26.4 实际问题与二次函数（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实际问题，课堂导入从生活中抛物线形物体举例切入，衔接二次函数图像旧知，通过问题链引导建立坐标系、推导解析式，搭建从实际情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于通过多坐标系对比探究，培养数学思维（推理意识、运算能力）与模型观念，如拱桥问题中分析不同建系方法的计算结果与简洁性，引导选择最优方案。课堂小结以问题驱动总结步骤与思想，学生提升应用能力，教师可高效落实核心素养。

第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数（第 3 课时） 数学人教版九年级上册 新课导入 　　问题 1　同学们能举出生活中其他形状是抛物线形的物体的例子吗？ 新知探究 　　探究　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？ 新知探究 　　问题 2　拱桥的形状是抛物线，抛物线是什么函数的图象？要解决 这个问题，我们首先需要做什么？ 　　要解决水面宽度问题，需要先知道抛物线对应的二次函数解析式； 　　要求二次函数解析式，首先需要建立平面直角坐标系． 新知探究 　　追问 1　大家尝试一下，看看能不能建立一个合适的平面直角坐标 系，求出对应的二次函数的解析式？ x y O x y O x y O 新知探究 　　追问 2　这三种建立平面直角坐标系的方法，对应的二次函数的解 析式分别要设成什么形式？ x y O x y O x y O ① y＝ax2（a≠0） ② y＝ax2＋bx（a≠0） ③ y＝ax2＋4（a≠0） 新知探究 　　①解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系． 　　设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2（a≠0）． 　　由抛物线经过（5，－4），可得－4＝a×52． 　　解得 a＝－ ． 　　因此，这条抛物线对应的二次函数为 y＝－ x2． 　　当水面上升 1 m 时，y＝－3， 　　－3＝－ x2 ， 　　解得 x＝± ． 　　因此，此时水面的宽度为　　　 －　　　　　＝5 （m）． x y O 4 25 4 25 4 25 5 3 2 5 3 2 5 3 2 － 3 7 新知探究 　　②解：以降雨前水面与拱桥的左交点为原点，水面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系． 　　设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2＋bx（a≠0）． 　　由抛物线经过（10，0）和（5， 4），可得 　　100a＋10b＝0，25a＋5b＝4 ， 　　解得 a＝－ ，b＝ ． 　　因此，这条抛物线对应的二次函数为 y＝－ x2＋ x． 　　当水面上升 1 m 时，y＝1，得 1＝－ x2＋ x，解得 x＝5± ． 　　因此，此时水面的宽度为 － ＝5 （m）． x y O 4 25 8 5 4 25 8 5 4 25 8 5 5 3 2 3 5 3 2 5＋ 5 3 2 5－ 新知探究 　　追问 3　请大家仔细对比两种建立平面直角坐标系的方法的计算结 果，你发现了什么共同点？ 新知探究 　　追问 4　为什么我们建立了三种完全不同的平面直角坐标系，其中 两种得到的二次项系数 a 的值却相等，最终计算出的水面宽度也相等？ 第③种建系方法算出的 a 的值及水面宽度会不会也和前面的相等？ a 为定值，不论如何建立平面 直角坐标系，a 的值均相等 拱桥的抛物线开口大小和方向都确定 降雨后的水面宽度确定 最终的结果确定 新知探究 　　追问 5　既然三种建系方法得到的最终结果完全相同，那我们在解 决此类问题时，应该优先选择哪种建系方法？为什么？ x y O x y O x y O ① y＝ax2（a≠0） ② y＝ax2＋bx（a≠0） ③ y＝ax2＋4（a≠0） 解析式形式简单，待定的系数 只有一个 a，计算过程简单 选择“以抛物线顶点为原点，抛 物线的对称轴为 y 轴”的坐标系 例题精讲 　　例　如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大 小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为 20 m，顶点距水面 8 m，小孔 顶点距水面 5 m．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度 （结果保留小数点后一位）． 　　分析：①观察三孔桥的几何特征； 　　②建立适当的坐标系； 　　③代入计算. 例题精讲 　　例　如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大 小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为 20 m，顶点距水面 8 m，小孔 顶点距水面 5 m．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度 （结果保留小数点后一位）． x y O 对称性 以大孔抛物线顶点为原点，抛物线的 对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 例题精讲 　　解：以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系． 　　设大孔抛物线的解析式为 y＝ax2（a≠0）． 　　因为正常水位时，大孔水面宽度为 20 m，顶点距水面 8 m， 　　所以抛物线经过点（10，－8）． 　　把（10，－8）代入 y＝ax2，得－8＝a×102， 　　解得 a＝－ ． 　　所以大孔抛物线的解析式为 y＝－ x2． 　　当水位上涨刚好淹没小孔时，由于小孔抛物线 的顶点比大孔抛物线的顶点高度低 3 m，水面所在直线的解析式为 y＝－3． 　　把 y＝－3 代入 y＝－ x2 ，解得 x＝± ≈±6.1， 　　所以此时大孔的水面宽度为 6.1－(－6.1)＝12.2（m）． x y O 2 25 2 25 2 25 5 6 2 例题精讲 　　例　如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大 小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为 20 m，顶点距水面 8 m，小孔 顶点距水面 5 m．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度 （结果保留小数点后一位）． 分析图形特征 建立坐标系 转化坐标 求解解析式 解决实际问题 课堂练习 　　对于“探究”中的问题，在突降暴雨致水位上升 1 m 后，有一艘装有物资 的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为 长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 不等关系 课堂练习 　　对于“探究”中的问题，在突降暴雨致水位上升 1 m 后，有一艘装有物资 的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为 长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 　　由探究，抛物线表示的二次函数为 y＝－ x2． 　　设船身关于拱桥的抛物线对称轴对称． 　　由题意，物资顶部对应的纵坐标为－1． 　　当 y＝－1 时，解得 x＝± ． 　　因为 2× =5＞4， 　　所以这艘船能从这座拱桥下通过． x y O 4 25 5 2 5 2 y＝－ x2 2 25 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）运用二次函数解决抛物线型实际问题的一般步骤是什么？ 　　（2）建立平面直角坐标系时，需要注意什么？怎样建立坐标系更 简便？ 　　（3）本节课我们用到了哪些数学思想方法？ 课后任务 　　1 ．教科书 P54 练习第 1 题． 　　2 ．某农户有一个蔬菜大棚，大棚的截面示意图如图所示，横截面塑料顶棚可以近似看作 是对称轴与地面垂直的抛物线，其中 AB 是地面所在的直线，点 A 是抛物线与地面所在直线的 交点，BC 是保温墙，点 C 是保温墙与顶棚的交点，保温墙与地面所在直线垂直．已知塑料顶 棚最高点 O 到点 A 的水平距离是 7 m，到地面 AB 的距离是 3.5 m． 　　（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出塑料顶棚抛物线对应的二次函数解析式； 　　（2）在（1）的条件下，该农户希望在保温墙 BC 处安装支撑立柱进行加固，该立柱适用 高度 h 的范围为（2.5 m≤h≤2.9 m），经测量保温墙 BC 到 点 A 的距离为 9.8 m，问：该立柱能否用来加固保温墙 BC？ 顶棚 地面 B A O C 保温墙 $