26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数图象与一元二次方程根的关系，核心内容为利用二次函数图象求方程近似根。课堂通过复习导入回顾二次函数与x轴交点、方程根及判别式的对应关系，用表格梳理三种情况，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察图象—锁定区间—取值验证—逼近近似根”的探究过程为主线，结合例2用二分法迭代求x²-2x-2=0的近似根，通过数据表格展示逼近过程，培养学生几何直观和推理意识。小结归纳四步操作法，帮助学生形成系统方法，既提升学生图象分析与估算能力，也为教师提供结构化教学资源。

（人教版）九年级上 第二十六章 二次函数 26.3.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 22051 2 学习目标 1.理解二次函数与水平直线交点横坐标对应对应一元二次 方程的根； 2.能综合运用函数与方程关系解决基础数形综合问题。 3.经历“观察图象—锁定根的区间—取值验证一逼近近似根”的完整 探究过程，掌握逼近法、数形结合法，提升图象分析、数据估算、 代数几何转化的综合能力。 22051 复习导入 22051 02 新知导入 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 22051 例2 利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示. 尝试多次估算x1、 x2 ： -1 ≤ x1 ≤ -0.5， 2.5 ≤ x2 ≤ 3. 方法提示：在预估的范围内取x值计算y值，根据所得y值的正负逐步调整取值范围，逐步逼近近似值. 知识点1 利用二次函数的图象求与一元二次方程根的近似值 探索新知 22051 y= x²-2x-2 根x1 2.5 ≤ x1 ≤ 3 0.0625 2.75 -0.35938 2.625 -0.15234 2.6875 -0.0459 2.71875 0.00807 2.73438 -0.01899 2.72656 -0.00547 2.73047 0.00131 2.73243 根据y的正负去进一步逼近x的准确值. 下一步是在2.6875~2.75之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. 2.7≈ 22051 03 新知讲解 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 22051 03 新知讲解 当自变量为3时的函数值大于0. 当自变量为2时的函数值小于0. 当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0 . 即方程x²−2x−2=0在2，3之间有根. (2,−2) (3,1) 22051 y= x²-2x-2 根x2 -1 ≤ x2 ≤ -0.5 0.0625 -0.75 -0.35938 -0.625 -0.15234 -0.6875 -0.04590 -0.71875 0.00807 -0.73438 -0.01896 -0.72657 -0.00547 -0.73047 0.00131 -0.73243 下一步是在-0.75 ~ -0.6875之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. -0.7≈ 22051 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 求抛物线y=x2-2x-2与x轴的 公共点的横坐标. 当二次函数y=x2-2x-2的函数值是0时，求自变量x的值. 求方程x2-2x-2=0 的实数根 抛物线 y=x2-2x-2 抛物线与x轴的公共点的横坐标 方程x2-2x-2=0 的实数根 -0.7 2.7 例题解析 22051 03 新知讲解 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 22051 03 新知讲解 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间.....可以看到： 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875−2.75|=0.0625 <0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值. 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 22051 问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是____________； x1=-1，x2=3 不等式ax2+bx+c>0的解集是____________； x<-1或x>3 不等式ax2+bx+c<0的解集是____________. -1<x<3 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 22051 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是____ ______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点， 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 1 (2, 0) 2 0 y O x 当a>0时，ax2+bx+c<0无解； 当a<0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 22051 03 新知讲解 思考 你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ y=x2-2x-2 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 22051 03 新知讲解 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 x<x1或x>x2 x1<x<x2 有一个交点 x≠x1或x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 22051 03 新知讲解 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 22051 03 新知讲解 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 22051 A.2.18 B.2.68 C.－0.51 D.2.45 1.如图，点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的解的一个近似值可能是( ) D 课堂练习 22051 A.1＜x＜2 B.2＜x＜3 C.－3＜x＜－2 D.0＜x＜1 2.[2025·淮北期中]如表列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝6的其中一个解的取值范围是( ) A x … －2 －1 0 1 … y … 15 3 －1 3 … 22051 03 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 x<x1或x>x2 x1<x<x2 有一个交点 x≠x1或x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 22051 03 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 25 利用函数图象求方程ax2+bx+c=0的根的近似值. 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的横坐标. 当二次函数y=ax2+bx+c的函数值是0时，求自变量x的值. 求方程ax2+bx+c=0 的实数根 抛物线 y=ax2+bx+c 抛物线与x轴的公共点的横坐标 方程ax2+bx+c=0 的实数根 问题转化 问题解决 课堂小结 22051 谢谢大家聆听 22051 $