26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质课时同步练习- 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数y=ax²图象与性质，分层设计基础巩固、中档应用、综合拓展三阶练习，通过概念辨析、图象分析、几何综合递进巩固知识，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数概念（开口方向、对称轴、顶点）、基本计算（点代入求a、a值范围判断）|选择题1-8、填空题11-14，通过图象识别、解析式确定等基础题型，强化抽象能力与运算能力| |中档应用|图象比较（a值对开口影响）、简单几何结合（正方形、等腰直角三角形与抛物线交点）|选择题9-10、填空题15-16、解答题17-20，通过坐标计算、面积求解，发展几何直观与推理意识| |综合拓展|函数与几何综合（旋转、平移、存在性问题）、跨知识应用（一次函数与二次函数交点）|解答题21-23，通过动态几何、问题探究，培养模型观念与创新意识|

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质 1、 选择题 1．二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 3．已知抛物线经过点，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象． 直接将代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 4．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 5．已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算各点的函数值即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴对于点，； 对于点，； 对于点，， ∵， ∴ ． 故选B 6．抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出它们的共同点，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：抛物线与的共同点是对称轴都是y轴，顶点坐标都是，抛物线的形状和开口大小一样， 故选：C． 7．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是y轴 C．其图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的图象与性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象与性质解答． 【详解】解：、∵二次函数中，， ∴该函数图象开口向上，原选项正确，不符合题意； 、由二次函数可知，图象的对称轴是轴，原选项正确，不符合题意； 、由二次函数可知，其图象的顶点坐标是，原选项错误，符合题意； 、由二次函数可知，当时，随的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 故选：． 8．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 9．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小； 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 10．边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是　 　． 【答案】. 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故答案为：． 12．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 13．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为 ． 【答案】. 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 14．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 【答案】y1＞y2＞y3． 【分析】抛物线y＝x2的对称轴为y轴，即直线x＝0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系． 【详解】解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0， 而抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，开口向上， ∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2＞y3． 故本题答案为：y1＞y2＞y3． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为　 　． 【答案】4． 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD＝CE＝4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为（m，8），将点坐标代入解析式求解． 【详解】解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a， 解得a＝1， ∴y＝x2， ∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形， ∴CD＝CE＝4， 设点A横坐标为m，则A（m，8）， 代入y＝x2得m2＝8， 解得m＝2或m＝﹣2（舍去）． ∴AB＝2m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质． 16．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 三、解答题 17．如图为二次函数y＝x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝2x2和yx2的图象，并回答下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 　　 　　 　　 　　 　　 … yx2 … 　　 　　 　　 　 　　 … （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是 　 　.开口向 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　.在对称轴的左侧，y随x的增大而 　 　；在对称轴的右侧，y随x的增大而 　 　.当x＝　 　时，y有最 　 　值为 　 　． （2）如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越 　 　（填“大“或“小“）． 【分析】列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【解答】解：列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 8 2 0 2 8 … yx2 … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当x＝0时，y有最小值为0． 故答案为：抛物线，上，y轴，（0，0），减小，增大，0，小，0； （2）由图象可知，如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越小（填“大“或“小“）． 故答案为：小． 【点评】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 18．如图，A，B，C，D四点在抛物线y＝ax2上，且AB∥CD∥x轴，与y轴的交点分别为E，F，已知AB＝20，CD＝10，EF＝3，求a的值及OF的长． 【分析】由题意可设点D（5，c），B（10，c﹣3），然后可列二元一次方程组求得a，进而求得点D坐标即可解答． 【解答】解：由题意可设点D（5，c），B（10，c﹣3）， 则：c＝a×52＝25a，c﹣3＝a×102， 解得：a，c＝﹣1， ∴D（5，﹣1） ∵CD∥x轴 ∴OF＝1 ∴，OF＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、平行于x轴的直线的坐标特点等知识点，掌握二次函数的性质成为解答本题的关键． 19．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点，点A在第二象限， 求：（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积． 【分析】（1）联立抛物线y＝x2与直线y＝x+2，即可求出点A、B坐标； （2）由一次函数解析式可知OC＝2，再根据S△AOB＝S△ACO+S△BCO可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点， 联立两函数解析式得： ，解得：或， 故点A坐标为（﹣1，1），点B坐标为（2，4）； （2）令x＝0，则y＝x+2＝2，得C（0，2）， 故CO＝2． 观察图象可知， S△AOB＝S△ACO+S△BCO ＝3． 【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，解出A、B两点的坐标是解题的关键． 20.函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x﹣3交于（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线y＝ax2的解析式，并写出顶点坐标及对称轴； （3）x取何值时，二次函数y＝ax2中y随x的增大而增大？ （4）求抛物线和直线y＝﹣2的两个交点与抛物线顶点所构成的三角形的面积． 【分析】（1）把（1，b）代入y＝2x﹣3求得b＝﹣1，再代入y＝ax2即可求得a； （2）根据解析式y＝﹣x2即可求得顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数y＝ax2的性质求得即可； （4）先求得交点坐标，根据三角形的面积公式求得即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣3经过（1，b）． ∴b＝2﹣3＝﹣1， ∴函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x﹣3交于（1，﹣1）． 把（1，﹣1）代入y＝ax2（a≠0）得，a＝﹣1； （2）∵a＝﹣1， ∴抛物线为y＝﹣x2， ∴抛物线的顶点为（0，0），对称轴是y轴； （3）∵a＝﹣1＜0，开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴x＜0时，二次函数y＝ax2中y随x的增大而增大； （4）把y＝﹣2代入y＝﹣x2得，﹣2＝﹣x2， ∴x＝±， ∴S22＝2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 21．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 15．已知直线AB过x轴上一点A（﹣2，0），且与抛物线y＝ax2交于B、C两点，C（2，﹣4）． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△AOD：S△BOC＝2，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；然后把C点坐标代入y＝ax2可计算出a的值，从而得到抛物线解析式； （2）先解方程组得B点坐标（﹣1，﹣1），再确定E点坐标（0，﹣2），接着计算S△OBC＝S△OBE+S△OCE＝3，所以S△AOD＝6，然后设D点坐标为（t，﹣t2），根据三角形面积公式得•2•|﹣t2|＝6，解方程得到t的值，则可确定D点坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣2，0），C（2，﹣4）代入得， 解得． 所以直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2； 把C（2，﹣4）代入y＝ax2得4a＝﹣4， 解得a＝﹣1． 所以抛物线解析式为y＝﹣x2； （2）存在． 解方程组得或，则B点坐标为（﹣1，﹣1）， 当x＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则E点坐标为（0，﹣2）， 所以S△OBC＝S△OBE+S△OCE2×12×2＝3， 而S△AOD：S△BOC＝2， 所以S△AOD＝6， 设D点坐标为（t，﹣t2）， 所以•2•|﹣t2|＝6，解得t或， 所以D点坐标为（，﹣6）或（，﹣6）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 23．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为4求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标； （2）把点P的坐标代入y＝ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线y＝ax2上下平移后的解析式为y＝ax2+m，把点A坐标代入，求出m的值即可． 【详解】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b＝0，b＝4， ∴k＝﹣1，b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为4， ∴4×yp＝4， ∴yp＝2， ∴2＝﹣x+4， 解得x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； （2）把点P（2，2）代入y＝ax2， 得2＝a×（2）2， 解得a， 故二次函数的解析式为yx2； （3）能， 设将抛物线yx2上下平移后的解析式为yx2+m， 把点A（4，0）代入，得y42+m， 解得m＝﹣8， 故能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：yx2﹣8． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质 1、 选择题 1．二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过点，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 4．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 6．抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 7．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是y轴 C．其图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小， 8．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 9．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 10．边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是　 　． 12．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 13．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为 ． 14．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为　 　． 16．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 三、解答题 17．如图为二次函数y＝x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝2x2和yx2的图象，并回答下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝x2 … 4 1 0 1 4 … y＝2x2 … 　　 　　 　　 　　 　　 … yx2 … 　　 　　 　　 　 　　 … （1）二次函数y＝2x2和yx2图象的形状是 　 　.开口向 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　.在对称轴的左侧，y随x的增大而 　 　；在对称轴的右侧，y随x的增大而 　 　.当x＝　 　时，y有最 　 　值为 　 　． （2）如果a＞0，a越大，即|a|越大．抛物线y＝ax2的开口越 　 　（填“大“或“小“）． 18．如图，A，B，C，D四点在抛物线y＝ax2上，且AB∥CD∥x轴，与y轴的交点分别为E，F，已知AB＝20，CD＝10，EF＝3，求a的值及OF的长． 19．抛物线y＝x2与直线y＝x+2交于A，B两点，点A在第二象限， 求：（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积． 20.函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x﹣3交于（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线y＝ax2的解析式，并写出顶点坐标及对称轴； （3）x取何值时，二次函数y＝ax2中y随x的增大而增大？ （4）求抛物线和直线y＝﹣2的两个交点与抛物线顶点所构成的三角形的面积． 21．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 15．已知直线AB过x轴上一点A（﹣2，0），且与抛物线y＝ax2交于B、C两点，C（2，﹣4）． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△AOD：S△BOC＝2，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $