2.1 认识实数（第1课时 无理数的产生）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦非有理数的识别这一核心知识点，通过拼图活动将小正方形拼成大正方形导入课堂，以几何直观为支架，关联勾股定理，引导学生从空间形式到数量关系，发现非有理数，构建知识脉络。 资料特色在于融合动手操作与定理探究，体现数学眼光中的几何直观和创新意识，通过勾股定理推导非有理数培养数学思维中的推理意识。拼图实例让学生直观感受数学原理，探究式教学提升学生抽象能力与探究精神，为教师提供清晰教学支架，助力核心素养落地。

2.1.1 无理数的产生（第1课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 2.1.1 无理数的产生（第1课时） 教学目标 1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。 2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。 3．会判断一个数是有理数还是无理数。 教学重点 通过拼图活动感受无理数的产生，认识无限不循环小数，会区分有理数与无理数。 教学难点 理解满足 的 既不是整数也不是分数的过程，体会无限逼近思想。 教材分析 本节是北师版八年级上册第二章“实数”的起始课，属于“数与代数”领域。主要内容包括：通过拼图活动发现边长为 的正方形满足 ，经历从“数”和“形”两个角度判断 不是整数、不是分数的过程，初步感受无理数产生的实际背景；借助计算器探索 ，认识无限不循环小数，体会无限逼近思想；能利用拼图、勾股定理等情境判断一个数是否为有理数，为后续学习无理数的概念与实数分类奠定基础。 本节概念形成逻辑如下：拼图得到面积为 的大正方形，设边长为 ，得 。从“数”的角度，由 知 不是整数；从“形”的角度，用两个边长为 的正方形拼成的大正方形，其边长介于 和 之间。再通过反证思想讨论 能否是分数，发现 既不是整数也不是分数，从而不是有理数，但 确实存在，由此引出引入新数的必要性。接着用计算器逐步逼近，得到无限不循环小数，使学生直观认识无理数的存在，并学会借助勾股定理识别非有理数。教学重点是：经历无理数产生过程，理解无限不循环小数；教学难点是：理解 既不是整数也不是分数，体会“无限逼近”的思想。 学情分析 学生已系统学习有理数、整数、分数、小数及勾股定理等内容，能进行简单的平方运算和方程求解，具备一定的动手操作和合作探究能力。但学生此前接触的数都是有理数，对“存在不是有理数的数”缺乏直观经验。教学中，通过拼图活动使“非有理数”自然浮现，学生容易从面积和边长关系感知 的存在；而严格说明 不是分数需要用到反证思想和分数平方的性质，学生理解起来有一定难度，这是本节的教学难点。此外，用计算器逐位逼近无限不循环小数时，学生可能困惑于“算不完的数还算不算数”，需要教师借助“面积越来越接近 ”帮助学生体会无限逼近的合理性。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【回顾旧知】教师提问：我们已经学过的“有理数”包括哪几类？圆周率π是有理数吗？为什么？ 【交流讨论】学生回答：π不是有理数，因为π是无限不循环小数。 【教师演示】 【引入新课】除了π之外，还有没有其他数也是无限不循环小数？比如，平方等于2的数、平方等于5的数，它们存在吗？它们是有理数吗？带着这些问题，我们开始学习第二章“实数”。 从学生熟悉的π切入，制造认知冲突，激发学生探究无理数的兴趣，明确本节课的学习方向。 探究点一 拼图发现非有理数 活动一 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 【问题引入】用两个边长为1的正方形，通过剪拼能否得到一个大的正方形？拼成的大正方形的边长a是多少？ 【师生活动】教师组织学生四人一组，拿出准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。学生分组操作，教师巡视指导。 教师结合拼图提出逐步深入的问题： （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）a可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。 【详细过程】两个小正方形的面积和为，剪拼后大正方形面积不变，所以。 （1）设大正方形边长为，则，所以满足。 （2）不是整数。 · 从“数”的角度：因为，，而，所以，即，故不是整数。 · · 从“形”的角度：在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a · 根据三角形的三边关系： AC-BC<a<AC+BC · 所以0<a<2，且 a≠1，所以a不是整数 。 · （3）不是分数。讨论：① a 是分母为 2 的分数吗？ 不是，=，=，··· ② a 是分母为 3 的分数吗？ 不是，=，=，=··· ③ a 是分母为多少的分数？ 总结：事实上，满足等式 a² = 2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。 【例题探究】例1.图 2-1-3 是由五个边长为1 的小正方形组成的图案，如果把它们剪拼成一个正方形. (1)所拼成的正方形的面积是多少？ 解：所拼成的正方形的面积是5. (2)设拼成的正方形的边长为a，a应满足什么条件？ 解：a应满足＝5 (3)a是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 解：a不是整数，不是分数，不是有理数. (4)请你讨论一下 a 在哪两个相邻整数之间 . 解：a 在2和3之间. 方法技巧：根据 剪拼没有改变图形的面积，确定正方形的面积及边长，结合拼出的图形解释无理数的产生. 通过动手拼图与面积计算，让学生亲身经历“数a存在但不是有理数”的发现过程，体会无理数产生的实际背景，感受引入无理数的必要性。 探究点二 利用勾股定理识别非有理数 【尝试思考】（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 解：正方形的面积=直角三角形的斜边的平方=+=5 （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ 解：=5 （3）b是有理数吗？ 解：b不是有理数 归纳：数 a，b 确实存在，但都不是有理数. 活动二 a究竟是多少？ 【思考交流】（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格 【学生思考】小明将他的探索过程整理如下： 【教师提问】想一想：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ (3) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ (4) 面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？ b 可能是有限小数吗？ 【学生回答】（3）a = 1.414 213 56···，它是一个无限不循环小数. （4）b = 2.236 067 977···，它是一个无限不循环小数. 【教师总结】事实上，a =1.414 213 56···，b = 2.236 067 977···，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 【例题探究】例2.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6， AD=5，所以=-=11. 因为11是质数，大于1的整数的平方都是合数，所以11不能写成一个整数的平方，所以CD不可能是整数． 因为最简分数的平方仍是分数，所以CD不可能是分数．所以CD不可能是有理数． 方法技巧：利用勾股定理解决问题的一般步骤： 1.标已知，设未知； 2.利用勾股定理，列方程； 3.解方程，得解. 通过勾股定理再次构造“存在但非有理数”的边长，帮助学生从不同角度识别非有理数，同时为后续学习无理数和勾股定理的应用作铺垫。 课堂小结 板书设计 2.1.1 无理数的产生（第1课时） 探究点一 拼图发现非有理数 探究点二 利用勾股定理识别非有理数 随堂练习 1.满足下列条件的数不是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 一个长方形的长和宽分别是 6 cm 和 3 cm，它的对角线的长的值是一个（　） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 【答案】D 3. 请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数。 【答案】解：如图所示. 教学反思 本课教学目标整体达成。拼图活动让学生直观感受到“面积为 2 的正方形边长”确实存在，并结合整数、分数的排除，使学生对“非有理数”产生了真实的认知需求；概念理解目标通过例 1、例 2 的辨析基本达成，学生能初步判断一个数是否是有理数。 估算表格和计算器探索有效渗透了无限逼近思想，学生能说出“越精确，面积越接近 2”，但对“无限”与“不循环”的理解仍较抽象。部分学生将有限小数、无限循环小数误认为无理数，需要加强有理数、无理数的对比。 难点突破方面，学生能利用勾股定理得到 CD²＝11，但说明“11 不能写成一个整数的平方”时语言不够严谨，需要教师示范并引导学生规范表达。 改进方向：可增加小组合作估算和说理表达的时间，补充有限小数、无限循环小数与无限不循环小数的分类辨析练习，帮助学生形成清晰的知识结构。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $