易错提醒 教材延伸 同类二次根式类比整式 “同类项”，是根式加减运算的核心依据。 随学随练 1．下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与可以合并，则______________． 5．若二次根式和能够合并，则的值可能为：______．（写出一个即可） 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 7．当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 知识点6 二次根式乘法法则 定义：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 公式：；逆用公式（化简核心）： 特别提醒 正向用于计算，逆向用于根式化简（拆分因数开方）。 两个被开方数必须全部非负。 易错提醒 负数带入公式运算，法则失效。 拆分因数不彻底，化简不完整。 教材延伸 逆用乘法公式是根式化简最快方法，贯穿所有计算题型。 随学随练 1．计算的结果是_____． 2．计算的结果是 _____． 3．计算___________． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点7二次根式除法法则 定义：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 公式：；逆用公式： 随学随练特别提醒 分母不能等于 0。 带分数必须先化为假分数再运算。 易错提醒 忽略分母，出现分母为 0 的错误。 根式除法直接分子分母单独开方、不化简。 教材延伸 除法法则是分母有理化的前置基础，是根式规范运算必备知识点。 1．计算：__________． 2．计算的结果等于______． 3．计算的结果是___________． 4．计算： (1)； (2)． 知识点8 分母有理化 定义：把分母中的根号去掉，将分母化为有理数的变形过程，叫做分母有理化。 公式：单项分母有理化：；两项分母有理化： 随学随练特别提醒 两项型必须利用平方差公式去根号。 分子分母同乘的式子必须与分母共轭。 易错提醒 两项有理化时，分子符号不变、分母符号错误。 有理化后不化简最终根式。 教材延伸 分母有理化是中考必考计算步骤，是根式规范化的标志。 1．下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 2．的倒数是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 4．把化去分母中的根号后得______． 5．分母有理化：_______． 6．分母有理化：_______． 7．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 8．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 知识点9 二次根式加减法法则 定义：二次根式加减运算，实质是合并同类二次根式。运算口诀：一化、二找、三合并。 公式： 特别提醒 非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 系数相加减，根号与被开方数保持不变。 易错提醒 未化简直接合并；被开方数不同强行合并；合并时根号内数字参与加减。 教材延伸 根式加减是八上计算基础，和整式加减逻辑完全对应。 随学随练 1．计算的结果是_______ 2．________； 3．计算的结果是________． 4．计算： 5．计算：． 知识点10 二次根式混合运算 定义： ：； 特别提醒 能套用乘法公式优先套公式，简化计算。 所有结果必须化为最简二次根式。 易错提醒 运算顺序混乱，先加减后乘除；公式套用符号出错；最终结果不化简。 教材延伸 为本章期末必考大题，是初中计算能力核心考察点。 随学随练 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于二次根式的计算或取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．的计算结果是（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果为__________________ ． 5．计算：_____________． 6．计算 ______ ． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1) (2) 知识点11 二次根式化简求值 定义：先对代数式进行化简，再将根式字母值代入计算，遵循先化简、后代入原则。 公式：整式因式分解公式、根式运算公式综合使用。 特别提醒 绝对禁止直接硬代数值计算，容易算错、步骤繁琐。 优先因式分解、配方、整体代换。 易错提醒 不化简直接代入复杂根式计算；化简过程漏项、符号出错。 教材延伸 八上期末高频解答题，也是中考代数式必考题型。 随学随练 1．已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若，则代数式的值是（     ） A．2022 B．-2022 C．2023 D．-2023 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 5．当时，的值为__________． 6．若，，则________． 7．已知，则的值为______． 8．已知，，则的值为______． 9．若，则代数式的值为_____． 知识点12 二次根式几何实际应用 定义：利用二次根式运算，求解正方形、长方形边长、面积，结合勾股定理求线段长度。 公式：正方形边长：；勾股定理：。 随学随练特别提醒 几何结果长度必须为正数，舍去负根。 易错提醒 开方后保留正负解，不结合实际取舍。 根式结果不化为最简。 教材延伸 衔接勾股定理章节，是几何计算与代数运算的综合考点。 1．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 3．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 4．中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7，则的面积为______． 5．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 6．某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 7．有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为和的正方形纸板．        (1)求截出的这两块正方形纸板的边长； (2)嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和． 拓展 二次根式中的运算能力 突破课本基础的简单根式计算，延伸含字母、含隐含取值范围、含参数的高阶二次根式化简运算，结合绝对值性质与分类讨论思想完成精准化简与求值。融合整式乘法公式、因式分解、整体代入等代数变形方法，处理复杂二次根式混合运算与代数式求值问题。建立完整规范的根式运算体系，包含根式化简、分母有理化、混合运算顺序把控、最终结果标准化处理等完整流程。结合几何实际情境开展运算拓展，依托边长、面积、勾股定理等几何模型，运用二次根式运算解决实际几何计算问题，实现代数运算与几何应用的结合。 素养拓展要点 1.运算过程注重严谨性，开展一切根式运算前，优先分析被开方数的取值范围，明确式子有意义的前提条件，杜绝凭直觉化简、忽略定义域导致的符号错误与结果错误。 2.运算解题遵循固定思维流程，坚持先化简、后运算、最后代入的原则，灵活运用乘法公式、整体代换简化复杂计算，摒弃盲目硬算的低效解题方式。 3.运算结果强调规范性，严格按照最简二次根式标准整理答案，保证被开方数无分母、无开得尽方的因式，分母不含根号，养成标准化答题习惯。 4.注重运算自查纠错，精准规避根号平方公式混淆、化简漏绝对值、非同类根式强行合并、分母有理化符号错乱等高频易错点，形成自主纠错的运算思维。 活学活用 1.计算：． 2．计算： (1)； (2)． 拓展 推理能力素养 依托二次根式双重非负性开展逻辑推理拓展，结合平方、绝对值的非负特征，综合推导非负数和为零模型中字母的取值与代数式数值。针对含字母的二次根式化简问题，根据题干显性或隐含条件，推理字母及代数式的正负性，依托分类讨论思维完成带绝对值根式的严谨化简。依据最简二次根式、同类二次根式的定义，开展严谨的辨析推理，摆脱直观视觉判断，通过逻辑推导完成根式判定、参数求解等拓展题型。整合二次根式、实数性质、代数变形、几何性质等多模块知识，综合推理综合题型的隐含条件、解题思路与取值限制，构建完整的逻辑解题思维。 素养拓展要点 1.推理过程讲究有理有据，牢固建立根式有意义则被开方数与根式结果均为非负的完整推理链条，每一步化简与求值都依托定义与性质，杜绝主观臆断。 2.强化分类推理思维，面对字母范围不明确的根式题型，主动开展分类讨论，合理划分取值区间，完整严谨推导不同情况下的化简结果。 3.培养逆向推理思维，能够根据最简二次根式、同类二次根式、根式等式成立的结论，反向推导参数取值、字母限制条件，突破正向解题思维局限。 4.注重综合推理整合，串联代数、实数、几何相关知识点，多角度分析复杂综合题型，梳理题目隐藏条件，构建系统化、闭环式的逻辑推理体系。 活学活用 1．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 2．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 题型 识别二次根式 解题贴士 判断二次根式只抓两个核心条件，一是式子必须带有二次根号，二是被开方数必须非负数、有意义，两个条件同时满足才是二次根式。不看计算结果，哪怕开得尽方如依然属于二次根式。被开方数含负数、无意义的式子，直接判定不是二次根式。带根号但根指数不是2的根式，也不属于二次根式. ▌例1 下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 ▌例2 下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型 求二次根式有意义的取值范围 解题贴士 根式有意义优先保证被开方数整体非负，分母中出现根式时被开方数必须大于0，严格区分两种限制条件.题目含有多个根式、分式、零次幂时，分别列出不等式，联立求解公共解集，不遗漏任何限制条件. ▌例1 式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 ▌例2 使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1要使有意义，则x的取值范围是____________． ▌对点练1-2若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 题型 二次根式双重非负性求值 解题贴士 熟记固定解题模型，若干个非负数的和为0，则每一项都等于 0。快速识别初中三大非负数：二次根式、绝对值、实数平方。直接逐项列方程求解字母，无需复杂运算，计算结束后代入检验，保证式子有意义. ▌例1若，则______． ▌例2 已知a、b均为实数且与互为相反数，则________． ▌对点练1-1若，则_____． ▌对点练1-2已知直角三角形两边，满足，则该直角三角形面积为______． 题型 判断最简二次根式 解题贴士 严格对照两大判定标准，被开方数不含分母、不含可以开得尽方的因数或因式。小数、带分数必须先化为假分数再化简判断。所有计算题最终结果必须化为最简二次根式，不保留未开尽、带分母的根式. ▌例1下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． ▌例2 若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1改错：观察下面三个结论，把错误的题号和更正后的结果写在空格线上．①，②，③是最简二次根式． ____________________ ▌对点练1-2若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 题型 根据同类二次根式求解参数 解题贴士 判断同类根式必须先化简、再对比，严禁直接观察原式判断。化简后只需对比被开方数是否一致，与根号外系数大小无关。已知同类根式求参数时，利用被开方数相等列方程，同时验证根式有意义，避免增根. ▌例1在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． ▌例2 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． ∴ ． ▌对点练1-1若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． ▌对点练1-2 若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 题型 二次根式乘除 解题贴士 乘法优先逆向拆分，把被开方数拆成完全平方数乘剩余数，快速开方移出根号。除法先统一写为整体根式，先约分、后开方，减少大数运算。带分数必须化为假分数再计算，运算结束二次检查化简是否彻底. ▌例1计算的结果为____________． ▌对点练1-1计算：______． ▌对点练1-2化简的结果为__________． ▌对点练1-3计算的结果为________． 题型7 分母有理化 解题贴士 单项分母有理化，分子分母同乘根式，直接化简约分。两项和差型分母，利用平方差公式，分子分母同乘共轭根式消去分母根号。有理化后必须彻底化简，保证分母为整数、根式为最简. ▌例1 下列各数中，与的积为有理数的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1 已知，，则a与b的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等 ▌对点练1-2 分母有理化：_______． 题型8 二次根式加减运 解题贴士 严格遵循一化、二找、三合并的步骤。第一步全部化为最简二次根式，第二步筛选同类根式，第三步只合并同类根式。非同类根式绝对不能合并，合并只加减系数，根号与被开方数保持不变. ▌例1 计算： ____________________ ． ▌对点练1-1_______． ▌对点练1-2计算的结果是________． ▌对点练1-3 计算：_________． 题型9 二次根式混合运算 解题贴士 严格按照实数运算顺序，先括号、再乘方开方、再乘除、最后加减。优先观察式子结构，能使用平方差、完全平方公式的优先套用公式简化运算。分步计算、分步化简，最后统一整理成最简结果，避免一步算完出错. ▌例1计算：5 + =______． ▌对点练1-1__________ ▌对点练1-2计算________． ▌对点练1-3 计算：______． 40．计算：_____． 题型10 二次根式化简求值 解题贴士 坚守先化简、后代入的核心原则，坚决不直接硬代数值。先对代数式因式分解、配方、整理，简化式子结构。灵活使用整体代入法，避开复杂小数、根式运算，大幅提升正确率. ▌例1已知，求代数式的值． ▌例2 已知，． (1)求和的值； (2)求的值； ▌对点练1-1已知，． (1)求的值； (2)求的值． ▌对点练1-2已知，求的值． 题型11 二次根式几何应用题型 解题贴士 根据几何公式列式，利用二次根式运算求解。几何长度、边长必须为正数，自动舍去负根。运算结果务必化为最简二次根式，贴合实际几何意义作答. ▌例1如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． ▌例2 如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） ▌对点练1-2 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ； ，当且仅当时取等号 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______； (2)当时，求当______时，有最小值，最小值为______； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为3和12，求四边形的面积的最小值． 题型12 二次根式与新定义问题 解题贴士 读懂题干给出的新定义，不要套用原有运算定律，严格照抄定义给出的运算公式，对号入座替换数值。先列式，再进行根式化简计算；若有多个小题，每一问都重新对照定义，不凭惯性做题。做完代入验算，防止看错运算顺序、符号. ▌例1定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 ▌例22025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 ▌对点练1-1如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为（   ） A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 ▌对点练1-2对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 题型13 实数的混合运算 解题贴士 先拆分每一项，分别化简绝对值、根式、幂的运算，逐项算出最简形式，再进行整体加减计算。牢记运算顺序，有括号先算括号，能简便运算就用乘法公式简化。最终根式结果化为最简，小数结果根据题目要求保留精度. ▌例1计算：． ▌例2计算：． ▌对点练1-1计算：． ▌对点练1-2计算：． 题型14 实数运算中的规律问题 解题贴士 先依次计算前几项结果，观察被开方数、结果、序号之间的关系，横向纵向对比，提炼通用规律。对于裂项相消类根式规律题，优先分母有理化变形，拆分式子实现抵消简化运算。得出猜想规律后，代入一组数据验证规律是否成立，再用于解题. ▌例1观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． ▌例2已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 ▌对点练1-1已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 ▌对点练1-2规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．下列计算结果为4的是（     ） A． B． C． D． 6．计算：=______． 7．计算：__________． 8．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 9．分母有理化后的结果是______ 10．计算： (1)； (2)． 11．如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 12．一个圆柱的高为10，体积为V．求它的底面半径r（用含V的代数式表示），并分别求当和时，底面半径r的大小． 13．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是和．求圆环的宽度d（取）． 14．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．求的值． 15．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 素养提升 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 4．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 5．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，则___________． 7．计算__________． 8．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，由实数与虚数单位组合起来得到的数叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：，则请计算______． 9．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 10．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 11．某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 12．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 迁移创新 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知实数、、、满足，，则________． 4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 5．完成以下问题 (1)问题提出 如图1，在中，点是边的中点，则________；（填“”、“”或“”） (2)问题探究 如图2，在四边形中，，，，，点是边上的一点，连接，若线段平分四边形的面积，求出的长度； (3)问题解决 如图3，某公园有一块四边形空地，，，，．园区管理员计划用这块空地种植花卉，现已过点修了一条笔直的小路，点在边上，且满足．为了后期方便游客观赏，再准备过点修一条笔直的小路，要求点在边上，且使得小路平分四边形的面积，最后在区域种植郁金香，剩余区域种植牡丹．请问：是否存在这样的点？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度均忽略不计） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 2.3 二次根式 课标要点 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式中被开方数字母的取值范围，理解二次根式双重非负性。 2.经历探索二次根式性质、乘除、加减运算法则的过程，体会类比、从特殊到一般的数学思想，发展推理意识。 3.掌握二次根式的四则运算法则，能进行二次根式的化简、简单四则运算及混合运算，运算结果化为最简二次根式，会简单分母有理化。 4.能运用二次根式的相关知识解决简单的几何求值、实际应用问题，规范运算步骤，提升运算能力，养成严谨的数学书写习惯。 学习重难点 重点： 1. 二次根式的概念，被开方数的取值范围，二次根式的两条核心性质：，。 2. 最简二次根式的判定，二次根式的化简，二次根式乘除、加减运算法则。 3. 二次根式的四则混合运算，能正确运用乘法公式进行根式运算。 难点： 1. 理解，化简含字母的二次根式，需要进行分类讨论时容易出错。 2. .灵活运用二次根式的双重非负性进行求值，多个非负数之和为 0 类题型。 3. 分母有理化、二次根式混合运算，准确区分同类二次根式，运算中符号、步骤易错，综合题型灵活运用能力提升。 知识点 二次根式 定义：一般地，形如（）的式子，叫做二次根式。其中叫做被开方数，叫做二次根号。 二次根式标准形式： 特别提醒 判断是否为二次根式，只看外在形式是否带二次根号，与结果是否为整数、有理数无关。 只要式子含有且被开方数非负，就是二次根式。 易错提醒 学生常误以为开得尽方的不是二次根式（如也是二次根式）。 忽略前提条件： 被开方数必须≥0，当被开方数<0无意义，不是二次根式。 教材延伸 二次根式是初中 “式的运算” 重要模块，承接七年级实数，为后续一元二次方程、勾股定理计算、反比例函数根式运算打基础。 随学随练 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 3．下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，二次根式根指数为2，通常省略不写.判断各选项是否符合定义要求，即可得出答案. 【详解】解：A.是二次根号下的式子，形式符合二次根式定义，是二次根式； B.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C.的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义，不是二次根式； D.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式. 4．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 5．请写出一个系数为正整数的二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）． 知识点 二次根式有意义的条件 二次根式在实数范围内有意义的唯一条件：被开方数为非负数。有意义 特别提醒 单独二次根式：被开方数。 根式在分母位置：被开方数必须（分母不能为0）。 易错提醒 分式+根式综合题型，只考虑根式≥0，忘记分母不能为 0。 多个根式共存时，只满足一个，未联立所有不等式取公共解集。 教材延伸 本知识点是中考必考选择题，常结合分式、零次幂、负指数幂综合考查自变量取值范围。 随学随练 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负，即， 解得． 3．要使有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：要使有意义，则， ∴. 4．要使式子有意义，则x的最大值为________． 【答案】 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的最大值为2． 知识点 二次根式的双重非负性 定义：二次根式自带两个非负属性，称为双重非负性，是初中三大非负数之一（平方、绝对值、二次根式）。 被开方数非负：；根式结果非负： 特别提醒 若几个非负数的和为 0，则每一个非负数单独等于 0；常见组合： 易错提醒 只记住被开方数非负，忘记根式结果≥0；多个非负数相加为0时，解方程漏项、少写等式。 教材延伸 双重非负性是八年级上册难点小题压轴，广泛用于求值、求参数、字母求解问题。 随学随练 1．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与平方的非负性，两非负式之和为0则两式分别为0，进而求出a,b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 2．已知，则的值是（     ） A． B． C．9 D． 【答案】C 【详解】∵ 任意数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，且 ∴ ，， ∴ ， 解得 ， 则． 3．若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 4．已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 5．若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点 最简二次根式 概念：同时满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 特别提醒 易错提醒 被开方数含有可开方因数（如）不继续化简。 被开方数含分母，认为已经是最简。 教材延伸 所有根式运算最终结果必须化为最简，是考试扣分重灾区。 随学随练 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，不是最简二次根式； B选项：，不是最简二次根式； D选项：，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2．