26.4实际问题与二次函数（第3课时） 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在抛物线形实际问题中的应用，通过篮球运动路线、喷泉轨迹等生活实例导入，衔接前两节课最值问题，搭建从生活现象到数学建模的学习支架，引导学生建立坐标系转化拱桥问题。 其亮点在于通过四种建系方案对比培养几何直观与抽象能力，问题链设计（水面宽度计算到船通行判断）发展推理意识，归纳解题步骤和模型培养模型观念。学生能提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

26.4实际问题与二次函数 （第3课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 研究二次函数的图象时，你接触过哪些抛物线形状的生活实例？ 问题 篮球的运动路线、喷泉喷出的水流轨迹、拱桥的轮廓等． 生活中很多物体形态与运动轨迹都可以抽象为抛物线，因此可以借助二次函数的知识来解决这类实际问题． 前两节课，我们运用二次函数解决了求最大高度、最大面积、最大利润等最值类实际问题．今天，我们继续探究二次函数在实际生活中的应用，一起研究抛物线形拱桥问题． 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 问题1 二次函数的图象是抛物线 思考：如何将这个拱桥问题转化为二次函数问题进行求解？ 分析：建立平面直角坐标系，将抛物线放在坐标系中研究． 形 数 怎样建立 坐标系？ 问题1 方案一：以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系． （0，0） x y （5，－4） （－5，－4） 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax²． 由抛物线经过点（5，－4），可得 －4＝a×52．解得 对应的二次函数为 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ O 问题1 方案二：以水面与抛物线的左交点为原点，以水面与抛物线两个交点的连线为 x 轴，建立平面直角坐标系． （5，4） x y （10，0） （0，0） 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝a(x－5)2＋4． 由抛物线经过点（0，0），可得 0＝a×(0－5)2＋4．解得 对应的二次函数为 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ O 问题1 方案三：以水面与抛物线的右交点为原点，以水面与抛物线两个交点的连线为 x 轴，建立平面直角坐标系． （－5，4） x y （0，0） （－10，0） 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝a(x＋5)2＋4． 由抛物线经过点（0，0），可得 0＝a×(0＋5)2＋4．解得 对应的二次函数为 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ O 问题1 方案四：以水面与抛物线两个交点的连线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系． （0，4） x y （0，0） （－5，0） 设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2＋4． 由抛物线经过点（5，0），可得 0＝a×52＋4．解得 对应的二次函数为 （5，0） 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ O 对比这四种建系方式，哪一种在后续求解过程中计算最简便？请说明理由． 问题1 方案一： 方案二： 方案三： 方案四： 方案一的解析式形式最简洁，因为顶点在原点，对称轴为 y 轴，不含一次项和常数项，计算也最简便． O O O O 我们选用方案一来解决问题．水面上升 1 m 后，如何求出此时的水面宽度？ 问题1 纵坐标变为－3 解：当 y＝－3 时，代入 得 解得 ． 所以水面宽度为 ≈8.7 m． 分析：水位上涨前，水面对应点的纵坐标为 －4，水面上升 1 m 后，水面对应点的纵坐标变为 －3． 水面宽度为左右两个交点的横坐标之差． 归纳 （1）建立适当的平面直角坐标系，写出抛物线上的关键点的坐标； （2）合理设出二次函数的解析式，代入已知条件或点的坐标，求得函数关系式； （3）借助函数关系式求解问题，结合实际情境检验结果的合理性． 利用二次函数解决抛物线形实际问题的一般步骤 在突降暴雨致水位上升 1 m 后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 问题2 分析：船只通行拱桥时，一般沿着抛物线的对称轴居中行驶，此位置为最优通行位置． 2 m 2 m 当x＝2时 ，y≥－3＋2，船可以通过． 在突降暴雨致水位上升 1 m 后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 问题2 2 m 2 m 固定船宽，比较高度 解法一：拱桥对应的二次函数解析式为 将 x＝2 代入 得 y＝－0.64． 物资顶部距水面 2 m，所以物资顶部纵坐标 y＝－3＋2＝－1． 因为－0.64＞－1，船体侧边位置拱桥高于物资顶部，该船可以通过． 在突降暴雨致水位上升 1 m 后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 问题2 解法二：物资顶部对应的纵坐标 y＝－1， 将 y＝－1 代入 解得 物资顶部这一高度处，拱洞宽度 2×2.5＝5 m． 因为 5＞4，该高度下拱洞宽度大于船宽，船可以通过． 固定物资高度，比较拱洞的宽度 y＝－1 4 m 当y＝－1时，x≥2，船可以通过． 模型一（定宽求高）：根据船宽确定船体侧边对应的横坐标，代入二次函数解析式，求出对应位置的拱洞高度，与船只的最大高度作比较； 模型二（定高求宽）：根据船只最大高度确定对应纵坐标，代入二次函数解析式，求出该高度位置的拱洞宽度，与船宽作比较． 判断船能否通过抛物线形拱桥的两种解题模型 归纳 （1）结合平面直角坐标系与二次函数解析式，把实际情境中的长度、宽度、高度转化为点的坐标； （2）选择解题模型，列式计算； （3）对比数值大小，判断船只能否通行，得出结论． 注意：① 比较高度大小时，注意坐标数值含义，不要颠倒大小关系； ② 没有特殊说明时，默认船只沿对称轴居中通行． 判断船能否通过抛物线形拱桥的通用解题步骤 归纳 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y＝－0.2x2＋3.85 的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离 l． 解： 由图可知，篮筐的高度为 3.05 m． 当 y＝3.05，－0.2x2＋3.85＝3.05． 解得 x1＝2，x2＝－2（不合题意，舍去）． 即篮筐所在位置为（2，3.05）， 则 l＝3.2＋2＝5.2(m)． 答：运动员到篮筐正下方的距离 l 为 5.2 m． 实际问题与二次函数抛物线形实际问题 建系方法 一般步骤 建立合适的平面直角坐标系 写出抛物线上关键点的坐标 合理假设，并求出函数解析式 使得解析式形式最简单，便于计算 求解问题，检验结果的合理性 谢谢 $