19 2.7 2.7.2 抛物线的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

2.7.2　抛物线的几何性质 　 第二章　2.7　抛物线及其方程 知识层面 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．　 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　 3.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 素养层面 通过对抛物线几何性质的学习与应用，培养直观想象、数学运算 素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等． 问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点．如何研究这些性质？ 提示：(1)范围：抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 问题导思 (2)对称性：观察曲线，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)． 知识点一　抛物线的简单几何性质 新知构建 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 范围 ___________ ___________ ___________ ___________ 对称轴 ___轴 ___轴 顶点 __________ 焦点 ____________ __________ __________ __________ 准线 _________ _________ ________ _________ 离心率 e＝___ x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x y O(0，0) 1 抛物线的性质特点 1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． 2．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐 近线． 3．抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1. 4．抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为 .　　 微提醒 知识点二　通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，其长为____． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径 |AF| ______________ _____________ ______________ _____________ 2p √ 自主检测 2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 √ √ 4．过抛物线x2＝4y的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到x轴的距离为 A．2 B．3 C．4 D．8 返回 √ 合作探究 返回 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 　　 (链教材P164例1)求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程． 例1 思路点拨　解决本题的关键是求焦点坐标，因为焦点在直线x－2y－4＝0上，因此要求直线与坐标轴的交点，注意交点应该有两个，因此标准方程也有两个． 因为抛物线的焦点在坐标轴上， 所以直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令x＝0，得y＝－2； 令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点坐标为(4，0)或(0，－2)． 此时抛物线的标准方程为y2＝16x； 此时抛物线的标准方程为x2＝－8y. 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. 方法技巧 求抛物线的标准方程的步骤 1．先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置； 2．后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．　 　 对点练1．边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且经过点A，B的抛物线方程是 √ 题型二　抛物线几何性质的应用 　　 以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|.若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 例2 思路点拨　由抛物线的对称性可设点A的坐标为(3，m)(m>0)，代入抛物线方程求m，又由对称性，知|OA|＝|OB|＝ ，进而求得周长． 解：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，设垂足为点M. 又焦点F是△OAB的重心， 所以M(3，0)． 故设A(3，m)(m>0)，代入y2＝8x得，m2＝24， 方法技巧 1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决通径和焦半径有关的问题．　　 √ 6 题型三　焦点弦问题 　　 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在直线的方程． 例3 思路点拨　要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 所以弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)． 变式探究 1．(变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解：设AB中点为M(x0，y0)， 2．(变条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1. 方法技巧 解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．　　 对点练3．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： 证明：当AB斜率存在时， 当AB的斜率存在时， 易错点　忽略焦点所在位置 　　　顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________． 易错精析 典例 y2＝±6x 由于通径长为6，即2|a|＝6，所以a＝±3. 所以适合题意的抛物线方程为y2＝±6x. 易错探因　忽略a的取值，默认a大于0，忽略a小于0的情况． 误区警示　只说焦点在x轴上时，要注意a的正负两种情况． 返回 课时测评 返回 1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ x0，则 x0＝ A．1 B．2 C．4 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝ A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，若抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于 A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的值可以为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝_______． 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1. 0或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________． 如图，分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝2|1－(－3)|＝2×4＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个等边三角形的边长． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以其标准方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是 A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设抛物线上任一点P(x，y)， 因为x≥0，且在此区间上函数单调递增， 故距点A最近的点P的坐标为(0，0)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则M到直线x－y＋3＝0的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过点F的直线l与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则|AM|＋4|BN|的最小值为 A．5 B．12 C．16 D．20 圆C2：x2＋y2－6x＝0，圆心(3，0)，半径为3，抛物线C1：y2＝12x的焦点F(3，0)，由题意得直线l斜率不为0.设直线l：x＝my＋3，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. 因为|MN|＝8，所以x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8， 解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝1.所以直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 y＝－ x＝－ x＝ y＝ F F F F |AF|＝x0＋ |AF|＝－x0 |AF|＝y0＋ |AF|＝－y0 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若 · ＝－4，则点A的坐标是 A．(2，±2 ) B．(1，±2) C．(1，2) D．(2，2 ) (2)设点F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点．若＋＋＝0，则||＋||＋||＝______． ＋＝＋＝＋＝. ＋＝ ＝＝＝. 综上，＋＝. 8．(一题两空)设抛物线y2＝2px上的三个点A，B(1，y2)，C到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p 的值为________；d1，d2，d3中的最小值为________． 解：如图所示，设等边△OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2. 10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． 12．(5分)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________． －1 如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连接MF′，则MF⊥OF.当x＝时代入抛物线方程得y＝±p.所以M.所以|MF′|＝＝p，|MF|＝p，|F′F|＝p，故2a＝p＋p，2c＝p， 13．(10分)已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； 解：由题意可知F(，0)，则该直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0. (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最 小值． 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2. 所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为－14. $