下列各式中，一定是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、一定是最简二次根式； B、中的被开方数，无意义，不是最简二次根式； C、当时，，则无意义；当时，；则此项不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 3．若是最简二次根式，则可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式有意义需满足．最简二次根式的要求为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数． 【详解】解：选项A中，满足，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，符合要求． 选项B中，无意义，因此排除B； 选项C中，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，排除C； 选项D中，是能开得尽方的因数，，因此不是最简二次根式，排除D． 4．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 5．请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 6．下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 知识点 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式为同类二次根式。 特别提醒 必须先化简，再判断，不能直接看原式。 只有同类二次根式可以合并，非同类绝对不能合并。 易错提醒 教材延伸 同类二次根式类比整式 “同类项”，是根式加减运算的核心依据。 随学随练 1．下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：化简各选项二次根式：，，此时被开方数与相同，是最简二次根式，， ∴只有可与合并． 2．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 4．若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解． 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 5．若二次根式和能够合并，则的值可能为：______．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】将化为最简二次根式，进而作答即可． 【详解】解：， 则的值可能为：5（答案不唯一）． 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可．　 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 7．当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】1 【分析】根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可. 【详解】解：根据题意，得， 移项得：， 解得． 知识点6 二次根式乘法法则 定义：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 公式：；逆用公式（化简核心）： 特别提醒 正向用于计算，逆向用于根式化简（拆分因数开方）。 两个被开方数必须全部非负。 易错提醒 负数带入公式运算，法则失效。 拆分因数不彻底，化简不完整。 教材延伸 逆用乘法公式是根式化简最快方法，贯穿所有计算题型。 随学随练 1．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 2．计算的结果是 _____． 【答案】 【详解】解：． 3．计算___________． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点7二次根式除法法则 定义：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 公式：；逆用公式： 随学随练特别提醒 分母不能等于 0。 带分数必须先化为假分数再运算。 易错提醒 忽略分母，出现分母为 0 的错误。 根式除法直接分子分母单独开方、不化简。 教材延伸 除法法则是分母有理化的前置基础，是根式规范运算必备知识点。 1．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 2．计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 3．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则进行计算； （2）根据二次根式的除法法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点8 分母有理化 定义：把分母中的根号去掉，将分母化为有理数的变形过程，叫做分母有理化。 公式：单项分母有理化：；两项分母有理化： 随学随练特别提醒 两项型必须利用平方差公式去根号。 分子分母同乘的式子必须与分母共轭。 易错提醒 两项有理化时，分子符号不变、分母符号错误。 有理化后不化简最终根式。 教材延伸 分母有理化是中考必考计算步骤，是根式规范化的标志。 1．下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 2．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，以及倒数的定义． 根据倒数的定义，得到 的倒数为，再进行分母有理化即可． 【详解】解：的倒数是； 故选：D． 3．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 4．把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式 ． 5．分母有理化：_______． 【答案】 【详解】． 6．分母有理化：_______． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，分子分母同乘计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．观察下列各式： ； ； ． 请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果） 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键． 观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 由此发现规律：， 那么， 计算， 通分后，，， 则， 因此． 故答案为：． 8．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 知识点9 二次根式加减法法则 定义：二次根式加减运算，实质是合并同类二次根式。运算口诀：一化、二找、三合并。 公式： 特别提醒 非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 系数相加减，根号与被开方数保持不变。 易错提醒 未化简直接合并；被开方数不同强行合并；合并时根号内数字参与加减。 教材延伸 根式加减是八上计算基础，和整式加减逻辑完全对应。 随学随练 1．计算的结果是_______ 【答案】 【详解】解：． 2．________； 【答案】 【详解】解：． 3．计算的结果是________． 【答案】 【分析】化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 4．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 知识点10 二次根式混合运算 定义： ：； 特别提醒 能套用乘法公式优先套公式，简化计算。 所有结果必须化为最简二次根式。 易错提醒 运算顺序混乱，先加减后乘除；公式套用符号出错；最终结果不化简。 教材延伸 为本章期末必考大题，是初中计算能力核心考察点。 随学随练 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 2．下列关于二次根式的计算或取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B，与不是同类二次根式，无法直接合并，，B错误； 对选项C，，计算结果正确，C正确； 对选项D，，D错误． 3．的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照先算除法，以及化简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到结果． 【详解】解： ． 4．计算的结果为__________________ ． 【答案】 【分析】观察式子符合平方差公式的形式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 5．计算：_____________． 【答案】5 【详解】解： ． 6．计算 ______ ． 【答案】 【详解】解：． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类项即可． （2）直接运用平方差公式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点11 二次根式化简求值 定义：先对代数式进行化简，再将根式字母值代入计算，遵循先化简、后代入原则。 公式：整式因式分解公式、根式运算公式综合使用。 特别提醒 绝对禁止直接硬代数值计算，容易算错、步骤繁琐。 优先因式分解、配方、整体代换。 易错提醒 不化简直接代入复杂根式计算；化简过程漏项、符号出错。 教材延伸 八上期末高频解答题，也是中考代数式必考题型。 随学随练 1．已知，则代数式的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题应该先化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 2．若，则代数式的值是（     ） A．2022 B．-2022 C．2023 D．-2023 【答案】C 【分析】本题可先利用完全平方公式化简所求代数式，再代入的值计算，简化运算过程． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 3．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 4．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 5．当时，的值为__________． 【答案】 【分析】将已知的值代入待求的二次根式，计算得到结果即可. 【详解】解：把代入得 . 6．若，，则________． 【答案】/ 【详解】解：，， ． 7．已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由，，得，则可将所求式子变形为，再将 和 代入求值即可． 【详解】解：设 ， 因为，， 所以，， 则， 代入 ，， 得， 故答案为 ． 9．若，则代数式的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的计算，掌握整式的运算法则化简代数式式，再代入求值即可． 根据整式的混合运算先化简代数式，再代入，运用二次根式性质化简求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4 ． 知识点12 二次根式几何实际应用 定义：利用二次根式运算，求解正方形、长方形边长、面积，结合勾股定理求线段长度。 公式：正方形边长：；勾股定理：。 随学随练特别提醒 几何结果长度必须为正数，舍去负根。 易错提醒 开方后保留正负解，不结合实际取舍。 根式结果不化为最简。 教材延伸 衔接勾股定理章节，是几何计算与代数运算的综合考点。 1．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 2．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】将已知高度h代入给定公式计算，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，公式为， ∴ 将代入公式得． 3．如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积求出边长，确定长方形的长和宽，利用面积的和差关系求解即可． 【详解】解： 两个正方形的面积分别为 和， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积和为． 4．中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7，则的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴ ． 5．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 6．某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1） ， 答：长方形的周长是； （2） ， ， 答：购买地砖需要花费元． 7．有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为和的正方形纸板．        (1)求截出的这两块正方形纸板的边长； (2)嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的实际应用，理解题意是解题关键。 （1）利用算术平方根的含义，结合二次根式的化简即可求出答案； （2）由（1）得到两个直角三角形的直角边的长度，再代入三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：面积分别为和的正方形纸板， 它们的边长分别是和， ， 截出的这两块正方形纸板的边长分别是和． （2）得到的这两个直角三角形的直角边长分别为和， 这两个直角三角形的面积之和． 拓展 二次根式中的运算能力 突破课本基础的简单根式计算，延伸含字母、含隐含取值范围、含参数的高阶二次根式化简运算，结合绝对值性质与分类讨论思想完成精准化简与求值。融合整式乘法公式、因式分解、整体代入等代数变形方法，处理复杂二次根式混合运算与代数式求值问题。建立完整规范的根式运算体系，包含根式化简、分母有理化、混合运算顺序把控、最终结果标准化处理等完整流程。结合几何实际情境开展运算拓展，依托边长、面积、勾股定理等几何模型，运用二次根式运算解决实际几何计算问题，实现代数运算与几何应用的结合。 素养拓展要点 1.运算过程注重严谨性，开展一切根式运算前，优先分析被开方数的取值范围，明确式子有意义的前提条件，杜绝凭直觉化简、忽略定义域导致的符号错误与结果错误。 2.运算解题遵循固定思维流程，坚持先化简、后运算、最后代入的原则，灵活运用乘法公式、整体代换简化复杂计算，摒弃盲目硬算的低效解题方式。 3.运算结果强调规范性，严格按照最简二次根式标准整理答案，保证被开方数无分母、无开得尽方的因式，分母不含根号，养成标准化答题习惯。 4.注重运算自查纠错，精准规避根号平方公式混淆、化简漏绝对值、非同类根式强行合并、分母有理化符号错乱等高频易错点，形成自主纠错的运算思维。 活学活用 1.计算：． 【答案】 【分析】先分别计算二次根式乘法、平方差公式、二次根式除法及绝对值运算，再由二次根式加减运算法则化简即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平方差公式和完全平方公式展开，去括号合并常数项化简； （2）根据二次根式乘除法则分别计算，分式部分先化简分子根式再约分，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 拓展 推理能力素养 依托二次根式双重非负性开展逻辑推理拓展，结合平方、绝对值的非负特征，综合推导非负数和为零模型中字母的取值与代数式数值。针对含字母的二次根式化简问题，根据题干显性或隐含条件，推理字母及代数式的正负性，依托分类讨论思维完成带绝对值根式的严谨化简。依据最简二次根式、同类二次根式的定义，开展严谨的辨析推理，摆脱直观视觉判断，通过逻辑推导完成根式判定、参数求解等拓展题型。整合二次根式、实数性质、代数变形、几何性质等多模块知识，综合推理综合题型的隐含条件、解题思路与取值限制，构建完整的逻辑解题思维。 素养拓展要点 1.推理过程讲究有理有据，牢固建立根式有意义则被开方数与根式结果均为非负的完整推理链条，每一步化简与求值都依托定义与性质，杜绝主观臆断。 2.强化分类推理思维，面对字母范围不明确的根式题型，主动开展分类讨论，合理划分取值区间，完整严谨推导不同情况下的化简结果。 3.培养逆向推理思维，能够根据最简二次根式、同类二次根式、根式等式成立的结论，反向推导参数取值、字母限制条件，突破正向解题思维局限。 4.注重综合推理整合，串联代数、实数、几何相关知识点，多角度分析复杂综合题型，梳理题目隐藏条件，构建系统化、闭环式的逻辑推理体系。 活学活用 1．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 2．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 题型 识别二次根式 解题贴士 判断二次根式只抓两个核心条件，一是式子必须带有二次根号，二是被开方数必须非负数、有意义，两个条件同时满足才是二次根式。不看计算结果，哪怕开得尽方如依然属于二次根式。被开方数含负数、无意义的式子，直接判定不是二次根式。带根号但根指数不是2的根式，也不属于二次根式. ▌例1 下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，是二次根式； C、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D、2025是整数，不是二次根式． ▌例2 下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式需要满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，两个条件同时满足才一定是二次根式． 【详解】解：选项A的根指数为3，是三次根式，不满足二次根式定义，∴A不符合要求； 选项B中，被开方数，式子无意义，∴B不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，一定是二次根式，∴C符合要求； 选项D中，当时，无意义，不是二次根式，因此不一定是二次根式，∴D不符合要求． ▌对点练1-1．