2.4 一元二次方程的应用 同步练习 2026～2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“一元二次方程的应用”同步练习，通过选择（30分）、填空（20分）、解答（50分）三级分层，覆盖增长率、面积、利润等应用类型，梯度从概念建模到综合问题解决，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一应用场景（如增长率、数字问题）|直接建立方程模型，如选择1-5题矩形场地、连续偶数等基础情境| |中档|综合应用（利润、运动问题）|结合实际优化，如解答2利润最值问题，需分析数量关系与二次函数性质| |提高|复杂情境（多步变化问题）|需多步推理建模，如解答4药液倒出问题，涉及浓度变化与方程求解|

北师大版 九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 同步练习 考试时间：90分钟　满分：100分　 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 某校为改善校园环境，计划在一块长80米、宽60米的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周留出宽度相等的步行道。设步行道的宽度为x米，则下列方程正确的是（　　） A．　　B． C．　　 D． 2. 某商品原价为200元，连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 3. 两个连续偶数的积为168，设较小的偶数为x，则得到的方程是（　　） A．　　B． C．　　D． 4. 某小组的同学在毕业时，每人向小组内其他同学赠送一张毕业纪念卡，全组共赠送了90张纪念卡，设该小组共有x名同学，则下列方程正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 5. 已知直角三角形的两条直角边的和为14cm，面积为24，则斜边长为（　　） A．2cm　　B．10 cm　　C．3cm　　D．12 cm 6. 某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，设这个百分数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请x个队参赛，则下列方程正确的是（　　） A．　　B． C．　　 D． 8. 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙6m，若梯子顶端向下滑动x m后，梯子底端向外滑动x m，则x的值为（　　） A．1 m　　B．2 m　　C．3 m　　D．4 m 9. 将一块长80cm、宽60cm的矩形铁皮的四个角各截去一个相同大小的正方形，做成一个底面积为1500的无盖长方体盒子，设截去的正方形边长为x cm，则根据题意可列出方程为（　　） A．　　 B． C．　　D． 10. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（　　） A．25　　B．36　　C．25或36　　D．-25或-36 二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39，则这个正方形原来的边长为__________cm。 2. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件，设每件售价提高x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为__________（化为一般式）。 3. 用长为100cm的铁丝围成一个矩形框，面积为600，则矩形的长和宽分别为__________和__________。 4. 对于一元二次方程，设其两个根为等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为__________。 5. 某厂今年1月份的产值为100万元，已知第一季度的总产值为331万元，如果每个月比上个月产值增长的百分数相同，则这个百分数为__________。 三、解答题（共5题，共50分） 1. （8分）为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的人均住房面积从现在的10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同。 （1）求每年人均住房面积的增长率；（4分） （2）若人口的年增长率为1%，求两年后城镇居民住房总面积的增长率。（4分） 2. （10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（6分） （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？（4分） 3. （10分）如图，在长为100m，宽为80m的矩形地面上修建两条宽均为x m的道路，余下部分做耕地，耕地面积为7644，求道路的宽度。 x m 100m 80m 4. （10分）一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液是28L，求每次倒出药液多少升。 5. （12分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件。 （1）设每件童装降价x元时，每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用x的代数式表示，4分） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元？（4分） （3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由。（4分） 1页 学科网（北京）股份有限公司 2.4 一元二次方程的应用 同步练习 参考答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1. A　　2. A　　3. C　　4. A　　5. B 6. B　　7. B　　8. B　　9. C　　10. C 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 5 2. 3. 30cm；20cm 4. 7 5. 10% 三、解答题（共50分） 1. （8分） 解：（1）设每年人均住房面积的增长率为x，（1分） 根据题意得： 解得：（舍去），（3分） 答：每年人均住房面积的增长率为10%。（4分） （2）设原来人口总量为a，则原来住房总面积为10a平方米，两年后人口总量为，两年后人均住房面积为12.1平方米，因此两年后住房总面积为平方米，（3分） 住房总面积的增长率为：（4分） 答：两年后城镇居民住房总面积的增长率约为23.43%。 2. （10分） （1）解：设每件衬衫应降价x元，根据题意得：（1分） 整理得：（2分） 解得：（2分） ∵要尽快减少库存，∴x=20（1分） 答：每件衬衫应降价20元。 （2）解：设平均每天盈利为W元，则 （2分） ∵，∴当x=15时，W取得最大值1250（1分） 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。 3. （10分） 解：设道路的宽度为xm，根据题意，将道路平移后耕地为矩形，长为m，宽为m，可得：（3分） 整理得：（2分） 因式分解得：（2分） 解得：（2分） ∵x=178＞80，不符合题意，舍去，∴x=2 答：道路的宽度为2m。（1分） 4. （10分） 解：设每次倒出药液xL，第一次倒出后剩下纯药液L，用水加满后药液浓度为，（3分） 第二次倒出纯药液L，根据题意得：（2分） 整理得：，即（2分） 开方得：，解得（2分） ∵x=105＞63，不符合题意，舍去，∴x=21 答：每次倒出药液21升。（1分） 5. （12分） 解：（1）∵每件童装降价1元，平均可多售出2件，∴降价x元时，每天多销售2x件，每天销售量为件；每件盈利为元 答案：(20+2x)；(40-x)（4分） （2）根据题意得：（1分） 整理得：（1分） 解得：（1分） 答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元。（1分） （3）不可能，理由如下：（1分） 假设平均每天盈利2000元，则： 整理得：（1分） 根的判别式（1分） ∴该方程无实数根，因此不存在这样的x，即不可能平均每天盈利2000元。（1分） $