专题01 二次函数的概念与图象性质 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-变换-应用”为逻辑主线，融合定义辨析、图像分析、参数处理等方法，通过分层题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数概念|4变式+1例题|定义限定（a≠0）、参数分类讨论|从一般式到特殊形式的概念生成| |图像与性质|8题型（含参数/最值/比较大小等）|“左同右异”对称轴判断、区间最值三步法|性质（开口/对称轴/最值）到含参综合应用| |变换与综合|平移/对称/旋转变换、函数共存问题|“左加右减上加下减”平移法则、图像对称规律|变换规律与函数性质的融合应用|

专题01 二次函数的概念与图象性质【培优】 （解析） 26.1二次函数的概念 知识点1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 【关键限定】a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 【特殊形式】 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 【题型练习】 题型01 二次函数的概念及求参 【例题】（25-26九年级下·云南昆明·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 【变式4】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 26.2 二次函数图象和性质 知识点1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 知识点3.二次函数的对称变换 ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 【题型练习】 题型01 二次函数的图像与性质 【例题】（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 【变式1】(24-25九上·广东广州越秀区执信中学·期中)抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 题型02 二次函数中含参数的图象和性质 【例题】（2026·陕西西安·三模）关于抛物线（为常数），下列说法正确的是（     ） A．对称轴在轴右侧 B．顶点在第二象限 C．若时，随的增大而增大，则 D．抛物线上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】先将抛物线配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵抛物线：，且， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， A. 当时， ，对称轴在轴左侧，故A错误，本选项不符合题意； B. 顶点纵坐标恒成立，当时，横坐标，顶点在第一象限，故B错误，本选项不符合题意； C. 抛物线开口向上，时随增大而增大， 若时随增大而增大，则，解得， 故C错误，本选项不符合题意； D. 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大， ， ，两边平方得： ， 展开化简得，即，故D正确，符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B． C．图象的顶点在第四象限 D．图象与轴的两个交点在轴两侧 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称轴公式、判别式、顶点坐标、交点符号的判断方法，结合的条件，依次判断每个选项即可得到结论． 【详解】对于二次函数，可得，，， ∵ 函数图象与轴有两个交点 ∴ 判别式， ∵ ， ∴ ，即， 选项A：二次函数对称轴为，对称轴在轴右侧，A错误； 选项B：由推导得，B错误； 选项C：顶点横坐标为，将代入函数得顶点纵坐标， ∵ ， ∴ ，顶点横坐标为正，纵坐标为负，因此顶点在第四象限，C正确； 选项D：设函数与轴交点横坐标为，则，说明同号，两个交点在轴同侧，D错误． 【变式3】（2022·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数性质及不等式分析，注意二次函数定义中的条件；①当时，根据不等式的性质以及二次函数的定义即可得出结论；②当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的最值问题讨论证明即可得；③当，，，时，分别求出相应的y的范围，然后当时，可得即可判断③． 【详解】解：①当时， ， ∴， ∵， ∴， ，即， 又∵二次函数隐含， ∴且，故①错误； ②当时， 二次函数的对称轴为：， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即 ， ， 函数在处取得最大值，即 ， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； 当时，即时， ， 函数在处取得最小值，即， ， ∴， 当时，即时，， 时，；时，，不符合题意，舍去； 当时，即时，， 时，；时，， 不符合题意，舍去； ∴， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即， ， 函数在处取得最大值，即， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； ∴综上可得：； ∴当时，c的最大值为0； 故②正确； 对于结论③： ∵ 当时，，且； 当时，，且； 当时，，且； 当时，， ∴ ，，， ∴ ， ∴ 当时，可以取到的最大值为； 故③正确． ∴正确结论为②③． 题型03 二次函数区间最值问题 【例题】（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，根据开口向上，确定给定区间内最大值的位置，代入列方程求解的值； （2）根据条件判断抛物线开口向下，找到关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质列出不等式，求解的取值范围． 【详解】解：（1）对于二次函数，其图像的对称轴为直线， ∵图像开口向上， ∴， 又∵在中，距离对称轴更远， ∴函数在处取得最大值，将代入函数得， 由题意，解得； （2）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵当，时，均满足， ∴抛物线开口向下，且与关于直线对称， 要满足条件，则有， 即，解得． 【变式2】(24-25九上·广东中山第一中学·期中)如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 题型04 利用二次函数的增减性比较大小 【例题】(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质．将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：，且抛物线开口向下， 离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数值大小的比较． 通过将点代入二次函数解析式，得到，然后计算与的差值，得到，代入均大于0，故． 【详解】解：由点在二次函数图象上， 代入得， 化简得，即， ∵ ∴ 当时，； 当时，， 故，即 故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 题型05 二次函数图象的平移/对称/旋转变换 【例题1】若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】解：原函数为，向左平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得， 故答案为：． 【变式1】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【例题2】将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是___________；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴函数的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为； ∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴函数的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为． 故答案为：，． 【变式2】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【思路引导】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【规范解答】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 【例题3】(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．先把原二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数得到对称后二次函数图象的顶点坐标，结合开口方向即可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向上， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴关于原点对称后二次函数图象的顶点坐标为，开口向下， ∴关于原点对称后二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 【变式3】二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（    ） A．1或 B．1或 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解的坐标，再求解旋转后的解析式及的坐标，再利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数且）的图象与轴交于点． ∴当时，， ∴， ∵二次函数的图象以原点为旋转中心旋转， ∴旋转后的解析式为：即， 当时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或； 故选A 题型06二次函数与一次函数的图象共存问题 【例题】（2026•深圳校级二模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴a＞0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C错误； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 【变式1】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 【变式2】已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象．根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答． 【详解】解：∵两函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1， ∴，， ∴二次函数的解析式为和一次函数的解析式为， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，排除选项B、C和D， 一次函数的图象经过一、二、三象限，选项A符合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，排除选项A、B和C， 一次函数的图象经过一、二、四象限，选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意； 故选：A． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 题型07 二次函数图像与系数的关系 【例题】(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合函数图象，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故结论①正确，符合题意； 抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交， ，， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， ， ， 故结论③错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点，， ， ①②得：， ， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①④，为2个， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 【变式2】(24-25九上·广东珠海容闳中学·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 【变式3】(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 题型08 二次函数的图象和性质综合 【例题】(24-25九上·广东东莞南城中学·期中)【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）0；（4）1或6． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）根据画二次函数图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； （3）根据二次函数的图象和性质进行解答即可； （4）根据h的取值分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， （2）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； （3）抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； 故答案为：0 （4）当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），， 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 【变式1】(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区第三中学·期中)如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数． (1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 0 1 2 3 ____ ____ (3)已知当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3，请直接写出的值． 【答案】(1)，直线 (2)，见解析 (3)0或3 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线解答即可． （2）把，分别代入解析式求出其对应的函数值即可，利用列表、描点，连线画函数图象． （3）分当时，当即时；当时即，三种情况求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． （2）解：，画图象如下： ． （3）解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当即时； 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，，不满足，此时无解； 当时即；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，符合题意． 【变式3】(24-25九上·广东广州南沙区·期末)在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是考查了二次函数的图象与性质，区间最值，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质以及区间最值的求法是解题关键． （1）把点代入函数中，即可求解的值； （2）由（1）可得函数解析式为，根据增减性可知当时， ，此时函数图象的最高点为，从而可求距离； （3）先求出对称轴为直线，开口向下，当时，分为①若和②若两类情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入函数中， 得， 解得； （2）解：在（1）的条件下，，故函数解析式为， 对称轴为直线，开口向下， 在时， 根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为， 则到直线的距离为； （3）解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当时， ①若，即时， 则当时，函数有最大值，即产生最高点， 又∵最高点到直线的距离为， ∴， 解得：或(皆不合题意，都舍去)； ②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为， 又∵最高点到直线的距离为，故， 解得：或2(舍去)， 或 (舍去)， 综上的值为或． 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念与图象性质【培优】 26.1二次函数的概念 知识点1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 【关键限定】a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 【特殊形式】 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 【题型练习】 题型01 二次函数的概念及求参 【例题】（25-26九年级下·云南昆明·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【变式4】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 26.2 二次函数图象和性质 知识点1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 知识点3.二次函数的对称变换 ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 【题型练习】 题型01 二次函数的图像与性质 【例题】（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【变式1】(24-25九上·广东广州越秀区执信中学·期中)抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【变式3】（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 题型02 二次函数中含参数的图象和性质 【例题】（2026·陕西西安·三模）关于抛物线（为常数），下列说法正确的是（     ） A．对称轴在轴右侧 B．顶点在第二象限 C．若时，随的增大而增大，则 D．抛物线上有两点，，若，则 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B． C．图象的顶点在第四象限 D．图象与轴的两个交点在轴两侧 【变式3】（2022·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型03 二次函数区间最值问题 【例题】（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【变式1】（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 【变式2】(24-25九上·广东中山第一中学·期中)如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式3】当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 题型04 利用二次函数的增减性比较大小 【例题】(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 题型05 二次函数图象的平移/对称/旋转变换 【例题1】若将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图像的函数表达式为________________． 【变式1】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【例题2】将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是___________；将函数的图像沿轴翻折后得到的函数解析式是__________． 【变式1】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【例题3】(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 【变式3】二次函数（为常数且）的图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，旋转后的图像与轴交于点，若，则的值为（    ） A．1或 B．1或 C．3 D． 题型06二次函数与一次函数的图象共存问题 【例题】（2026•深圳校级二模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 题型07 二次函数图像与系数的关系 【例题】(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【变式2】(24-25九上·广东珠海容闳中学·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【变式3】(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 题型08 二次函数的图象和性质综合 【例题】(24-25九上·广东东莞南城中学·期中)【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数． (1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 0 1 2 3 ____ ____ (3)已知当时，该二次函数的最大值与最小值的差为3，请直接写出的值． 【变式3】(24-25九上·广东广州南沙区·期末)在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $