专题02 平方根 重难点题型专训 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“平方根”为核心，通过知识点分点梳理、对比表格（如平方根与算术平方根的区别联系）构建知识体系，覆盖平方根概念、性质、算术平方根三大知识点，清晰呈现重难点分布及内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型涵盖求平方根、非负性应用等11类，提高题型涉及几何问题（如赵爽弦图面积计算）和规律探究，培养运算能力与推理意识。自我检测结合中考真题，帮助学生自主诊断，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题02 平方根重难点题型专训（3个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 3 题型四、无理数整数部分的有关计算 4 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 5 题型六、算术平方根的实际应用 6 题型七、平方根概念理解 7 题型八、求一个数的平方根 8 题型九、求代数式的平方根 9 题型十、已知一个数的平方根，求这个数 10 题型十一、利用平方根解方程 11 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓展 2 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）的平方根是______． 知识点02平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 知识点03 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，，那么________； 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）计算：___________． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知是49的算术平方根，的立方根是．求的平方根． 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解】 【例1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【例2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的平方根是______． 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若实数x，y满足，且x，y恰好是的两条边长，则斜边长为（    ） A．12或13 B．或13 C．13 D． 2．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 3．（25-26七年级下·北京·期中）已知实数满足关系式，求的算术平方根． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数：___________． 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则______． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【基础题型四 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（2025·山东临沂·二模）已知，则整数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则________． 3．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【基础题型五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔东南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有5个； ③； ④； ⑤当时，的值为2550． 以上正确的结论有_____．（填序号） 1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 3．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【基础题型六 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【基础题型七 平方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)平方等于的有理数有哪几个？有没有平方等于的有理数？ (2)立方等于27的有理数有几个？有没有立方等于的有理数？ 【基础题型八 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·山西朔州·期末）实数4的平方根是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 1．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）25的平方根是___________；的立方根是___________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 【基础题型九 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 3．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 【基础题型十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【例2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 2．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【基础题型十一 利用平方根解方程】 【例1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算与求值． (1)计算：； (2)求满足的的值． 【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，完成下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_________； （2）如果图中的a、b满足，，则的值为_________． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为的长方形纸片，用来制作书签． (1)则大正方形的边长是______； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓展】 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 3．（25-26七年级下·全国·阶段检测）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 1．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026八年级上·吉林长春·学业考试）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 5．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 7．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为__________． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）下表记录了一些数的平方： 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在17.4~17.5之间，其中正确的是________（填序号）． 11．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根．     12．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）按要求完成作答： (1)已知，a是的平方根，，c是的立方根，求的值； (2)已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料． (1)求剩余木料（空白部分）的总面积； (2)若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平方根重难点题型专训（3个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 3 题型四、无理数整数部分的有关计算 4 题型五、与算术平方根有关的规律探索题 5 题型六、算术平方根的实际应用 6 题型七、平方根概念理解 7 题型八、求一个数的平方根 8 题型九、求代数式的平方根 9 题型十、已知一个数的平方根，求这个数 10 题型十一、利用平方根解方程 11 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓展 2 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，找到平方等于的数即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是. 知识点02平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）与是某正数的两个平方根，则实数的值是（     ） A．4 B． C．2 D．－2 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵与是该正数的两个平方根 ∴ 解得 ． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出的值． 【详解】解：，是的两个平方根，且， 与互为相反数， ． 知识点03 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 2．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，，那么________； 【答案】 【详解】解：因为 所以 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【例2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先根据倒数、绝对值、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：逐个判断正误： ①的倒数是，嘉琪答案错误； ②负数的绝对值是它的相反数，，嘉琪答案正确； ③算术平方根为非负数，4的算术平方根是，嘉琪答案正确； ④只有0的平方根与立方根相等，嘉琪答案正确； ⑤，嘉琪答案正确； ∴嘉琪共做对4道题，每小题20分，得分为分． 2．（2026·四川宜宾·模拟预测）某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 【答案】 【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算到中完全平方数的个数即可． 【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为（，为正整数）的桌子，当指令数字是的因数时，是的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号的扑克牌被翻动次数等于的正因数个数； 若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次， ∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数， ∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数． ∵在到中，完全平方数为，共个， ∴正面向上的张数是10． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知是49的算术平方根，的立方根是．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根的定义，根据定义列出方程求出和的值，代入计算后即可求出的平方根． 【详解】解：∵是的算术平方根 ∴ 解得 ∵的立方根是 ∴ 把代入得 解得 当，时， ∴的平方根是 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解】 【例1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 【例2】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴9的平方根是． 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若实数x，y满足，且x，y恰好是的两条边长，则斜边长为（    ） A．12或13 B．或13 C．13 D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵x，y恰好是的两条边长， 当x为直角边，y为斜边时，斜边长为12， 当x、y均为直角边时，斜边长为． 2．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 3．（25-26七年级下·北京·期中）已知实数满足关系式，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方、算术平方根的非负性即可得出的值，再求算术平方根即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴的算术平方根是． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ，即， 因此的大小在8与9之间． 【例2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数：___________． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出x的值，再估算出x的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数n的值为6． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 【基础题型四 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（2025·山东临沂·二模）已知，则整数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围，首先得出，得出的取值范围，即可得出m的值． 【详解】解：， ， ，为整数， ， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据平方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵a是的立方根， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的平方根是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知是的整数部分，是的小数部分，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：，是的整数部分，是的小数部分， ，． ． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 【基础题型五 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔东南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据被开方数向左或向右移动位，则对应的算术平方根向左或向右移动位求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有5个； ③； ④； ⑤当时，的值为2550． 以上正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：①表示距离最近的正整数， ，所以①正确； ②当时，为，，，，，一共有个， 所以②错误； ③，，，，，，，，，，，， ， 所以③正确； ④由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故④正确； ⑤， ， 所以⑤正确； 综上，①③④⑤正确． 1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 3．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【基础题型六 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 【例2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 【基础题型七 平方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 1．（25-26七年级下·河北邢台·期末）有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 【答案】拼成正方形的边长都是，一样大 拼割线如图所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【分析】阴影部分面积都是5，可得剪开重新拼成正方形的边长都是，一样大． 【详解】略 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)平方等于的有理数有哪几个？有没有平方等于的有理数？ (2)立方等于27的有理数有几个？有没有立方等于的有理数？ 【答案】(1)平方等于的有理数有2个，分别是和；没有平方等于的有理数 (2)立方等于的有理数有1个，是；有立方等于的有理数，是 【分析】（1）利用互为相反数的两数平方相等的性质，结合有理数平方的非负性判断求解． （2）利用有理数立方的符号与底数一致的性质，结合立方运算的唯一性判断求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴平方等于的有理数为与， ∵任意有理数的平方均为非负数，且， ∴不存在平方等于的有理数． （2）解：∵， ∴立方等于的有理数为，共1个． ∵， ∴存在立方等于的有理数，为． 【基础题型八 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·山西朔州·期末）实数4的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据平方根的定义，可知实数4的平方根是． 【例2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可求解． 【详解】解：∵正数4的其中一个平方根为2，且2的相反数为， ∴另一个平方根为． 1．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 2．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）25的平方根是___________；的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，掌握平方根与立方根的性质是解题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解． 【详解】解：，的平方根是； ，的立方根是． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 【答案】(1)不正确，因为正数有两个互为相反数的平方根， ∵， ∴16的平方根是； (2)不正确，因为算术平方根为非负数， ∵表示25的算术平方根， ∴ 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型九 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·北京西城·期中）已知4是的算术平方根，的立方根是3． (1)计算：a =______，b =______； (2)求的平方根． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）根据算术平方根与立方根的性质即可求解； （2）先求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知算术平方根、立方根与平方根的性质． 【详解】（1）∵4是的算术平方根，的立方根是3， ∴，， 解得，， 故答案为：5；； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 【基础题型十 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 【例2】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别为和，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，列方程求解． 【详解】解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 化简得： ， ∴ ， 解得， 故选：B． 2．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 3．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 把代入得， 解得； （2）解：把，代入得：， 的算术平方根是， 的算术平方根为． 【基础题型十一 利用平方根解方程】 【例1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 综上，的值为或． 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 【答案】 【分析】设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，建立等式，求解即可． 【详解】解：设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是， 根据题意，得所有的A型纸张的长宽之比是一个定值， 故， 整理得， 解得，边长不能为负，故舍去， 故， 故． 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设米，绳子总长度为米，通过作辅助线构造直角三角形，分别在、中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 过点作于， 则点在上， 设米，绳子总长度为米， 由题意得： 乙同学手高米，米，米， 第一次绳长剩余米，故，第二次绳子用完，， 米，米，米，， 在中，， 在中，， 得：，解得， 把代入得：，即，边长为正，故，得米， 因此四楼教室到地面的距离为米． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算与求值． (1)计算：； (2)求满足的的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先分别化简立方根、绝对值、算术平方根，再合并计算结果； （2）先将系数化为1，再根据平方根定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，求出． 【详解】（1）解：． （2）解：， 两边同时除以25： ， 由平方根定义得： ， ， 即，． 【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． 【例2】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，完成下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_________； （2）如果图中的a、b满足，，则的值为_________． 【答案】 【分析】（1）依据该图形的总面积为或，即可得出答案； （2）将，代入（1）中公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：该图形的总面积为或， ∴可得如下公式； （2）∵，， ∴， 解得（负值舍去）． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为的长方形纸片，用来制作书签． (1)则大正方形的边长是______； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)14 (2)不能；理由见解析 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）解：不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：，负值舍去， ∴长方形纸片的长为，宽为， ，， ∵， ∴， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓展】 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 【例2】（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段检测）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是_______． 【答案】20 【分析】本题主要考查与算术平方根有关的规律问题，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， ...， ∴第n行最后一个数为， ∵第28行最后一个数为， ∴第28行从左至右第22个数是． 故答案为：20． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 3．（25-26七年级下·全国·阶段检测）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 1．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 2．（2026八年级上·吉林长春·学业考试）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根． 设正方形的边长为 ，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可． 【详解】解：设正方形的边长为 ，根据题意得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）． 故选：B． 3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 4．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 7．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为__________． 【答案】1或25 【分析】本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，从而可求出一个平方根，再由平方根的平方，可得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期末）下表记录了一些数的平方： 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在17.4~17.5之间，其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，无理数的估算，根据即可判断①；根据无理数的估算方法先估算出的范围，再估算出的范围即可判断②；根据即可判断③；根据题意可得这四个数的算术平方根在17.4~17.5之间，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴30976的平方根是，故③正确； ∵， ∴这四个数的算术平方根在17.4~17.5之间，故④正确； 故答案为：①③④． 11．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 12．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求出，的值，根据实数的估算方法求出的值； （2）根据（1）中结果，求出代数式的值，再根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ，即 解得， ， ，即， ， 的整数部分； （2）解：，，， ， 的平方根为． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）按要求完成作答： (1)已知，a是的平方根，，c是的立方根，求的值； (2)已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)7或3 (2) 【分析】（1）可得，，，代入求值即可； （2）由算术平方根与平方根的含义可得，，由无理数的整数部分的含义可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：，是的平方根， ． ， ， c是的立方根， ． 当时，． 当时，． 综上，的值为7或3． （2）解：的算术平方根是3， ，解得， 的平方根是， ． 将代入，得到，解得． ， ，即． 的整数部分． 将，，代入， 可得， 所以的平方根为． 14．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）阅读素材： ，，，…按照此规律： (1)初步探究： ①填空：________________； ②计算：； (2)迁移应用：计算： 【答案】(1)①；② (2)23 【分析】（1）①总结题中规律，即可解答； ②根据①中规律解答即可； （2）总结题中规律，即可解答； 【详解】（1）解：①∵，，，…， ∴（是正整数，且）； ∴； ②根据①中规律可得：当时，， ∴ ． （2）解：∵，，，…， ∴ （是正整数，且）； 最后一项中，，符合规律， ∴ ． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，木工从一个大正方形的木板上裁出两个小正方形和，面积分别为和的木料． (1)求剩余木料（空白部分）的总面积； (2)若木工想利用剩余的两块木料裁出长，宽的矩形木条（沿着平行于木料边的方向裁剪），则剩余的两块木料最多可以裁出几块这样的木条？ 【答案】(1) (2)一共最多可以裁出4块这样的木条 【分析】（1）设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，根据题意，则剩余木料的面积为，据此求解即可． （2）由，故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条，求解即可． 【详解】（1）解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y， 根据题意，得，， ，，，(负值都已舍去)， ， 故剩余木料的总面积为； （2）解：根据题意，得，， 由， 故一个长方形木料最多可以裁出2块这样的木条， 故一共最多可以裁出4块这样的木条． 学科网（北京）股份有限公司 $