2.1 认识实数教学设计 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“认识实数”核心内容，含“不可比的数”和“实数”两课时。通过复习有理数导入，结合拼图活动引导学生发现无理数产生背景，从有理数自然过渡到实数，构建数系扩展的知识支架。 资料亮点在于融入动手拼图与“夹逼法”探究，培养数学眼光的几何直观与创新意识，类比有理数学习实数性质发展推理能力，数轴表示无理数体现数形结合，助力学生建立数形联系提升探究能力，为教师提供结构化教学流程与实践活动设计。

2.1 认识实数 第1课时 不可比的数 教学设计 课题 第1课时 不可比的数 授课人 教学目标 1.感受不可比的数产生的实际背景和引入的必要性。 2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，从中体会无限逼近的思想。 3.通过现实中的实例，让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的，数学是来源于实践又应用于实践的。 教学重点 感受“不可比的数”产生的背景。 教学难点 估计“不可比的数”的大小。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 知识回顾 什么叫有理数？ 复习有理数，为后面判断一个数是否为有理数做铺垫。 探究新知 1.“不可比的数”的发现 活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ （1）大正方形的面积是多少呢？如果设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？ 因为S大正方形＝2，所以 a2＝2。 （2）a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说说你的理由。 ∵ a2＝2, 而 12＝1, 22＝4 ， ∴ 12＜a2＜22 。 ∴ 1＜a＜ 2，a 不是整数。 （3）a 可能是分数吗？说说你的理由。并小组内交流。 因为一个整数的平方一定是整数，一个分数的平方一定是分数，所以 a 不可能是分数。 教师归纳 事实上，满足 a2＝2 的 a 既不是整数，也不是分数；所以 a 不是有理数。 思考 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ S＝22＋12＝5 (2)设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？ b2＝5 (3) b 是有理数吗？ ∵ b2＝5，4＜b2＜9 ， ∴ 2＜b＜3。 ∴ b不是整数。 ∵ b2＝5， ∴ b 不是分数。 b 既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数。 a 2＝2 b2＝5 通过上面两个问题我们发现： 数 a，b 确实存在，但是它们不是有理数。 针对练习 1.在直角三角形中两个直角边长分别为 2 和 3,则斜边的长( B ) A.是有理数 B.不是有理数 C.不确定 D.为 4 2.用“夹逼法”估计“不可比的数”的大小 探究 那么，面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？ （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 1＜a＜2 （2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 （3）将探索过程整理在下列表格中： 想一想 还可以继续算下去吗？ a 可能是有限小数吗？ 借助计算器，我们可以无限的计算下去，a＝1.414 213 56…， 所以 a 不是一个有限小数,它是一个无限不循环小数。 我们可以根据 a 的精确度的要求，取不同的近似值： 教师归纳 这种无限逼近求一个数的近似值的方法，我们称为“夹逼法”。 (4)面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少? b 可能是有限小数吗? 利用计算器计算： b＝2.236067978…，它也是一个无限不循环小数 教师归纳 事实上，a＝1.414 213 56…, b＝2.236067978…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 （链接例题） 新课标倡导数学知识要具有真实性。把拼图探究活动融入教学，让学生更好地领悟知识的发生发展过程，有利于学生对知识的理解。通过让学生动手实践、交流与展示，增强探索和创新意识，体会解决问题方式方法的多样性。 典例精析 【例】在 △ABC 中，AB ＝AC , AD 是底边上的高，如图，若 AC ＝10 cm , BC ＝ 8 cm。 (1)求以 AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断 AD 是否为有理数，并说明理由。 【解】(1)∵ AB＝AC＝10 cm，AD⊥BC， ∴ BD＝CD＝4 cm, AD²＝AB²－BD²＝10²－4²＝84, ∴以 AD 的长为边长的正方形的面积为 84 cm²。 (2)∵AD²＝84, ∴AD 既不是整数也不是分数，即 AD 不是有理数。 巩固本节所学知识点。 随堂检测 1.一个长方形的长与宽分别是 6 cm , 3 cm,则它的对角线的长是( D ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.无限不循环小数 2. 若 x2＝27,则 |x| 介于正整数　5　和　6　之间。  3.如图,在 3×3 的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格的边长为 1 个单位,请解决下面的问题。 (1)阴影正方形的面积是多少? (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间? 解:(1) 5 。 (2) 2 和 3 之间。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 谈谈通过本节课的学习，你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 不可比的数 教学反思 第2课时 实数 教学设计 课题 第2课时 实数 授课人 教学目标 1.记住无理数的概念，会区分有理数与无理数。 2.通过情境引入了解数系扩展对人类发展的必要性，了解实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类。 2.通过类比有理数学习经验，探索实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。 3.了解实数和数轴上的点——对应，体会数形结合思想。 教学重点 了解实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类。 教学难点 会在数轴上表示实数。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 新课导入 问题1 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗? 问题2 把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 教师归纳 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 通过有理数引出本节课的内容。 探究新知 1.无理数 ☀无限不循环小数称为无理数。 如 π＝3.14159265…, 0.585885888588885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 ) 想一想 你能找到其他的无理数吗? 无理数有很多，常见的有以下形式： ①一般的无限不循环小数； ② π 及含有 π 的式子表示的数； ③有规律的无限不循环小数； ④开方开不尽的数(后边会学习)。 （链接例1） 2.实数的概念及分类 教师归纳 有理数和无理数统称为实数。 思考 （1）请你把下列各数填入下面相应的集合内。 3.14，－，0.， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 实数性质： 1.实数 a 的相反数是 -a 。 2.实数 a 的绝对值是 |a| ，且有 3.实数 a 的倒数是 。 针对练习 (1)正实数的绝对值是 它本身 ，0 的绝对值是 0 ，负实数的绝对值是　它的相反数 。 (2)3的相反数是 －3 ，绝对值是 3 。 (3)绝对值等于5的数是 ，－7的平方是 49 。 问题 在有理数范围内，能进行哪些运算？ 判断下列各式成立吗？ 有理数的运算及运算律对实数仍然适用。 教师归纳 有理数与无理数的主要区别 (1)无理数是无限不循环小数； 有理数是有限小数或无限循环小数。 (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能。 3.实数与数轴上点的关系及大小比较 探究 上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a , b ,且满足 a²=2,b²=5。 (1)如图, OA=OB , 数轴上点 A 对应 a , b 中的哪个数? 通过计算器计算，得 a＝1.414 213 56…,b＝2.236067978…， 所以，点 A 对应数 a 。 拓展 你能在数轴上作出的对应点吗？ (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗? 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 （链接例2、例3） 通过活动让学生感知不同的分类标准，结果会发生变化。 观察说出运算律，学生再次体验类比思想的同时，培养大胆猜想的意识。 通过正方形，化无形为有形，用现成的无理数让学生明白数轴上不仅可以表示有理数，还可以表示一个无理数。 典例精析 【例1（教材P27例1）】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－，0.， 0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加2）。 【解】有理数有：3.14，－，0.； 无理数有：0.1010001000001…（相邻两个 1 之间0 的个数逐次加 2）。 【例2】在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序进行排列，用“＜”连接： －π,4,－1.5,。 【解】将点在数轴上表示，如图所示， ∴ －π＜－1.5＜＜4。 【例3】在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度是无理数的线段。 【解】长度为有理数的线段：AB、EF； 长度为无理数的线段：CD、GH、MN。 巩固学生对本节知识点的掌握与运用。 随堂检测 1. 在 ， ，0.7070070007…(每两个 7 之间 0 的个数逐渐加1)，0.6 中不是有理数有( B )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法中，正确的有（ B ） ①无限小数都是有理数；②不循环小数不是有理数；③不是有理数的数都是无限小数；④ 0 是有理数。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3.如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为和 5.1，点 A 关于原点的对称点是 C，则 B，C 两点之间表示整数的点共有(　A ) A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 4.将下列各数按要求分类： －，－1.，π，3.1416，，0，3.14，－0.2020020002……（相邻两个 2 之间 0 的个数逐次加 1 ） 有理数有 －，－1.，3.1416，，0，3.14 ， 无理数有 π，－0.2020020002…… ， 分数有 －，－1.，3.1416，，0，3.14 ， 整数有 0 。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 实数 无理数的概念： 实数的概念： 实数的分类： 习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $