26.3 二次函数与一元二次方程（第 2课时)（教学课件）——2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系及近似根求解，通过回顾根的判别式和求根公式，以“难以直接求解的方程如何获取近似根”设问，将方程求解转化为函数图象研究，搭建代数与几何的学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，用抛物线与x轴交点、抛物线与直线交点两种方法求近似根，结合二分法逐步缩小范围，培养几何直观和推理能力。归纳步骤与拓展不等式关系形成知识体系，助力学生发展数学思维，教师可高效开展探究式教学。

二次函数与一元二次方程（第 2 课时） 1 　　二次函数与一元二次方程之间的关系． 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 方程角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 中，当 y＝0 时，x 的值 数 函数角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点的横坐标 形 问题 你能说出一元二次方程 x²－2x－2＝0 的根的情况吗？ ∵ Δ＝(－2)²－4×1×(－2)＝4＋8＝12＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根. 你能直接写出这两个根的近似值吗（保留一位小数） 利用求根公式，得到 x＝1± ， ∵ ≈1.732， ∴ 方程 x²－2x－2＝0 的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7． 如果遇到难以直接求解的一元二次方程，怎样获取它的近似根呢？ 我们已经知道，二次函数的图象能够反映对应的一元二次方程根的情况，抛物线与 x 轴公共点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根．据此，可以把求解一元二次方程的问题，转化为研究对应二次函数图象的问题． 本节课，我们就来探究如何借助二次函数的图象，求一元二次方程的近似根． 利用函数图象求方程 x²－2x－2＝0 的根的近似值（结果保留小数点后一位）． 分析： 求方程 x²－2x－2＝0 的根 y＝x²－2x－2 求抛物线 y＝x²－2x－2 与 x 轴公共点的横坐标 转化 （－0.7，0） （2.7，0） 　　解：方法一 画出函数 y＝x²－2x－2 的图象． 画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的． 方程 x²－2x－2＝0 的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7． 问题 　　解：方法二 　　先把方程变形为 x² ＝2x＋2． 　　在同一平面直角坐标系中画出抛物线 y＝x² 和直线 y＝2x＋2． 　　找出两图象公共点的横坐标． O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 6 8 9 10 y 3 －1 7 2 1 －2 y＝x² y＝2x＋2 分析： 求方程 x²－2x－2＝0 的根． 求抛物线 y＝x² 与直线 y＝2x＋2公共点的横坐标． 转化 （－0.7，0.5） （2.7，7.5） 方程的实数根为 x1≈－0.7，x2≈2.7． 归纳 解一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 （a≠0）的方法． 思路： （1）先把方程变形为 x²＝－ x－ ； （3）如果两个图象有公共点，那么公共点的横坐标就是方程的根． （2）在同一平面直角坐标系中画出抛物线 y＝x² 和直线 y＝－ x－ ； 可使二次函数是固定的、容易画的. 二分法 （1）若函数图象在某一区间内连续不间断，且区间两端点对应的函数值异号，则该区间内一定存在方程的根； （2）不断取区间中点（平均数），将含根区间二等分，并根据中点处函数值的正负舍去不含根的半个区间，保留两端函数值异号的区间，从而不断缩小根的取值范围； （3）当区间长度达到规定的精确度要求后，可取该区间的中点或区间端点，作为方程根的近似值． 如果对近似根的精确度要求较高，我们还可以通过什么方法缩小根的取值范围，得到符合要求的近似根？ 思考 借助二分法探究 x²－2x－2＝0 的根的近似值（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1）． 　　因为抛物线 y＝x²－2x－2 是连续不断的曲线，所以该抛物线在 2＜x＜3 这一段经过 x 轴． 　　当自变量取 2，3 之间的某个值时，函数值为 0，即方程 x²－2x－2＝0 在 2，3 之间有根． 点（2，－2）在 x 轴下方，即当自变量为 2 时的函数值小于 0，点（3，1）在 x 轴上方，即当自变量为 3 时的函数值大于 0． 　　解：先研究正实数根． 　　取 2，3 的平均数 2.5，当自变量 x＝2.5 时，y＝－0.75＜0，当自变量 x＝3 时，y＞0． 函数 y＝x²－2x－2 的函数值在 2.5＜x＜3 这个区间端点处异号． 所以方程 x²－2x－2＝0 在 2.5，3 之间有根． 通过取平均数的方法不断缩小根所在区间，选择区间的依据是函数值在区间端点处异号． y＝x²－2x－2 根x1 2.5 ≤ x1 ≤ 3 0.062 5 2.75 －0.359 38 2.625 －0.152 34 2.687 5 … … 　　取 2.5，3 的平均数 2.75 重复取平均数这个步骤 下一步是在 2.687 5~2.75 之间选取，此时这个区间范围已小于 0.1，可以不用继续了. 　　取 2.5，2.75 的平均数 2.625 　　取 2.625，2.75 的平均数 2.687 5 舍弃不含根的一半，保留两端点异号的区间，进一步逼近 x 的准确值. 由于|2.687 5－2.75|＝0.062 5＜0.1， 因此可以将 2.687 5 作为根的近似值． 　　当自变量 x＝－1 时，y＞0，当自变量 x＝0 时，y＜0，即方程 x²－2x－2＝0 在 －1，0 之间有根． 思考 你能用这种方法得出方程 x²－2x－2＝0 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？ 　　取－1，0 的平均数－0.5，当自变量 x＝－0.5 时，y＜0，即方程 x²－2x－2＝0 在 －1，－0.5 之间有根． 解：方法一 y＝x²－2x－2 根x2 －1 ≤ x2≤－0.5 0.062 5 －0.75 －0.359 38 －0.625 －0.152 34 －0.687 5 … … 下一步是在 －0.75 ~ －0.687 5之间选取，此时这个区间范围已小于 0.1，可以不用继续了. 由于|－0.75－(－0.687 5)|＝0.062 5＜0.1， 因此可以将 －0.687 5 作为另一个根的近似值． 思考 你能用这种方法得出方程 x²－2x－2＝0 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？ 　　解：方法二 分析： 已知方程 x²－2x－2＝0 的一个近似根是 2.687 5． 求方程 x²－2x－2＝0 的另一个近似根． 对称性 对称轴 x＝1 因为对称轴为 x＝1，2×1－2.687 5＝－0.687 5， 所以方程 x²－2x－2＝0 的另一个近似根为－0.687 5． 2.687 5 ? 　　利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤： 归纳 　　（1）画出二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象； 　　（2）观察抛物线与 x 轴的交点，确定交点横坐标落在哪两个相邻数值构成的区间内； 　　（3）根据题目实际情况对含根区间不断二等分（可采用列表形式），计算各等分点对应的函数值，根据函数值正负的变化，不断缩小含根区间； 　　（4）根据精确度要求写出方程根的近似值． （3）不等式 x²－2x－3＜0 的解集是 ________________. （2）不等式 x²－2x－3＞0 的解集是 ________________； 例 下图是二次函数 y＝x²－2x－3 的图象，根据图象解答以下问题： O x 1 2 3 －1 －2 －3 4 －4 4 5 y 3 －1 2 1 －2 －3 －4 －5 6 （1）方程 x²－2x－3＝0 的根是_______________； x1＝－1，x2＝3 x＜－1 或 x＞3 －1＜x＜3 y＞0 时对应图象 x 轴上方部分. y＜0 时对应图象 x 轴下方部分. Δ＝b²－4ac 的取值 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 a＞0 函数 y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 与 x 轴的交点情况 不等式 ax²＋bx＋c＞0 (a≠0)的解集 不等式 ax²＋bx＋c＜0 (a≠0)的解集 拓展 有两个交点 x＜x1 或 x＞x2 x1＜x＜x2 有一个交点 x≠x1 或 x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 二次函数与一元二次不等式的关系 拓展 有两个交点 x＜x1 或 x＞x2 x1＜x＜x2 有一个交点 x≠x1 或 x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 二次函数与一元二次不等式的关系 Δ＝b²－4ac 的取值 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 a＜0 函数 y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 与 x 轴的交点情况 不等式 ax²＋bx＋c＞0 (a≠0)的解集 不等式 ax²＋bx＋c＜0 (a≠0)的解集 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2－3x＋1＝0； （2）－x2－x＋1＝0 ． 　　解：（1）画出函数 y＝x2－3x＋1 的图象． 因为结果保留小数点后一位， 所以方程的实数根为 x1≈0.4，x2≈2.6． y＝x2－3x＋1 根x1 0≤ x1≤1 －0.25 0.5 0.312 5 0.25 0.015 62 0.375 －0.121 09 0.437 5 y＝x2－3x＋1 根x2 2 ≤ x2≤3 －0.25 2.5 0.312 5 2.75 0.015 62 2.625 －0.121 09 2.562 5 由于|0.437 5－0.375|＝0.062 5＜0.1， |2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1， 因此可以将 0.437 5，2.625 作为根的近似值． 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2－3x＋1＝0； （2）－x2－x＋1＝0 ． 　　解：（2）画出函数 y＝－x2－x＋1 的图象． 因为结果保留小数点后一位， 所以方程的实数根为 x1≈－1.6，x2≈0.6． y＝－x2－x＋1 根x1 －2≤ x1≤－1 0.25 −1.5 －0.312 5 −1.75 －0.015 62 −1.625 0.121 09 −1.562 5 y＝－x2－x＋1 根x2 0 ≤ x2≤1 0.25 0.5 －0.312 5 0.75 －0.015 62 0.625 0.121 09 0.562 5 由于|－1.625－(－1.562 5)|＝0.062 5＜0.1， |0.625－0.562 5|＝0.062 5＜0.1， 因此可以将 －1.625，0.625 作为根的近似值． 二次函数与 一元二次方程 利用二次函数图象和二分法求 一元二次方程的近似根 二次函数与不等式的关系 从“数”与“形” 两个角度考虑 $