26.4 实际问题与二次函数 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在抛物线形问题中的应用，通过“探究2”拱桥实例导入，引导学生经历建立坐标系、确定关键点坐标、用待定系数法求解析式的过程，衔接二次函数性质与实际应用，搭建从知识到实践的学习支架。 其亮点在于以几何直观和模型意识为核心，通过多种坐标系建立对比（如拱顶为原点与水面为x轴）培养推理能力，结合拱桥、投篮、货船过桥等实例，用数学语言描述现实问题。采用探究-典例-练习模式，学生能提升应用意识，教师可依托清晰步骤高效教学。

26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 第3课时　抛物线形问题 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）? 探究新知 分析： (1) 建立适当的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解. x y O 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52. 水面上升1m，即此时y=-3. x y O 答：此时水面的宽度大约是8.7 m . 如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ 解：依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3. x y O 水面上升1m，即此时y=0. 你还有其他的方法吗？ 还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. x y O 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 典例1 (教材P53探究2•改编)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4 m.若水面下降1 m，此时水面宽为多少？ 解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴， 建立平面直角坐标系.设抛物线的解析式为y＝ax2. 由抛物线经过点(2，－2)，得－2＝a×22.解得a＝－ . ∴y＝－ x2. 当水面下降1 m时，y＝－2－1＝－3，即－3＝－ x2. 解得x1＝ ，x2＝－ . ∴水面宽为 －(－ )＝2 (m). 答：若水面下降1 m，此时水面宽为2 m. 典例精析 典例2 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y＝－ x2＋3.85的一部分(如图)，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 解：当y＝3.05时，－ x2＋3.85＝3.05. 解得x1＝2，x2＝－2(负值舍去). ∴运动员到篮筐正下方的距离l＝3.2＋2＝5.2(m). 典例精析 1.2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目.篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线.如图，机器人站立点为O，篮球抛出点为A，当篮球运行的水平距离OB为4 m时，达到最大高度3.6 m.以点O为原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 已知OA＝2 m. (1)该抛物线的函数解析式为 ⁠； y＝－0.1(x－4)2＋3.6　 (2)若篮球在与y轴水平距离5 m处的竖直高度y满足3.2≤y≤3.5，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ (2)解：当x＝5时，y＝－0.1×(5－4)2＋3.6＝3.5. ∴机器人此次投篮有效. 对应练习 2.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为10 m时，桥洞 顶部离水面4 m.已知桥洞的拱形是抛物线. (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数解析式； 解：(1)建立平面直角坐标系如图所示. ∴A(－5，0)，B(5，0)，顶点(0，4). 设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋4. 将B(5，0)代入，得25a＋4＝0.解得a＝－ . ∴该抛物线的函数解析式为y＝－ x2＋4. 对应练习 (2)一艘宽为6 m、高出水面3 m的货船能否从该拱桥下通过？ 请说明理由. (2)∵货船的宽度为6 m， ∴令x＝3，则y＝－ ×32＋4＝ ＜3. ∴这艘货船不能从该拱桥下通过. (2)∵货船的宽度为6 m， ∴令x＝3，则y＝－ ×32＋4＝ ＜3. ∴这艘货船不能从该拱桥下通过. 2.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为10 m时，桥洞 顶部离水面4 m.已知桥洞的拱形是抛物线. 对应练习 判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法： ①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）； ②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）. 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. A.y＝x2 B.y＝－x2 C.y＝－x2 D.y＝x2 1.如图是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10 m，此时水面到桥拱的距离是4 m，则抛物线的函数关系式为( ) C 课堂练习 A.15米　　B.14米　　C.13米　　D.12米 已建坐标系→未建坐标系 如图，一拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16米，跨度AB是40米，则在线段AB上离中心M点5米处的地方，桥的高度是( ) A 2.如图是丁丁设计的一款杯子的平面图，建立平面直角坐标系后杯子的上半部分是二次函数y＝2x2＋8的图象的一部分.若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为　 　.  　11　 3.小明在进行物理实验时竖直向上抛出一个小球，小球上升的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系式为h＝at2＋bt，图象如图所示.若小球在抛出后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( ) A.第3 s B.第3.9 s C.第4.5 s D.第6.5 s B 4.某水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P，OB＝2 m，BP＝10 m，水嘴高OD＝6 m，则图中抛物线的解析式为　 　.(不要求化成一般形式) 　y＝－(x－2)2＋10　 5.[2024·合肥包河区期末]足球训练中球员从球门正前方9 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行至与球门水平距离3 m处时，球达到最高点，此时球离地面3 m.现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求抛物线的解析式； 解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(3，3). 设y＝a(x－3)2＋3. 把点A(9，0)代入，得36a＋3＝0，解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋3. (2)已知球门高OB为2.44 m，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). (2)当x＝0时，y＝－×9＋3＝＜2.44， ∴球能射进球门. 6.[易错题]如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度最大应为　 　米.(结果保留一位小数)  　2.8　 7.图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部ADB的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面AB的支柱(CD，MN是其中的两根支柱)，相邻两根支柱之间的距离均为4 m(支柱的粗细忽略不计)，地面的两端点A，B与最近的支柱之间的距离也是4 m，以A为坐标原点，地面AB为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱CD的高度是12 m. 图1 图2 (1)求大棚截面顶部抛物线的解析式. 解：(1)抛物线的解析式为y＝－(x－16)2＋12. (2)支柱MN的高度为9 m. (2)此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱MN的高度. (3)娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱CD高度的.”娟娟说的对吗？请说明理由. (3)娟娟说的不对. 理由如下：∵CD＝12 m，∴CD＝3 m，当y＝3时，得3＝－(x－16)2＋12，解得x＝16±8. ∵相邻支柱之间的距离均为4 m， ∴所有支柱底端点的横坐标x都是4的整数倍， ∴不存在支柱的高度恰好是CD高度的. 8.[新课标—项目式学习题]【项目主题】怎样才能命中篮筐 【项目背景】学校组织班级间篮球比赛，小明发现自己投篮命中率较低，特请同学小红拍摄自己投篮图片，并测量相应的数据进行研究. 【模型建立】如图建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分. 素材1：已知篮筐高AB＝3米，OB＝6米，在初次投篮时，小红测得篮球出手点的高度OP＝2.2米，篮球距离地面的最大高度CD＝4米，此时OD＝3米. 【解决问题】 (1)小明初次投篮时　 　命中篮筐.(填“能”或“不能”)  素材2：当篮球恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”.已知篮球的高度y(米)满足2.95≤y≤3.10时，篮球可命中篮筐.(小明在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变，不包含篮球触碰篮板反弹入筐的情况) 　不能　 (2)小红对小明的初次投篮数据进行研究后，让小明在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现正好投进一个“空心球”，求t的值.(保留根号) 解：(2)由题易知小明初次投篮篮球运动抛物线为y＝－(x－3)2＋4，∴设向前走了t米后抛物线的解析式为y＝－(x－3－t)2＋4. 把点(6，3)代入，得3＝－(6－3－t)2＋4， 解得t1＝3＋(不合题意，舍去)，t2＝3－. (3)在比赛过程中，小明在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，篮球的出手点高度c的取值范围是多少？ (3)1.95≤c≤2.1. $