2.7.2 抛物线的几何性质课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，系统讲解范围、对称性、顶点、离心率等核心知识，通过类比椭圆、双曲线的研究方法导入，引导学生自主提出研究方向，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于用归纳表格对比不同开口抛物线的标准方程、焦点、准线等性质，结合焦点弦计算、轨迹方程推导等例题，培养数学思维与数学语言表达能力。学生能深化知识理解，教师可提升教学效率。

2.7.2 抛物线的几何性质 第二章 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 应研究范围、对称性、顶点，离心率等性质，可通过图形进行研究. 以抛物线：y2＝2px(p＞0)为例 (1)范围： (2)对称性： 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 (3)顶点(抛物线与轴的交点)： (4)离心率： (5)p对抛物线的影响： 抛物线上的点P与焦点F的距离和点P到准线的距离d的比叫做抛物线的离心率. x≥0，y∈R O(0，0) e＝1 关于x轴对称 p越大，开口越大 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率 y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝　 x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－　 x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 x轴 y轴 y轴 (0，0) e=1 归纳总结 提醒 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 火眼金睛：已知抛物线y2=8x，求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围. 顶点坐标(0，0) 焦点坐标(2，0) 准线x=-2 对称轴为直线x轴 自变量x的范围为[0，+∞) 例1 已知双曲线方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. 解：∵双曲线的右顶点坐标为(2，0)， ∴＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程分别为x＝-2. 归纳总结 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p； 过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p； 离心率恒等于1. 例2 已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0，2)，点P是抛物线C上任意一点，求点P到点A(0，5)距离的最小值. 解：将抛物线C方程化为标准方程为x2=y， ∵抛物线C的焦点为(0，2)，∴=2，则a2=. ∴x2＝8y，设P(x，y)，则|PA|＝， ∴当y＝1时，|PA|min＝2. 归纳总结 求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围. 例3 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 解：由题意可知， 焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1. 于是 如图，设 A，B两点到准线的距离分别为 由抛物线的定义，可知 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为 y=x-1 ① 将 ①代入方程 得 化简，得 x2-6x+1=0， 所以 所以，线段AB的长是8. 例3 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦. F A B x y O 焦点弦公式 归纳总结 例4 已知点A(1，0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足＝0.若点P满足，求点P的轨迹方程. 解:设点M坐标为(a，0)，点N坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)， 则=(-1，b)，=(-a，b)，=(x-a，y)，=(x，y-b)， ∵=a+b2=0，∴a=-b2， 又，即(x-a，y)=2(x，y-b)，∴x=-a，y=2b， ∴y2=4x. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率 y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝　 x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－　 x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 x轴 y轴 y轴 (0，0) e=1 1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　 ) B 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　 　) A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝2 D.x＝－2 3.若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是(　 　) A.p＜1 B.p＞1 C.p＜2 D.p＞2 B D A. B. C. D. $