1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，分基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，覆盖从概念推导到实际应用的完整路径，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|知识点01-03（定理推导、内容、直接计算）|通过填空、选择巩固系数识别与公式直接应用，培养抽象能力| |技能应用层|知识点04-06（代数式变形、参数求解、条件判断）|结合判别式验证设计综合填空，提升推理能力与运算准确性| |综合拓展层|知识点07及课时训练（构造新方程、实际问题）|以“友好方程”“美丽方程”等创新题型，发展模型意识与应用能力|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．3 一元二次方程的根与系数的关系 ▌课时目标 1. 能通过具体方程观察两根和、两根积与系数的关系，会用求根公式推导一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），明确其适用前提。 2. 能直接求出两根之和与两根之积，并用于计算平方和、倒数和等与两根有关的对称代数式，减少先解方程再代入的繁琐运算。 3. 能在已知一个根时求另一个根及参数，能根据所给两根构造新一元二次方程；使用时先确认方程为一元二次且有实数根。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的发现与推导 知识点02：韦达定理的内容 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 知识点05：已知一根求另一根及参数的值 知识点06：韦达定理成立的条件 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 ▌知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的发现与推导 对于一元二次方程一般形式（），当判别式时，由求根公式可得两根。 计算两根之和：； 计算两根之积：。 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 1．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 2．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． ▌知识点02：韦达定理的内容 在一元二次方程（，）中，若方程有两个实数根，则两根之和，两根之积。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2＋3x－5＝0中，a＝2，b＝3，c＝－5，则，。 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期末）的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 8．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若方程的两个根为，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． ▌知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 解题步骤： 1. 将方程化为一般形式，准确识别各项系数（含符号）； 2. 计算判别式Δ，确认Δ≥0； 3. 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2－6x＋1＝0的两根和与两根积，先确认Δ＝(－6)2－4×3×1＝24≥0，故，。 9．（2026·河北沧州·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为(     ) A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题先将所求代数式因式分解为完全平方形式，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得 又∵ ∴将代入得，原式． 10．（2026·湖北黄石·三模）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 12．（2026·江苏苏州·二模）某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 【答案】 且 【分析】设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积的数值相等， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得，或，解得， ∵，即， ∴， ∴且． ▌知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 仅适用于关于的对称代数式（交换位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 1. 倒数和： 2. 平方和： 3. 差的平方： 例如：已知方程x2－4x＋2＝0的两根为，求的值。 由韦达定理得，，故。 13．（2026·安徽淮南·三模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 14．（2026·江苏盐城·二模）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴， 将，代入上式，原式， 故选B． 15．（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 16．（2026·四川泸州·二模）已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得 ，，进而求得，，再结合根与系数的关系代入求值即可． 【详解】解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． ▌知识点05：已知一根求另一根及参数的值 已知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根求解。 方法：设另一根为，根据两根之和与两根积的公式列出关于和参数的方程组求解，求出参数后需验证二次项系数不为0且Δ≥0。 例如：已知方程x2＋mx－8＝0的一个根为2，求m的值和另一根。 设另一根为，则，由2＝－8得＝－4，代入第一式得2＋(－4)＝－m，解得m＝2，此时方程二次项系数a＝1≠0，Δ＝4＋32＝36≥0，符合题意。 17．（2026·江苏南京·一模）若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 【答案】 【分析】设一元二次方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得两根之和为， ∵方程的一个根是， ∴， 解得，即另一个根是． 18．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 19．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为______． 【答案】3 【分析】设原方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴原方程的另一个根为3． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知是方程的一个根，则______，另一个根是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设方程的另一根为，然后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为，由根与系数的关系，得： ，代入，得， 解得； 又，代入，，得， 解得． 故答案为，． ▌知识点06：韦达定理成立的条件 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数，若a＝0则方程退化为一元一次方程，不存在两个根； 方程有实数根，即判别式，若Δ＜0方程在实数范围内无实根，因此不能使用韦达定理。 例如方程x2＋x＋2＝0的Δ＝1－8＝－7＜0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与系数的关系。 21．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 22．（2026·江苏南京·二模）已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到方程两根之和与两根之积的表达式，再结合题干给出的等量关系列等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 两根之和为，两根之积为， 根据题意，两根之和等于两根之积，可得： ， ，等式两边同乘得： ， ∴ ． 23．（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得： ，是一元二次方程的两个根， ∴ 将代入得： 24．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． ▌知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 若已知两个数的和为S、积为P，则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为，该结论由韦达定理逆推可得。 例如：已知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1的形式再构造。 25．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 26．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立与的关系，再代入代数式化简求值． 由方程和，设，则，令，代入得，与第一个方程同解，故和是方程的两个根，根据根与系数的关系，得和，即和．代入代数式，化简后利用计算． 【详解】解：和， 设，则． 令，代入得，与形式相同， 故和是方程的两个根． 根据根与系数的关系，得： 即： 代入代数式： 由，得， 代入分子：， ∴， 由，得 ，代入分子：， ∴． 27．（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于_______． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件，配方的应用等知识，根据二次根式有意义的条件得出根据一元二次方程根的判别式得出，则可求出，进而求出，即可求解． 【详解】解∶ 根据题意，得 关于x的两个方程都有实数根， 解得： 当时，取得最小值3． 故答案为∶3． 28．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_对称；若关于的多项式关于对称，则_； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的不同的解法以及配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义分别求出a，c的值，再把a，c的值代入，对方程进行求解即可； （3）对进行配方，根据新定义分别求出m，n的值，再把m，n的值代入中，并用因式分解法求解，再根据只有一根大于3，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； ∵关于的多项式关于对称， ∴； 故答案为：，． （2）解：∵关于的多项式关于对称，， ∴， 解得． ∵当时，多项式的值为5， ∴， ∴． ∴方程为， ∵， ∴，， 即关于的方程：的根为， ． （3）解：∵关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2， ∴， 解得，， ∴方程为， ， ，， ∵只有一根大于3，， ∴， 解得． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·湖南岳阳·二模）已知方程的一根为，则方程的另一根为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 2．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 3．（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）实数、满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意、可看作方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根和系数的关系，得到，再将代入求解即可． 【详解】解：，， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ， ， ． 二、填空题 5．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 【答案】 【详解】解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. 7．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 【答案】 【详解】解：由m，n满足，（m，n是实数，且），可知：把m，n看作是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【答案】 【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【答案】(1)证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.3一元二次方程的根与系数的关系 课时目标 能通过具体方程观察两根和、两根积与系数的关系，会用求根公式推导一元二次方程 根与系数的关系（韦达定理），明确其适用前提。 2. 能直接求出两根之和与两根之积，并用于计算平方和、倒数和等与两根有关的对称代 数式，减少先解方程再代入的繁琐运算。 3.能在已知一个根时求另一个根及参数，能根据所给两根构造新一元二次方程；使用时 先确认方程为一元二次且有实数根。 课时目录 知识点01：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理)的发现与推导 知识点02：韦达定理的内容 知识点03：利用韦达定理求两根之和与两根之积 知识点04：利用韦达定理求与两根有关的代数式的值 知识点05：已知一根求另一根及参数的值 1/10 知识点06：韦达定理成立的条件 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 【知识点01：一元二次方程根与系数的送系（韦达定理）的发现与推导 对于一元二次方程一般形式ar2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△=b-4ac≥0时，由求根 公式可得两根 5=酒 2a。 x+5=-b+6+b-瓜-2bb 计算两根之和： 2a 2a2a a (（←b+瓜(-b-A(-b-A_4ae-9 计算两根之积： 2a 4a2 4a2 4a2 a 该关系由法国数学家韦达最早系统研究，故称韦达定理。 1.(26-27九年级上江苏南京开学考试)已知关于的方程+x+9=0, 的两个不相等的实数根分别是 P,9,那么P+9的值是 2.（26-27九年级上：江苏南京开学考试)已知“b是关于*的一元二次方程+(k+)x++1=0。 的两 个实数根，且满足-a-b=ab,则k= 3.(2026江苏徐州模拟预测)己知，。是方程”-5x+6= 的两个实数根，则+书 4.(25-26八年级下江苏南通期末)已知，。是方程2×+4r-5=0的两个根，则+-5 知识点02：韦达定理的内容 在一元二次方程x+bx+c=0(a≠0，△之0)中，若方程有两个实数根x,x,则两根之 2/10 b x1+X2=- xx2=- 和 a,两根之积 a。 文字表述为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的商的相反数，两个根的积等于常 数项与二次项系数的商。使用时需注意系数连同符号代入，例如方程2x2+3x一5=0中，α 5 =2,b=3,c=-5,则+6=,= 2。 5。（2525八4级下江苏箱迁期未)右是方程+2x-5=0的两个，则2-5+2远 的值为 () A.-9 B.-1 C.1 D.0 6.(25-26八年级下·江苏南通期末)Rt△ABC的面积是S,一直角边AC长是x,根据题意可列方程 。(x+m)=S若该方程的两根为5三4，本=b,其中0，b<0,则另一直角边C长是) A.a+b B.a-b C.-ab D.-b 7.（25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于*的一元二次方程-(2m-1小k+m-2=0, ,方程有两个互 为相反数的实数根，则m的值是 8。(2526八年级下江苏南通期末)若方程-2-8=0的两个根为，，则5西= 知识点03：利用韦达定理求西根之和与两根之积 解题步骤： 将方程化为一般形式ax2+br+c=0,准确识别各项系数（含符号）； 计算判别式△，确认△≥0： 代入公式直接计算两根和与两根积，无需解出方程的根。 例如：求方程3x2一6x+1=0的两根和与两根积，先确认△=（一6）2-4×3×1=24≥0，故 x+西=2,3。 9.(2026河北沧州模拟预测)己知a,b是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，则a2+2ab+b2的值为 () 3/10 A.2 B.3 C.4 D.9 10。(2026湖北黄有三模)关于*的方程+-m=0的两个实数根分别为，。，且+5+=9 则m的值为() A.-5 B.-3 C.3 D.5 11.(25-26八年级下·江苏苏州期末)己知不相等的实数a,b满足a2+4a=12,b+4b=12,则代数式 a b 6+a的值等于— 12.(2026江苏苏州二模)某长方形的长和宽分别等于关于x的一元二次方程 2+px+9=0 的两根，若 该长方形的周长和面积的数值相等，则P，9的关系为一 知识点04：利用韦达定理求与两根有送的代数式的值 仅适用于关于x,的对称代数式（交换x,x,位置后式子不变），可通过韦达定理转化为用 a、b、c表示的式子，无需单独求根。常用变形： 1+1=为+五 倒数和：x2x 平方和：+=(：+x}-2xx 差的平方：(-x=(+x-4x 例如：己知方程x2-4十2=0的两根为，，求X+乃的值。 由韦达定理得+5=4,5=2，故+号=4-2×2=12。 13.(2026安徽淮南三模)已知，5是关于的一元二次方程 2-(m+3)x+2m+1=0 的两个实数根，若 x2+x2=1 ,则”m的值为() A.1 B.-3 C.1或-3 D.不存在 4/10 14.(2026江苏盐城二模)己知 ,5是一元二次方程-5x+3=0 的两个实数根，则代数式 x+号-的值为(） A.8 B.16 C.24 D.28 15.(2026江苏镇江二模)已知实数、》满是=+3广=y+3且*y,则 4+y4= 且 16.(2026四川泸州·二模)已知，P是方程x2+2025x+1=0的两个实数根，则 (a2+2026a+2B产+2026B+2）的值为 【知识点05：已知一相求另一根及参数的值 己知方程的一个根时，可结合韦达定理快速求出另一根及方程中的未知参数，无需代入根 求解。 方法：设另一根为x,根据两根之和与两根积的公式列出关于x和参数的方程组求解，求 出参数后需验证二次项系数不为0且△≥0。 例如：已知方程x2+x一8=0的一个根为2，求m的值和另一根。 [2+x2=-m 设另一根为本，则2x=-8,由25=一8得名=一4，代入第一式得2十（一4=一m, 解得=2，此时方程二次项系数a=1≠0，△=4十32=36≥0，符合题意。 17.(2026江苏南京·一模)若关于x的一元二次方程m2-2心+c=0的一个根是3，则另一个根是 18.(25-26九年级下江苏泰州阶段检测)己知方程2x2+mx+50=0的一个根是10，则它的另一个根是 19.(25-26九年级下江苏常州阶段检测)若关于x的一元二次方程x2-mx-6=0有一个根为-2，则另 一个根为 5/10 20.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)已知-1是方程x2+bx-3=0的一个根，则b=,另一个 根是 知识点06：韦达定理成立的条件 韦达定理仅在同时满足以下两个条件时适用： 方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，若a=0则方程退化为一元一次方程，不存在 两个根； 方程有实数根，即判别式△=b-4aC≥0，若△<0方程在实数范围内无实根，因此不能使 用韦达定理。 例如方程x2+x十2=0的△=1一8=-7<0，初中阶段认为该方程无实根，故不讨论其根与 系数的关系。 21.(2025浙江模拟预测)设关于x的方程一+(a+2》x+9如=0有两个不相等的实数根，与，且 x<1<x ,那么实数”的取值范围是() 5 c.a>5 2<a<0 D.-1 22.(2026江苏南京·二模)已知方程ax2+bx+1=0(a,b为常数，a≠0)的两根之和等于两根之积， 则b的值为 23.(2026山东聊城二模)已知，是一元=二次方程-2a+3=0a≠0 的两个实数根，则 x+2xx2+x号= 24.(26-27九年级上·江苏南京开学考试)在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系 数的关系. )已知，名，名为一元三次方程 x3+bx2+cx+d=0(a≠0) 的三个实数根，则+x+考= x1X2+x1·x3+X2x3= xx2X= 6/10 (2)问题解决.已知， 知，。，5为方程20-21r+32x-21=0的三个实数根，则对于下列结论一定正 确的是() A.>0B.+5-6>0C-5-5>0D.+名+<0 ®)岩r-5-12x-3=0的三个根分别为5，与，。，则4x+5 的值是 ④拓展提升.已知实数。6C满足0+b+c=0,且.o咴c2刃 4,求正数b的最小值. 知识点07：韦达定理在构造新方程中的应用 若已知两个数的和为S、积为P,则以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 x2-Sx+P=0,该结论由韦达定理逆推可得。 例如：已知两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的方程为x2-5x+6=0。 仅要求掌握二次项系数为1的构造，若二次项系数不为1，可先将方程化为二次项系数为1 的形式再构造。 25.(25-26八年级下江苏南通期末)已知m,n是一元二次方程x2+cx+1=0的两个实数根，P,9是 二元二次方程x2+x+k=0的两个实数根，则。++p+9-k的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 26.(25-26九年级上江苏镇江期末)通过学习，我们知道：若关于'的一元二次方程 2+px+9=0 有两 个实数根，，则+3=-P,西=9.已知0+3a-7=0,6-30-7=0,且a+6≠0，则 ab2-b2- 代数式 一的值等于」 3a 27.(24-25九年级下江苏南通阶段检测)若关于x的两个方程 x2+2px+q=0,x2-2/qx+p=0 都有实 数根，其中B9为实数，则代数式p+1g+3) 的最小值等于 7/10 28.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关 于的多项式-2x+3,由于 x2-2x+3=(x-1)2+2 2,所以当-取任意一对互为相反数的数时，多 项式x2-2x+3的值是相等的，例如，当x-1=±1，即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当 -1=2,即=3或时，-2x+3 ,x=3 值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x-取任意一对互为相反数的数时，该多项式的 值相等，就称该多项式关于x=1对称.例如x-2x+3关于x=1对称.请结合小明的思考过程，运用 此定义解决下列问题： (1)多项式x2+4x+5关于x=对称；若关于x的多项式x2-2br+3关于x=-4对称，则b=-: (2)关于x的多项式x+ax+c关于x=-1对称，且当x=a时，多项式的值为5，求关于x的方程： x2+ax+c-4=0 的根。 3)关于x的多项式x2+x+n关于x=2对称，且此多项式可取得最小值2，且关于x的方程： x2+(6+m)px+n+p2-7= 只有一根大于3，求P的取值范围. 课时训练 一、选择题 1,(2026湖南岳阳二模)已知方程+x+3=0的一根为5+2 则方程的另一根为() A.5-2 B.V5+2 c.2-V5 D.3 2.(2026广东河源二模)已知4，b,4分别是三角形三边的长，且a,b是一元二次方程x2-7x+9=0 的两个根，则该三角形的周长等于() A.16 B.11 C.9 D.7 8/10 3。（2026四川广安三模)对于任意实数“，b,定义一种新运算“。”：a0b=2r-(a+b)x-ab+2) 若关于x的方程102=0 已知该方程的两个根为、，则的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 4.(25-26八年级下安徽准南期中)实数0、b(a≠D 满足a-3a-2=0,6-36-2=0,则() A.a+b=3,a2+2b>0 B.a+b=3,a2+2b<0 C.a+b=-3,a2+2b>0 D.a+b=-3,a2+2b<0 二、填空题 5.(2026江苏南京·三模)写出一个两根之和为1，两根之积为-2的一元二次方程： 6.(25:26八年级下江苏泰州期末)已知关于x的方程-x+c= 的两根分别为5+1,1-V ,则 b+C=-· 7.(25-26八年级下江苏苏州阶段检测)已知，n满足m2-m-6=0,n2-n-6=0(m,n是实数，且 m≠n),则mn的值为一· 8.(2026黑龙江哈尔滨·二模)定义：我们把关于x的一元二次方程ax+bx+c=0与 cx2+bx+a=0(ac≠0，a≠c 称作一对“友好方程”.如2-7x+3=0的“友好方程”是 3x2-7x+2= 0.那么一元二次方程10r+3x+1=0 的“友好方程”的两根之和为 三、解答题 9(25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于×的一元二次方程（x-1(x+3)=m (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根： ②)若无，是关于七的一元二次方程 (x-1)(x+3)=m2 的两个实数根，试说明：+2+2)<0 9/10 10.(25-26八年级下江苏苏州期末)定义：如果关于x的一元二次方程x+bx+c=0(a,b,C均为 常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”. (1)下列方程中，是“美丽方程”的是 (填序号)· ①x2+2x=0;②x2-4x+4=0;③x2+4x+3=0 ②若x+2儿x+m)=0是“美丽方程”，求”的值. 3)若一元二次方程ax2+4x+c=0(a,c均为常数，a≠0)为“美丽方程”，请写出a、c满足的 数量关系，并说明理由. 10110