2.1.1.2 有理数加法的运算律及应用（课件）--2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数加法运算律及应用，通过复习有理数加法法则引入运算律，将小学加法交换律、结合律迁移至有理数范围，构建从基础运算到简便计算的学习支架，帮助学生解决多有理数连加的繁琐问题。 其亮点在于通过探究活动（如验证交换律的计算示例）培养学生推理意识，结合实际应用题（如水位变化、出租车营业额）发展模型意识与应用意识。五大简便运算技巧及易错点总结，助力学生形成结构化知识，提升运算能力。学生能高效掌握简便计算方法，教师可依托系统资源优化教学流程。

2.1.1.2 有理数加法的运算律及应用（专项精讲） 一、知识点导入 在上一节我们掌握了有理数的加法法则，能够完成两个有理数的加法运算。在实际计算中，常会遇到多个有理数连续相加的算式，依次计算步骤繁琐、容易出错。小学学过的加法交换律、结合律在有理数范围内依然完全适用，运用加法运算律可以凑整、消零、简化运算，是有理数简便运算的核心方法，也是本章计算题的必考重点。 二、两大加法运算律（标准公式） 1. 加法交换律 内容：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 字母公式：$$a+b=b+a$$ 解读：无论加数是正数、负数还是0，交换位置后计算结果不会改变，主要用于调整加数顺序，方便后续凑整计算。 2. 加法结合律 内容：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母公式：$$(a+b)+c=a+(b+c)$$ 解读：可自由组合多个加数，优先结合容易计算的数，多用于多位数连加运算，简化计算流程，降低出错概率。 三、五大简便运算核心技巧（必考） 多个有理数相加时，不能盲目依次计算，需观察数字特征，利用运算律分组计算，常用技巧如下： 1. 相反数结合法（凑0法） 互为相反数的两个数和为0，算式中出现相反数，优先结合计算，直接消去数值，简化运算。 例题：$$(+5)+(-3)+(-5)$$ 解：原式$$=[(+5)+(-5)]+(-3)=0-3=-3$$ 2. 同号结合法 将所有正数、负数分别结合相加，再将两次计算结果相加，避免频繁切换符号判断，减少失误。 例题：$$(-8)+(+6)+(-4)+(+7)$$ 解：原式$$=[(-8)+(-4)]+[(+6)+(+7)]=-12+13=1$$ 3. 同分母结合法 算式中含有分数时，优先将同分母分数结合相加，避免通分麻烦，快速算出结果。 例题：$$\frac{2}{5}+\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{2}{5}\right)$$ 解：原式$$=\left[\frac{2}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)\right]+\left(-\frac{1}{3}\right)=0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$ 4. 凑整结合法 将能凑成整数、整十数的小数、分数优先结合，规避复杂小数、分数运算，提升计算速度。 例题：$$3.6+(-2.5)+6.4+(-7.5)$$ 解：原式$$=(3.6+6.4)+[(-2.5)+(-7.5)]=10-10=0$$ 5. 带分数拆分法 带分数相加时，可将整数部分和分数部分拆分，分别结合相加，再合并结果。 四、实际应用题（高频考点） 有理数加法运算律常应用于实际生活，如水位变化、温度变化、收支情况、质量误差等问题，核心解题思路：正数表示增加/超出，负数表示减少/不足，所有数据相加，结果即为总变化量。 例题：某水库周一水位变化为+0.3m，周二-0.2m，周三+0.4m，周四-0.1m，四天水位总变化情况如何？ 解：列式得：$$(+0.3)+(-0.2)+(+0.4)+(-0.1)$$ 简便计算：原式$$=(0.3+0.4)+(-0.2-0.1)=0.7-0.3=0.4(\text{m})$$ 答：四天水位总体上升0.4米。 五、高频易错点总结 1. 运用结合律分组时，符号必须跟随数字，移动数字时切勿遗漏正负号； 2. 盲目凑整，忽略算式整体符号，导致最终结果符号错误； 3. 分数、小数混合运算时，未优先分组，强行依次计算，步骤繁琐且易出错； 4. 实际应用题漏写单位、漏答，答题格式不规范导致扣分。 六、随堂专项练习 1. 利用运算律简便计算： （1）$$(-7)+12+(-3)+8$$ （2）$$4.5+(-3.2)+5.5+(-6.8)$$ （3）$$\frac{1}{4}+\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}$$ 2. 应用题：小明一周零花钱收支记录（收入为正，支出为负）：+15元、-8元、+20元、-12元，本周小明最终结余多少钱？ 七、参考答案与解析 1. （1）原式$$=[(-7)+(-3)]+(12+8)=-10+20=10$$ （2）原式$$=(4.5+5.5)+[(-3.2)+(-6.8)]=10-10=0$$ （3）原式$$=\left[\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)\right]+\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right)=0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$ 2. 解：$$(+15)+(-8)+(+20)+(-12)=(15+20)+(-8-12)=35-20=15$$（元） 答：本周小明最终结余15元。 人教版数学（新教材）七年级上册 2.1.1.2有理数加法的运算律及应用 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/20 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 有理数的运算 学习目标 能叙述有理数加法的运算律. （重点） 会运用加法交换律、结合律进行有理数加法简便运算. （重点） 掌握加法交换律、结合律在实际运算中的运用. （难点） 新课导入 我们以前学过加法交换律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？ 加法交换律: a + b = b + a 加法结合律: （a + b）+ c = a +（b + c） 30 -20 ﹢ ( ) ﹦ ( ) -20 ﹢ 30 ﹦ 10 10 探究1：计算 30+(-20)，(-20)+30, 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ ① (-5)＋(-13) 　(-13)＋(-5) ② (-37)＋16 16＋(-37) …… 探究新知 有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变． 加法交换律：a+b=b+a 探究1：计算 30+(-20)，(-20)+30, 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试。 从上述计算中，你能得出什么结论？ 探究新知 探究2：计算 [8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)], 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试， 从上述计算中，你能得出什么结论？ [8+(-5)]+(-4)=8+[(-5)+(-4)] 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 探究新知 例1 计算： (1)8+(-6)+(-8)； (2)16+(-25)+24+(-35). 解：(1) 8+(-6)+(-8) =[8+(-8)]+(-6) =0+(-6) =-6 怎样使计算简化的?根据是什么? 运用了加法交换律。 互为相反数的两个数先相加，从而使计算简化. 探究新知 例1 计算： (1)8+(-6)+(-8)； (2)16+(-25)+24+(-35). 解： (2) 16＋(－25)＋24＋(－35) ＝16 ＋24 ＋[(－25) ＋(－35)] ＝40＋(－60) ＝－20 把正数或负数分别相加，从而使计算简化. 怎样使计算简化的?根据是什么? 既运用了加法交换律，又运用了加法结合律. 探究新知 1. 下列变形中，运用加法运算律正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2. 能与 相加得0的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.母题教材P30练习 一个水利勘察队第一天向上游走 ，第二天向上游走，第三天向下游走 ， 第四天向下游走，这时勘察队在出发点的上游__ 处. （规定向上游走为正） 返回 举一反三 11 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5. 答：10袋小麦一共502.5千克，总计超过2.5千克. 例2：10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示。10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 还有其它的解法吗? 探究新知 12 解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8，-0.6，+0.9，+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5. 50×10+2.5=502.5. 答：10袋小麦一共502.5kg，总计超过2.5kg 比较两种解法。解法2中使用了那些运算律？ 例2：10袋小麦称后记录(单位：kg)如图所示。10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？ 探究新知 13 一天,某出租车被安排以A地为出发地,只在东西方向道路上营运.规定向东为正，向西为负,行车里程(单位:km)依先后次序记录如下:+9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10.假设每次乘客下车后，该出租车都在停车地等待下一名乘客,直到下一名乘客上车再出发. (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地的什么方向?距离A地多少千米? (2)若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少? 当堂检测 +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在A地的什么方向?距离A地多少千米? 解:(1)(+9)+(-3)+(-5)+(+4)+(-8)+(+6)+(-7)+(-6)+(-4)+(+10) =[(+4)+(-4)]+[(+6)+(-6)]+[(+9)+(+10)]+[(-3)+(-5)+(-8)+ (-7)] =19+(-23) =-4. 答:出租车在A地的正西方向，距离A地4km. 当堂检测 +9，-3，-5，+4，-8，+6，-7，-6，-4，+10. (2)若每千米的价格为3元，司机当天的营业额是多少? (2)|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-7|+|-6|+|-4|+|+10| =62. 62×3=186. 答:司机当天的营业额为186元. 当堂检测 4.绝对值小于2 025的所有整数的和为___. 0 返回 举一反三 17 5.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图， 将0，， ，1，2这五个数分别填在五个小 正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之 和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可 0（答案不唯一） 以是_________________.（写出一个符合题意的数即可） 返回 举一反三 18 6.［2025宜宾月考］计算下面各题： （1） ； 【解】 . 举一反三 19 （2） ； . 举一反三 20 （3） ; . 举一反三 21 （4） . . 返回 举一反三 22 有理数的加法 利用加法运算律简化运算的方法 有理数加法运算律 加法交换律 相反数结合法 同号结合法 加法结合律 凑整法 同分母结合法 探究新知 谢谢观看 THANKS $