26.4实际问题与二次函数（第2课时） 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决利润最值问题，通过回顾上节课运动、面积问题的解决步骤，以商场调价现象设问导入，搭建从已有二次函数最值应用到利润问题的学习支架。 其亮点在于以商品定价、旅行社营业额等真实情境为载体，引导学生抽象数量关系建立函数模型，通过分析自变量取值范围、判断顶点位置培养推理能力，体现数学眼光与思维。归纳五步解题法和核心公式，强化模型意识，助力学生提升应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

26.4实际问题与二次函数 （第2课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 同学们，上节课我们利用二次函数的性质研究了跳水运动的最大高度、矩形的最大面积这两类问题．回顾一下，我们是怎样把这些实际问题转化为数学问题来解决的？ 问题 实际问题 建立二次函数模型 求二次函数的最值 回归实际问题检验 解题关键：结合实际意义确定自变量的取值范围，判断顶点横坐标是否落在该取值范围内． 二次函数的最值在现实生活中有着广泛的应用．商场里经常能看到涨价促销、降价甩卖的营销活动．商家为什么要调整商品价格？价格变化会对利润产生怎样的影响？涨价就一定能获得更高利润吗？降价是否一定会造成亏损？ 这节课，我们就用数学的视角展开探究：如何定价，才能获得最大利润？ 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 问题1 分析：设每件商品涨价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 思考：影响利润的因素有哪些？ 商品进价、商品售价和商品的销售量 保持不变 商品售价和销售量会随着涨价 x 元发生变化． 调整价格包括涨价和降价两种情况，先分析涨价的情况． 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 问题1 涨价金额/元 进价/元 售价/元 销售量/件 当前（0） 40 60 300 x 40 60＋x 300－10x 如何用含x的代数式表示利润？ ① 总利润＝销售额－买进费用＝售价×销售量－进价×销售量； ② 总利润＝单件利润×销售量； 问题1 60＋x 300－10x 40 y＝－10x2＋100x＋6 000 自变量 x 的取值范围是什么？ y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x) y＝(60＋x－40)(300－10x) 300－10x 问题1 涨价金额：x； 售价：60＋x； 销售量：300－10x； 单价为整数． 销售量不能为负数 涨价金额不能为负数 单价为整数 0≤x≤30， 且 x为整数． 在实际问题中建立函数模型，自变量的取值不仅要使得数学式子有意义，还要符合实际情境的全部约束条件，这是检验结果合理性的重要依据． 我们已经得到了利润的函数解析式和自变量的取值范围，接下来就可以利用二次函数的性质求最大利润了．根据上面的函数，你能完成下面的填空吗？ 当 x＝ 时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元． 问题1 y＝－10x2＋100x＋6 000＝－10(x－5)2＋6 250． ∵ 0≤x≤30，且 x 为整数． ∴ 当 x＝5 时，y 有最大值 6 250． 5 5 65 6 250 求解二次函数最值，配方和顶点坐标公式都是常用方法，解题时可结合解析式的系数特点灵活选择更简便的方法． 在降价的情况下，最大利润是多少？ 问题2 每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件． 解：设每件降价 m 元，则每件售价为(60－m)元，销售量为(300＋20m)件，每星期的利润为 n 元， n＝(60－m－40)(300＋20m)＝－20(m－2.5)2＋6 125． ∵ 销售量不能为负数，且 m 不能为负数， 问题2 ∴ 0≤m≤20，且 m 为整数． ∵ a＝－20＜0，抛物线开口向下，对称轴 m＝2.5， 又 m 只能取整数， ∴ 当 m＝2 或 m＝3 时，n 有最大值 6 120． 因此，在降价的情况下，降价 2 元或 3 元， 即定价 58元或 57 元时，利润最大，最大利润是 6 120 元． 由问题（1）（2）的讨论及现在的销售状况，如何定价才能使利润最大？ 问题3 （1）涨价时，定价 65 元，能获得最大利润 6 250 元； （2）降价时，定价 57 元或 58 元，能获得最大利润 6 120 元； （3）不调价时，利润为 (60－40)×300＝6 000 元． 归纳 （1）梳理数量关系：明确售价、进价、销售量、利润等基本量，理解调价对销售量的影响； （2）建立函数解析式：设调价金额为自变量 x，用含 x 的代数式表示售价和销售量，依据利润等量关系列出二次函数解析式； （3）确定自变量范围：结合销售量非负、售价不低于进价等现实约束条件，确定自变量取值范围； 利用二次函数解决利润最值问题的一般步骤 归纳 （4）求解函数最值：判断顶点横坐标是否落在自变量取值范围内，若在则顶点处取得最值；若不在则根据函数增减性确定．可根据系数特点灵活选择配方法或顶点坐标公式； （5）检验结果作答：检验结果的合理性，写出贴合实际情境的答案． 利用二次函数解决利润最值问题的一般步骤 1．旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2 100 元，旅行社对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人需缴费用降低30 元．当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：（方法一）设旅行团人数在 20 人的基础上增加了 x 人，营业额为 y 元．则每人缴费 2 100－30x 元． y＝(2 100－30x)(x＋20)＝－30(x－25)2＋60 750． ∵ 2 100－30x＞0，且 x＞0， 1．旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2 100 元，旅行社对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人需缴费用降低30 元．当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ ∴ 0＜x＜70，且 x 为整数． ∴ 当 x＝25 时，y 有最大值，y最大值＝60 750． 答：旅行团的人数为 45 人时，旅行社可获得最大营业额 60 750 元． 1．旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2 100 元，旅行社对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人需缴费用降低30 元．当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：（方法二）设旅行团的人数为 x 人，营业额为 y 元． 则每人缴费 2 100－30(x－20)元， y＝[2 100－30(x－20)]x＝－30x2＋2 700x＝－30(x－45)2＋60 750． ∵ 2 100－30(x－20)＞0，且 x≥20， ∴ 20≤x＜90，且 x 为整数． 1．旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2 100 元，旅行社对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人需缴费用降低30 元．当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ ∴ 当 x＝45 时，y 有最大值，y最大值＝60 750． 答：旅行团的人数为 45 人时，旅行社可获得最大营业额 60 750 元． 2．生产某种商品需要 500 元的固定花费，在此基础上，每生产 1件商品花费 10 元，预定单价为 50 元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一，当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为 x 件，利润为 y 元．则实际单价为 元， ∵ 产量为正数，且实际单价为正数， 2．生产某种商品需要 500 元的固定花费，在此基础上，每生产 1件商品花费 10 元，预定单价为 50 元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一，当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解得 0＜x＜400． ∴ 当 x＝160 时，y 有最大值，y最大值＝2 700． 答：当产量为 160 件时，利润最大，最大利润是 2 700 元． 实际问题与二次函数（最大利润问题） 一般步骤 核心公式 梳理数量关系 建立函数解析式 确定取值范围 总利润＝单件利润×销售量 总利润＝销售额－买进费用 求解函数最值 检验结果作答 谢谢 $