下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． ▌对点练1-2．下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型 求二次根式有意义的取值范围 解题贴士 根式有意义优先保证被开方数整体非负，分母中出现根式时被开方数必须大于0，严格区分两种限制条件.题目含有多个根式、分式、零次幂时，分别列出不等式，联立求解公共解集，不遗漏任何限制条件. ▌例1 式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，先根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项中符合条件的值即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，被开方数需为非负数， ， ， 选项中只有满足， 因此选D． ▌例2 使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键．根据二次根式的被开方数为非负数，可得关于x的不等式，解之即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：D． ▌对点练1-1要使有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 解得． ▌对点练1-2若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】1≤ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式组求解． 【详解】解：要使有意义，需， 解得； 要使有意义，需， 解得． 因此，的取值范围是． 故答案为：． 题型 二次根式双重非负性求值 解题贴士 熟记固定解题模型，若干个非负数的和为0，则每一项都等于 0。快速识别初中三大非负数：二次根式、绝对值、实数平方。直接逐项列方程求解字母，无需复杂运算，计算结束后代入检验，保证式子有意义. ▌例1若，则______． 【答案】 5 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， 解得：，， ． ▌例2 已知a、b均为实数且与互为相反数，则________． 【答案】1 【分析】由算术平方根的非负性得，，由相反数的性质得 ，得出，，即可求解． 【详解】解： 与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ，， ． ▌对点练1-1若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，绝对值，算术平方根，有理数的乘方均为非负数，当几个非负数的和为时，可得每个非负数均为，据此求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，，且 ，， 解得，， 将，，代入得 ▌对点练1-2已知直角三角形两边，满足，则该直角三角形面积为______． 【答案】6或 【分析】根据非负数的性质可求出x，y的值，然后分两种情况，解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ①当两直角边是，时，该直角三角形面积为 ②当为一直角边，为斜边时，则第三边是直角边，长是， 此时该直角三角形面积为； 综上所述，该直角三角形面积为6或． 题型 判断最简二次根式 解题贴士 严格对照两大判定标准，被开方数不含分母、不含可以开得尽方的因数或因式。小数、带分数必须先化为假分数再化简判断。所有计算题最终结果必须化为最简二次根式，不保留未开尽、带分母的根式. ▌例1下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义分别对A、B、C、D各选项的二次根式进行判断即可得答案. 【详解】解：A. ，可以化简，不是最简二次根式，故A选项错误. B. ，可以化简，不是最简二次根式，故B选项错误. C. ，可以化简，不是最简二次根式，故C选项错误. D. 的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项正确. ▌例2 若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． ▌对点练1-1改错：观察下面三个结论，把错误的题号和更正后的结果写在空格线上．①，②，③是最简二次根式． ____________________ 【答案】①， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 逐一计算后作答即可． 【详解】①； ②； ③是最简二次根式； 可知①错误，正确结果为， 故答案为：①，． ▌对点练1-2若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 题型 根据同类二次根式求解参数 解题贴士 判断同类根式必须先化简、再对比，严禁直接观察原式判断。化简后只需对比被开方数是否一致，与根号外系数大小无关。已知同类根式求参数时，利用被开方数相等列方程，同时验证根式有意义，避免增根. ▌例1在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. ▌例2 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，先确定根指数得到n的值，再由被开方数相等求出m的值，最后计算． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． ▌对点练1-1若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，设（为正整数），整理得，从的最小正整数开始依次代入找到的最小正整数即可． 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． ▌对点练1-2 若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 题型 二次根式乘除 解题贴士 乘法优先逆向拆分，把被开方数拆成完全平方数乘剩余数，快速开方移出根号。除法先统一写为整体根式，先约分、后开方，减少大数运算。带分数必须化为假分数再计算，运算结束二次检查化简是否彻底. ▌例1计算的结果为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． ▌对点练1-1计算：______． 【答案】 【详解】解：． ▌对点练1-2化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 ▌对点练1-3计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型7 分母有理化 解题贴士 单项分母有理化，分子分母同乘根式，直接化简约分。两项和差型分母，利用平方差公式，分子分母同乘共轭根式消去分母根号。有理化后必须彻底化简，保证分母为整数、根式为最简. ▌例1 下列各数中，与的积为有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出其有理化因式即可． 【详解】解：∵-2-的有理化因式为-2+， ∴与-2-的积为有理数的是-2+． 故选C． ▌对点练1-1 已知，，则a与b的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等 【答案】C 【分析】化简计算判断即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴， 故互为倒数， 故选C． ▌对点练1-2 分母有理化：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为： 题型8 二次根式加减运 解题贴士 严格遵循一化、二找、三合并的步骤。第一步全部化为最简二次根式，第二步筛选同类根式，第三步只合并同类根式。非同类根式绝对不能合并，合并只加减系数，根号与被开方数保持不变. ▌例1 计算： ____________________ ． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练1-1_______． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练1-2计算的结果是________． 【答案】 【分析】先根据无理数比较大小的原则判断与的大小，由此化简绝对值，再由二次根式的乘法以及加减法运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，则， ∴ ． ▌对点练1-3 计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型9 二次根式混合运算 解题贴士 严格按照实数运算顺序，先括号、再乘方开方、再乘除、最后加减。优先观察式子结构，能使用平方差、完全平方公式的优先套用公式简化运算。分步计算、分步化简，最后统一整理成最简结果，避免一步算完出错. ▌例1计算：5 + =______． 【答案】 【分析】先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-1__________ 【答案】 【分析】将原式拆分变形，利用积的乘方逆运算和平方差公式化简计算即可． 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-2计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练1-3 计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 40．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 题型10 二次根式化简求值 解题贴士 坚守先化简、后代入的核心原则，坚决不直接硬代数值。先对代数式因式分解、配方、整理，简化式子结构。灵活使用整体代入法，避开复杂小数、根式运算，大幅提升正确率. ▌例1已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式配方变形，再代入已知的的值计算即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式 ． ▌例2 已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二次根式的加法运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为 ，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． ▌对点练1-1已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． ▌对点练1-2已知，求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∵ ， 当，时， 原式． 题型11 二次根式几何应用题型 解题贴士 根据几何公式列式，利用二次根式运算求解。几何长度、边长必须为正数，自动舍去负根。运算结果务必化为最简二次根式，贴合实际几何意义作答. ▌例1如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． ▌例2 如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． ▌对点练1-1如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． ▌对点练1-2 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时， ； ，当且仅当时取等号 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______； (2)当时，求当______时，有最小值，最小值为______； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为3和12，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值为． （3）解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为27． 题型12 二次根式与新定义问题 解题贴士 读懂题干给出的新定义，不要套用原有运算定律，严格照抄定义给出的运算公式，对号入座替换数值。先列式，再进行根式化简计算；若有多个小题，每一问都重新对照定义，不凭惯性做题。做完代入验算，防止看错运算顺序、符号. ▌例1定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，先理解运算法则，按照从内到外的顺序，根据给定的运算法则逐步代入求解即可． 【详解】解：新运算法则为 则， ∴， A选项符合题意． ▌例22025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键． 根据新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． ▌对点练1-1如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为（   ） A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算规则是解决问题的关键． 由新定义计算，表示第行第列的数，再由在第列中，第行的数是；第行的数也是，从而列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由定义为数表中第行第列的数， ，表示第行第列的数， 又在第列中，第行的数是；第行的数也是， 或， 解得或， 故选：C． ▌对点练1-2对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知： ． 题型13 实数的混合运算 解题贴士 先拆分每一项，分别化简绝对值、根式、幂的运算，逐项算出最简形式，再进行整体加减计算。牢记运算顺序，有括号先算括号，能简便运算就用乘法公式简化。最终根式结果化为最简，小数结果根据题目要求保留精度. ▌例1计算：． 【答案】1 【详解】解： ． ▌例2计算：． 【答案】 【分析】先分别计算乘方、零指数幂和去绝对值运算，再由实数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． ▌对点练1-1计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-2计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型14 实数运算中的规律问题 解题贴士 先依次计算前几项结果，观察被开方数、结果、序号之间的关系，横向纵向对比，提炼通用规律。对于裂项相消类根式规律题，优先分母有理化变形，拆分式子实现抵消简化运算。得出猜想规律后，代入一组数据验证规律是否成立，再用于解题. ▌例1观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． ▌例2已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． ▌对点练1-1已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． ▌对点练1-2规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 70． 基础通关 1．下列二次根式为最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；2 被开方数不含分母，根据两个条件逐一判断选项即可． 【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含分母，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴ 是最简二次根式，故此选项符合题意． 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，无法计算，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，无法计算，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 3．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和的被开方数相同，即可得到答案． 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式． ∵ 选项A：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 选项B：，被开方数为，与是同类二次根式． 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式． 选项D：是最简二次根式，被开方数为，与是同类二次根式． 4．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 5．下列计算结果为4的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项结果，即可得到正确答案． 【详解】解：对选项A，∵ ，结果不等于，∴ 选项A错误，不符合题意； 对选项B，∵ 与不是同类项，无法合并，结果不等于，∴选项 B错误，不符合题意； 对选项C，∵ ，结果不等于，∴ 选项C错误，不符合题意； 对选项D，∵ ，结果等于，∴选项 D正确，符合题意． 综上，故选D． 6．计算：=______． 【答案】2 【分析】利用平方运算，求一个数的算术平方根，或二次根式的运算性质计算即可． 【详解】解：方法一：, 方法二： 7．计算：__________． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的结构，运用平方差公式即可简化计算． 【详解】解： ． 8．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正的算术平方根比较大小，被开方数越大，对应的算术平方根越大，据此比较被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于正的算术平方根，被开方数越大，算术平方根越大， ∴ ． 9．分母有理化后的结果是______ 【答案】 【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可． 【详解】解：给的分子分母同时乘以， 可得． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后再依次做加减运算即可； （2）先分别计算算术平方根、绝对值，再依次做加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知的长度，再根据，则可由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ，， ， 点表示的数是． 12．一个圆柱的高为10，体积为V．求它的底面半径r（用含V的代数式表示），并分别求当和时，底面半径r的大小． 【答案】底面半径的表达式为；当时，；当时， 【分析】根据圆柱的体积公式即可得出V与r的关系式，整理即得出答案；分别将，代入所求出的关系式求值即可． 【详解】解：根据圆柱的体积公式可求出， 故． 当时，； 当时，． 13．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是和．求圆环的宽度d（取）． 【答案】 【分析】先利用圆的面积公式及二次根式的性质求得两个圆的半径，再作差求解即可． 【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r， 根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴圆环的宽度． 14．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如．求的值． 【答案】 【分析】根据新的运算定义，先计算内层括号的运算，再计算外层运算． 【详解】解：， 15．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中．若一个电视塔的高度为，求该电视塔发射节目信号的传播半径． 【答案】该电视塔发射节目信号的传播半径为． 【分析】将已知的R、h的值代入公式，然后计算即可求得传播半径r的值． 【详解】解：∵ ，，， ． 答：该电视塔发射节目信号的传播半径为． 素养提升 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，无法合并， ∴ A计算错误； ∵ ， ∴ B计算错误； ∵ ， ∴ C计算正确； ∵ ， ∴ D计算错误． 2．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论不正确的是（     ） A． B．的周长为 C．到直线的距离为 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，，然后逐项进行验证即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， ， ∵， ∴为直角三角形，， ∴，故A正确，不符合题意； 的周长为，故B正确，不符合题意； 设点A到的距离为h，则， 即， 解得：， 即点A到的距离为4，故C正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故D错误，符合题意． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 4．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 5．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过举例验证是否成立即可． 【详解】解：①取两个不同无理数和，，差为整数，故①正确； ②取两个不同无理数和，，积为整数，故②正确； ③取两个不同非整数有理数和，，，和与商均为整数，故③正确；综上，正确的结论有3个． 6．已知，则___________． 【答案】 【分析】对所求代数式配方变形为，再代入，的值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 7．计算__________． 【答案】 【分析】先将其它三个数用和2014相关的数表示，再根据乘法结合律整理得出完全平方公式，然后根据算术平方根的性质开方，最后根据乘方法则计算得出答案． 【详解】解：原式， ． 8．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，由实数与虚数单位组合起来得到的数叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如：，则请计算______． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 9．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 10．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：               第一步                        第二步                      第三步 (1)任务一：第_______________步开始出现错误，错误原因是_______________； (2)任务二：请写出正确的计算过程； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，去括号没有变号 (2)解： ； (3)二次根式运算时要化到最简形式（答案不唯一） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则的解答过程，即可判断出错的地方以及出错原因； （2）根据二次根式的性质和运算法则即可求出正确答案； （3）根据二次根式的性质合理建议即可． 【详解】（1）解：小明同学在计算去括号的时候忽略了括号前是负号， 去括号时应该变号， 第一步出错，出错的原因是去括号没有变号． （2）略 （3）解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，因此建议二次根式运算的结果要化成最简二次根式． 11．某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 12．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 迁移创新 1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是， ∴，， ∴． 2．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 3．已知实数、、、满足，，则________． 【答案】 【分析】将两个已知等式变形相加，利用绝对值与平方的非负性求出，，的值，再代入求出，最后计算所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ． 4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 5．完成以下问题 (1)问题提出 如图1，在中，点是边的中点，则________；（填“”、“”或“”） (2)问题探究 如图2，在四边形中，，，，，点是边上的一点，连接，若线段平分四边形的面积，求出的长度； (3)问题解决 如图3，某公园有一块四边形空地，，，，．园区管理员计划用这块空地种植花卉，现已过点修了一条笔直的小路，点在边上，且满足．为了后期方便游客观赏，再准备过点修一条笔直的小路，要求点在边上，且使得小路平分四边形的面积，最后在区域种植郁金香，剩余区域种植牡丹．请问：是否存在这样的点？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2)的长度为 (3)存在，的长度为 【分析】（1）根据中点的性质可得，再根据三角形的面积公式判断即可； （2）设，则，分别根据面积公式表示出，，再根据线段平分四边形的面积列方程求解即可； （3）连接，，且与交于点，证明垂直平分，得到，由勾股定理可得、的长，设，在中，利用勾股定理列方程可求得，的长，再由勾股定理可得的长，从而可根据三角形面积公式结合可得，过点作于点，利用三角形面积公式列方程可求得的长，最后根据平分四边形的面积列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：设底边边上的高为， 点是边的中点， ， ，， ； （2）解：设，则， ，，， ， ． 线段平分四边形的面积， ， 解得， 即的长度为； （3）解：如图，连接，，且与交于点， ，，， ， ， 垂直平分， ．· ，，， ， ， ． 设，则， 在中，，即， 解得，即， ， ， ， ， ， ． 如图，过点作于点， 则，即， ． 点在线段上，且平分四边形的面积， ， 即， 解得， 即存在点，且的长度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $