2.7.2抛物线的几何性质（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，系统讲解四种标准方程的范围、对称性、顶点、离心率等核心性质，以及通径、焦点弦的定义与应用。通过复习椭圆、双曲线的“以数研形”方法类比引入，以特例y²=2x为起点逐步推广，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与探究，通过互动分析特例推导性质，对比四种方程差异培养抽象能力，典例涵盖方程求解、最值等问题，结合通径、焦点弦应用强化推理与运算能力。小结结构化知识体系，学生易构建知识网络，教师可高效开展分层教学。

第二章 平面解析几何 2.7.2抛物线的几何性质 2.7抛物线及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握抛物线四种标准方程对应的核心几何性质，包括取值范围、对称性、顶点、离心率、焦点、准线，明确抛物线离心率恒为1的核心特征。 区分四种开口方向抛物线的几何性质异同，熟记通径的定义及长度公式，理解通径的几何意义。 能够利用抛物线的几何性质求解抛物线方程、定点坐标、取值范围，解决简单的最值、轨迹及焦点弦相关问题。 重点：抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等核心几何性质的理解与记忆。 难点：灵活运用几何性质解决抛物线综合问题，区分四种抛物线性质的差异，熟练应用通径、焦点弦性质解题。 复习类比 同学们，前面我们已经系统学习了椭圆、双曲线的几何性质，大家回忆一下，我们研究圆锥曲线几何性质的通用方法是什么？没错，都是由标准方程出发，通过代数分析推导图形的几何特征，依次研究取值范围、对称性、顶点、离心率这四大核心性质。 上一节课我们已经学习了抛物线的四种标准方程，明确了焦点和准线的位置。抛物线作为第三种核心圆锥曲线，它的图形更加简洁，且离心率固定，必然有着独特的几何性质。今天我们就沿用研究椭圆、双曲线的思路，自主探究抛物线的几何性质，完善圆锥曲线的知识体系，同时掌握利用性质快速解题的方法。 复习类比 为什么抛物线能实现精准聚光？这和它的对称性、取值范围等几何特征密不可分。 之前我们只会根据条件列抛物线方程，今天我们深入剖析抛物线的各类几何性质，解开抛物线的应用奥秘，同时学会用性质简化抛物线相关计算与证明。 目标一：抛物线=2x的基本几何性质 从特例入手 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：已知抛物线 C 的方程为 =2x，根据这个方程完成下列任务： (1) 观察方程中 x 与 y 是否有取值范围，由此指出抛物线 C 在平面直角坐标系中的位置特征； (2) 指出抛物线 C 是否具有对称性； (3) 指出抛物线 C 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标. 6 范围 知识讲解 互动探究 新课引入 因为实数的平方是一个非负数，所以在方程 =2x 中，必有 2x⩾0，即 x⩾0.同时，可以看出 y 能取任意实数. 由此可知，抛物线 C 位于 y 轴及 y 轴的右侧，如下图所示. 7 对称 知识讲解 互动探究 新课引入 又因为如果 (x,y) 是方程 =2x 的一组解，则不难看出，(x,-y) 也是方程的解，这说明抛物线关于 x 轴对称；又因为 (-x,y)，(-x,-y) 不一定是方程的解，这就说明抛物线不关于 y 轴对称，也不关于原点对称. 这也可从下图中看出来. 8 顶点 知识讲解 互动探究 新课引入 在方程 =2x 中，令 y=0，得 x=0；令 x=0，得 y=0. 可知抛物线 C 与 x 轴、y 轴都只有一个交点，且交点都是原点 (0,0). 9 顶点 知识讲解 互动探究 新课引入 在方程 =2x 中，令 y=0，得 x=0；令 x=0，得 y=0. 可知抛物线 C 与 x 轴、y 轴都只有一个交点，且交点都是原点 (0,0). 10 目标二：抛物线=2px的基本几何性质 范围 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果抛物线 C 的标准方程是 =2px(p>0) ①，则可以根据方程 ① 来得到抛物线的一些几何性质. 由方程 ① 可知，2px⩾0，又因为 p>0，所以 x⩾0 因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在 y 轴的右侧. 另外，当 x 无限增大时，也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如下图所示. 此时，称抛物线 C 的开口向右（或朝右）. 12 对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 如果 (x,y) 是方程 ① 的一组解，则不难看出，(x,-y) 也是方程的解，这说明抛物线 C 关于 x 轴对称，如下图所示. 此时，称 x 轴是抛物线的对称轴（简称为轴）. 13 顶点 知识讲解 互动探究 新课引入 在方程 =2px 中，令 y=0，得 x=0；令 x=0，得 y=0. 可知抛物线 C 与 x 轴、y 轴都相交于原点 (0,0). 此时，称原点是抛物线的顶点. 14 离心率 知识讲解 互动探究 新课引入 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 e 表示. 根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率 e=1. 15 目标三 ：抛物线其余类型的基本几何性质 思考：如果抛物线的标准方程是 =-2px(p>0)②，=2py(p>0)③，=-2py(p>0)④，那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与 ① 所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？ 可以看出，②③④ 所表示的抛物线，顶点坐标、离心率与 ① 所表示的抛物线是相同的，但是： ② 所表示的抛物线中，x⩽0，除顶点外，抛物线上的其余点都在 y 轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于 x 轴对称； ③ 所表示的抛物线中，y⩾0，除顶点外，抛物线上的其余点都在 x 轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于 y 轴对称； ④ 所表示的抛物线中，y⩽0，除顶点外，抛物线上的其余点都在 x 轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于 y 轴对称. 标准方程 图像 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 顶点坐标 （0，0） （0，0）  （0，0） （0，0） 离心率 1 1  1 1 知识剖析 (1) 通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为 O(0,0)，离心率均为 1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称。 (2) 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ① 它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ② 顶点个数不同，椭圆有 4 个顶点，双曲线有 2 个顶点，抛物线只有 1 个顶点。 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 =2px(p>0) 上，求这个三角形的边长。 对点体验 解答： 答 如图 2-7-2-4，设正三角形 的顶点 在抛物线上，且坐标分别为 ，则 。又 ，所以 ，即 ，所以 。因为 ，，，所以 。由此可得 ，即点 关于 轴对称。因为 轴，且 ，所以 ，而 ，所以 。于是 ，所以这个三角形的边长为 。 目标四 ：抛物线的焦点弦及通径 1 焦点弦 (1) 定义 过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫作抛物线的焦点弦。 (2) 焦点弦长 如图，设抛物线 =2px(p>0) 的焦点为 F，焦点弦的两端点分别是点 A()，B()，l 为准线，由抛物线的定义可得 BF+p。常称此式为抛物线的焦点弦长公式。 (3) 设 AB 是抛物线中过焦点的一条弦，其中 A()，B()，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长 已知抛物线 =4x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 M(3,2) 的直线 l 交抛物线于另一点 N，则 等于( )。 A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1: 对点体验 解答： 解 由抛物线 知 ，则 。 方法一：，所以直线 的方程为 。由 得 ，解得 ，则 。 2.通径 (1)定义 过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于 A,B 两点，我们称线段 AB 为抛物线的通径，如图 。对于抛物线 =2px(p>0)，由 A(,p),B(,-p)，可=2p，故抛物线的通径长为 2p。 (2)通径在反映抛物线开口大小上的作用 线段 AB 叫作抛物线的通径，长度为 2p，这是常数 p 的又一几何意义。因此 p 越大，通径越大，即抛物线的开口越大；反之，p 越小，通径越小，即抛物线的开口越小。 目标五 ：根据抛物线的几何性质求抛物线方程 利用性质求方程 例1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上一点 到焦点的距离为 5，求 的值、抛物线方程和准线方程。 典例分析 牛刀小试 (1)由几何性质先确定抛物线的开口方向和焦点位置，设出抛物线方程； (2)进一步求出参数 p，得到抛物线的标准方程。 【答】根据题意，可设抛物线方程为 ，则焦点为 。因为点 在抛物线上，且 ， 所以 解得 所以 的值为 ，抛物线方程为 ，准线方程为 。 利用性质求方程 例2 已知双曲线 =1 (a>0,b>0) 的两条渐近线与抛物线 =2px (p>0) 的准线分别交于 A,B 两点，O 为坐标原点。若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 ，求抛物线的标准方程。 典例分析 牛刀小试 由双曲线的离心率求得其渐近线方程，从而求得交点 A,B 的坐标，然后根据三角形面积公式得到关于 p 的方程，从而得到 p 的值，进而写出抛物线的标准方程。 由已知得 ，所以 ，解得 ，即双曲线的渐近线方程为 。 由题意，得抛物线的准线方程为 ， 可设 ， 从而 的面积为 ， 解得 或 （舍去）。 所以抛物线的标准方程为 。 目标六 ：根据抛物线的几何性质的研究最值 特别提醒 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件。其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标。在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解。要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化。 利用性质研究最值 例3 已知抛物线 和点 ，若点 在此抛物线上运动，求点 与点 的距离的最小值，并指出此时点 的坐标。 典例分析 牛刀小试 求解抛物线上一点到定点的最小距离问题时，一般先求距离平方的最小值，再开方求距离的最小值。 【答】设点 是抛物线 上任意一点，则 ，。因为 ，所以 在 时取得最小值，且最小值为 15。故 ，即点 与点 的距离的最小值为 。当 时，，即此时点 的坐标为 或 。 利用性质研究最值 例4 已知定长为 3 的线段 的端点 在抛物线 上移动，求 的中点 到 轴的距离的最小值，并求出此时点 的坐标。 典例分析 牛刀小试 答 如图 ，点 是抛物线 的焦点，过 分别作准线的垂线 ，垂足分别为点 ，连接 ，则 。 由抛物线的定义可知 ，所以 。设点 的坐标为 ，则 。又 ，所以 ，当且仅当弦 过抛物线的焦点时等号成立，此时点 到 轴的距离的最小值为 。设 ， 利用性质研究最值 例4 已知定长为 3 的线段 的端点 在抛物线 上移动，求 的中点 到 轴的距离的最小值，并求出此时点 的坐标。 典例分析 牛刀小试 则 ，当 时，，所以 ，所以 ， 即 。所以点 的坐标为 或 。 利用性质研究最值 例5 已知点 在抛物线 上，且 ，求 的最小值. 典例分析 牛刀小试 解：设点 的坐标为 ，则 ，而且 ，又因为 ， 所以 时， 取最小值 . 因此所求最小值为 . 目标七：针对训练 举一反三 1. 已知直线 平行于 轴，且 与 轴的交点为 ，点 在直线 上，动点 的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ，求 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状. 解：由条件可知，直线 的方程为 ，因此点 的横坐标为 4. 设 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 因此 ，. 因为 的充要条件是 ，所以 ，即动点 的轨迹方程为 . 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线. 举一反三 2.若点 在抛物线 上，则下列点中一定在该抛物线上的是( ) A. B. C. D. 答案： B 解析：由抛物线方程可知其关于 轴对称，故点 一定在该抛物线上. 举一反三 答案： A 解析：由题意得，线段 与 互相垂直平分，则四边形 为菱形. 设点 ，，则线段 的垂直平分线 的方程为 ，令 与 轴交于点 ，如图，因为 ，所以 ，所以 ，所以点 的坐标为 ，将其代入抛物线 ，得 ，所以 ，在直角三角形 中，，所以四边形 的周长为 . 3.在平面直角坐标系 中，抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，线段 的垂直平分线 交 于 两点，若 ，则四边形 的周长为( ) A. B. C. D. 举一反三 4.设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 答案： B 解析：由抛物线的对称性不妨设 在 轴上方、 在 轴下方. 由 得 ，，，，， 的焦点坐标为 . 举一反三 5。若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 A.2 B.3 C.4 D.8 答案： D 解析：因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 . 举一反三 6.过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，若 在准线上的射影分别为 ，则 等于( ) A. B. C. D. 答案： A 解析：如图，由抛物线的定义，知 ，，所以 。又 ，所以 。同理 ，于是 ，故 . 目标八：小结 学海拾贝 本节课我们完成了抛物线几何性质的系统探究，核心内容可总结为“一套方法、一组性质、一类应用”。 第一，掌握通用探究方法。延续圆锥曲线“以数研形”的核心思路，从抛物线标准方程出发，通过代数分析推导几何特征，实现代数与几何的相互转化，这是解析几何的核心思想。 第二，熟记核心几何性质。梳理了四种开口方向抛物线的取值范围、对称轴、顶点、焦点、准线的对应关系，明确抛物线的独有特征：离心率 e=1、仅有一个顶点、一条对称轴、无中心；掌握了通径的定义，通径长为2p，是过焦点的最短弦，是解题的重要常用结论。 学海拾贝 第三，明晰知识应用场景。学会利用几何性质快速判断抛物线图形位置、求解标准方程、解决取值范围与最值问题，初步掌握焦点弦相关基础题型的解题思路。 最后进行知识梳理对比：椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，其中椭圆离心率0<e<1，双曲线e>1，抛物线e=1，这也是区分三类曲线的核心依据。下节课我们将进一步探究圆锥曲线与直线的位置关系，解决更复杂的综合题型。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $