26.4 实际问题与二次函数 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学人教版九年级上册的同步教学课件，共31页，聚焦二次函数的实际应用之最大利润问题。通过温故知新复习二次函数求最值步骤与利润公式，情境导入引发定价思考，探究新知分涨价、降价两种情况构建函数模型并求最值，辅以典例、练习及课堂小结梳理方法。 资料以“问题解决”为主线，突出数学核心素养。从销售情境抽象函数关系培养数学眼光，通过表格分析、配方推理及取值范围讨论发展数学思维，用函数表达式与表格精准描述数量关系体现数学语言。分层探究与步骤化教学帮助九年级学生掌握建模方法，提升解题能力以应对升学考试，也为教师提供清晰教学路径。

26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 第2课时　最大利润问题 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y=a（x-h）2+k 温故知新 2.销售问题中有关利润的公式： （1）利润=售价－进价 （2）总利润=单件利润×销售量 温故知新 情境导入 在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？ 探究新知 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定n的取值范围 解：设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n-40)(300-10n) 即y1=-10n2+100n+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤n≤30. (0≤n≤30,n为整数) y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30, n为整数） 根据上面的函数，填空： 当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 5 5 65 6250 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定m的取值范围 解：设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m–40)(300+20m) 即y2=-20m2+100m+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤m≤20. (0≤m≤20,m为整数) y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20, m为整数) 根据上面的函数，填空： 当m=_______时，y1最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. 2或3 2或3 58或57 6120 =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57或58元时，有最大利润6120元. （1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 6000 涨价 40 65 250 6250 降价 40 57/58 360/340 6120 在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或 配方法求出二次函数的最大值. 需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标 不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的 增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 典例1　某种商品每件的进价为30元，若以每件x元出售，每天 可卖出(100－x)件，设销售这种商品每天的利润为y元. (1)每件商品盈利 元(用含x的代数式填空)； (2)求y与x之间的函数解析式； 解：(2)根据题意，得y＝(x－30)(100－x)＝－x2＋130x－3 000. (x－30)　 解：(2)根据题意，得y＝(x－30)(100－x)＝－x2＋130x－3 000. (3)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润 是多少？ (3)y＝－x2＋130x－3 000＝－(x－65)2＋1 225. ∴当x＝65时，y有最大值，最大值为1 225. ∴当销售单价定为65元时，每天的利润最大，最大利润为1 225元. (3)y＝－x2＋130x－3 000＝－(x－65)2＋1 225. ∴当x＝65时，y有最大值，最大值为1 225. ∴当销售单价定为65元时，每天的利润最大，最大利润为1 225元. 　某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月 生产x辆玩具汽车的成本为g元，售价为每辆p元，且g，p与 x之间的关系式分别为g＝30x＋500，p＝150－2x(0＜x≤50).当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设每月的利润为w元， 则w＝px－g＝(150－2x)x－(30x＋500)＝－2(x－30)2＋1 300. ∵0＜x≤50， ∴当x＝30时，w有最大值，最大值为1 300. ∴当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1 300元. 对应练习 典例2　某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元. (1)每天可销售 件，每件盈利 元(用含 x的代数式填空)； (20＋2x)　 (40－x)　 (2)设每天的销售利润为y元.当每件童装降价多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (2)解：由题意，得y＝(20＋2x)(40－x)＝－2x2＋60x＋800 ＝－2(x－15)2＋1 250. ∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1 250. ∴当每件童装降价15元时，每天获得的利润最大，最大利润是1 250元. 某商店销售一种学生用双肩包，这种双肩包的成本价为每个60元.市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月少销售5个.设每个双肩包涨价x元(x为正整数)，每月的销售量为y个. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： ⁠； y＝－5x＋300　 (2)当每个双肩包的售价定为多少元时，商店每月获得的利润最大？最大利润是多少？ (2)解：设每月获得利润w元， 则w＝y(100＋x－60)＝(－5x＋300)(40＋x)＝－5x2＋100x＋12 000 ＝－5(x－10)2＋12 500. ∴当x＝10时，w有最大值，最大值为12 500. ∴100＋x＝110. ∴当每个双肩包的售价定为110元时，商店每月获得的利润最大，最大利 润是12 500元. 对应练习 课堂小结 1.利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)根据数量之间的关系设未知数； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)回答实际问题. 2.常见数量关系：利润=售价-成本，总利润=每件商品的利润×销售量，利润率= ×100% 1.某种商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为y＝－0.1(x－3)2＋25，则这种商品每天的最大销售利润为( ) A.0.1元 B.3元 C.25元 D.75元 C 课堂练习 2.某超市销售某款商品每天的销售利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式为y＝－x2＋10x＋125，则销售这款商品每天的最大利润为　 　元.  　150　 3.[2025·合肥包河区期末]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件商品的售价应为( ) A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 B 4.某品牌钢笔进价为8元/支，按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为　 　元/支. 　14　 5.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包荒山种植蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天的销量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.当该蜜柚定价为　 　元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是　 　元. 　1210　 　19　 6.[2024·合肥蜀山区期末]某公司生产一种产品，生产费用y(万元)由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成.已知该公司每年生产该产品x件，制造费用为y1(万元)，材料费用为y2(万元)，人工费用为固定费用1000万元，其中y1＝ax2，y2＝bx，生产时得到了表中的数据. 生产件数x/件 10 50 生产费用y/万元 1060 1500 (1)求y与x的函数解析式； 解：(1)y与x的函数解析式为y＝x2＋5x＋1000. (2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价p(万元)与生产件数x(件)满足一次函数关系p＝45－x.设该产品每年的利润为w万元(利润＝销售收入－生产费用)，求w的最大值. (2)由题意得w＝x－(x2＋5x＋1000)＝45x－x2－x2－5x－1000＝－x2＋40x－1000＝－(x－150)2＋2000， ∵－＜0，∴当x＝150时，w最大，最大值为2000. A.300元 B.310元 C.320元 D.350元 7.[教材P55习题26.4第7题改编]某宾馆共有50个房间供游客居住，每个房间价格不低于200元且不超过320元.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已知每个房间定价x(元)和游客居住房间数y(个)符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象.若宾馆要获得最大利润，则每个房间应定价为( ) C 8.某快餐店销售A，B两种快餐，每份快餐的利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降低1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　 　元.  　1264　 9.随着生活水平的不断提高，外出旅游已经成为人们生活中不可或缺的一部分.某旅行社为了扩大规模，计划购买A，B两种类型的旅游车共8辆，其中A型旅游车每辆价格40万元，能载游客30人；B型旅游车每辆60万元，能载游客50人. (1)设购买A型旅游车x辆，购车总费用为y万元，载客总量为z人，分别求出y与x，z与x之间的函数关系式； 解：(1)由题意，得y＝40x＋60(8－x)＝480－20x， z＝30x＋50(8－x)＝400－20x. (2)旅行社预测经营时每年所获利润为万元，求旅行社每年所获最大利润是多少？ (2)设每年所获利润为P万元，则P＝700－34x－＝700－34x－＝－x2＋10x＋220＝－(x－5)2＋245. ∵－1＜0，∴当x＝5时，所获利润最大为245万元. 10.某农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的售价p(元/千克)关于x的函数关系式为p＝ 销售量y(千克)与x之间的关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式， 并写出x的取值范围； 解：(1)y＝ (2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ (2)设当月第x天的销售额为w元. 当0＜x≤20时，w＝(－2x＋80)＝－(x－15)2＋500， ∴当x＝15时，w有最大值，此时w＝500； 当20＜x≤30时，w＝(4x－40)＝－(x－35)2＋500， ∴当x＝30时，w有最大值，此时w＝480. 综上所述，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500. 答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元. $