26.3二次函数与一元二次方程（第 1 课时)课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过一次函数与一元一次方程的关系类比导入，搭建知识支架，引导学生从“数”与“形”两方面迁移探究新知。 其亮点在于采用问题驱动与数形结合，通过具体函数实例分析图像与x轴交点、方程根及判别式关系，培养几何直观和推理意识，表格总结强化数学语言表达，帮助学生建立知识联系，教师可提升教学效率。

26.3二次函数与一元二次方程 （第 1 课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 问题 对于一次函数 y＝2x－1 和一元一次方程 2x－1＝0，说一说两者的联系． 一次函数 y＝2x－1 与 x 轴的交点的横坐标是 0.5，纵坐标为 0． 这表明当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值为 0． 由此可以得出一元一次方程 2x－1＝0 的解是 x＝ 0.5． －1 y O 0.5 x －0.5 0.5 1 －1 －0.5 y＝2x－1 　　一次函数与一元一次方程之间的关系． 一元一次方程 ax＋b＝0 的根 方程角度 一次函数 y＝ax＋b 中，当 y＝0 时， x 的值 数 函数角度 一次函数 y＝ax＋b 的图象与 x 轴的交点的横坐标 形 前面我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了两者之间的内在联系． 那么，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 与一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 是否也有类似的关系？本节课我们就来探究这一问题． 问题1 如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x+1． 由此，你能说说方程 x²＋x－2＝0，x²－8x＋16＝0，x²－x+1＝0的根的情况吗？ （1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x+1． 两个公共点 一个公共点 无公共点 公共点的函数值均为 0 二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标是多少？说一说对应一元二次方程的根. 问题1 （1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x+1． 两个公共点 一个公共点 无公共点 二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标是多少？说一说对应一元二次方程的根. 问题1 公共点的横坐标为 －2，1 公共点的横坐标为 4 两个不相等的实数根 －2，1 两个相等的实数根 4 无实数根 （1）0＝x²＋x－2；（2）0＝x²－8x＋16；（3）0＝x²－x+1． 问题1 无公共点 公共点的横坐标为 －2，1 公共点的横坐标为 4 二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标是多少？说一说对应一元二次方程的根. 问题2 解：（1）左边分解因式，得(x＋2)(x－1)＝0．x1＝－2，x2＝1． （2）配方，得(x－4)²＝0．x1＝x2＝4． （3）a＝1，b＝－1，c＝1，Δ＝b2－4ac＝－3＜0．方程无实数根． 解一元二次方程． （1）x²＋x－2＝0； （2）x²－8x＋16＝0； （3）x²－x+1＝0． 两不相等的实数根 －2，1 两个相等的实数根 4 无实数根 问题2 无公共点 公共点的横坐标为 －2，1 公共点的横坐标为 4 一元二次方程的根分别是什么？ 说一说对应二次函数图象与x 轴的公共点的横坐标. 解一元二次方程． （1）x²＋x－2＝0； （2）x²－8x＋16＝0； （3）x²－x+1＝0． 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 方程角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 中，当 y＝0 时， x 的值 数 函数角度 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点的横坐标 形 由此，你能归纳出二次函数与相应一元二次方程的关系吗？ 思考 一般地，从二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象，可得如下结论： （1）如果抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数值是 0，因此 x＝x0 是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的一个根． （2）二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．它们分别对应着一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根． 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 与一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的联系 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 Δ＝b²－4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 有一个公共点 有两个相等的实数根 无公共点 无实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况． 拓展 解一元二次方程 ax²＋bx＋c＝k（a≠0）． 方法一 把方程转化为 ax²＋bx＋c－k＝0； 方法二 求二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的函数值为 k 时对应的自变量 x 的值； y＝ax²＋bx＋c y＝k 方法三 求抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与直线 y＝k 公共点的横坐标． 例 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝20t－5t²．小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多长时间？ 分析： 考虑二次函数 h＝20t－5t² 的函数值能否取20． 不妨令函数值 h＝20，讨论是否存在满足条件的自变量 t 的值． 思路一（从函数解析式的角度）： 转化 已知二次函数 h＝20t－5t² 的函数值 h＝20，求自变量 t 的值． 求一元二次方程 20＝20t－5t² 的根． 思路二（从函数图象的角度）： 求抛物线 h＝20t－5t² 与直线 h＝20 公共点的横坐标． 已知二次函数 h＝20t－5t² 的函数值 h＝20，求自变量 t 的值． 转化 解：（方法一）当 h＝20 时， 由函数关系 h＝20t－5t²，列得方程 20＝20t－5t²， 即 t²－4t＋4＝0． 解方程，得 t₁＝t₂＝2． 这说明，当自变量 t＝2 时，二次函数 h＝20t－5t² 的函数值为 20． 即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m． 1 3 2 4 O h t 20 h＝20t－5t² h＝20 解：（方法二）如图，以小球飞出点作为坐标原点 O，水平向右为横轴正方向，竖直向上为纵轴正方向，建立平面直角坐标系，在同一平面直角坐标系中，画出抛物线 h＝20t－5t² 和直线 h＝20． 观察图象可得，抛物线和直线仅有一个交点（2，20），该点恰好为抛物线的顶点，即小球飞行的最大高度为 20 m． 关于例1，回答下列问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 分析： 转化 已知二次函数 h＝20t－5t² 的函数值 h，求自变量 t 的值． 求一元二次方程 h＝20t－5t² 的根的情况． 小球飞出、落地时均处于地面，飞行高度 h 均为 0．飞出时刻和落地时刻的差值为所求飞行时间． 关于例1，回答下列问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ 解：令 h＝15，则 15＝20t－5t². 解得 t1＝1，t2＝3. 即当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的飞行高度为 15 m． 整理得 t²－4t＋3＝0， 关于例1，回答下列问题： （2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ 解：令 h＝20.5，则 20.5＝20t－5t². ∵ Δ＝(－4)²－4×1×4.1＝－0.4＜0， ∴ 方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到 20.5 m. 整理，得 t²－4t＋4.1＝0． 关于例1，回答下列问题： （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 解：令 h＝0，则 0＝20t－5t². 解得 t1＝0，t2＝4. t1＝0 时，小球刚从地面飞出；t2＝4 时，小球落回地面． 即小球从飞出到落地要用 4 s． 飞行时间为 4－0＝4 s． 二次函数与 一元二次方程 一元二次方程的根 二次函数的函数值为 0 时自变量的值 抛物线与 x 轴公共点的横坐标 从“数”与“形” 两个角度考虑 谢谢 $