26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程的联系”核心知识点，通过复习一次函数与一元一次方程的联系进行类比导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步理解两者关系。 其亮点在于采用合作探究模式，结合函数图象观察与表格分析，培养学生几何直观与抽象能力。以小球飞行高度问题为实例，将实际问题转化为方程求解，发展模型意识与推理能力。典例分析与跟踪训练强化知识应用，助力学生形成有条理的思维，也为教师提供高效教学资源。

26.3 课时1 二次函数与一元二次方程的联系 22051 学习目标 1 2 了解二次函数与一元二次方程的联系. 能将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，发展应用意识. 22051 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 复习 一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． 1 3 O x y 2 y=kx+b x=2 22051 如图，下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标；当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ （1）y=x2-x+1；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2+x-2. 二次函数与一元二次方程的关系 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2，x2=1 22051 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 22051 5 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1. 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. 方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1. 22051 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4. 当x=4时，函数值是0. 方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. 22051 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 22051 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 22051 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 二次函数与一元二次方程的实际应用 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h = 20t − 5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20 = 20t − 5t2的根的问题. 22051 球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？ O h t 20 2 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. h=20t-5t2 22051 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. 方程x2-x+1=0没有实数根. 22051 归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： 2 合作探究 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0. 当x=x0时，函数值是0. x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. 二次函数y=ax2+bx+c的 图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2−4ac>0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2−4ac=0 没有公共点 没有实数根 b2−4ac<0 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 22051 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 22051 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 22051 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （3）球从飞出到落地要用多少时间？ O t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：（1）解方程 15=20t-5t2t2-4t+3=0,得t1=1，t2=3. 结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m？为什么球不能达到20.5m的高度? h=20t-5t2 变式： O h t 20.5 （2）解方程：20.5=20t-5t2t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m. （3）解方程：0=20t-5t2t2-4t=0,得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面. 22051 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程. 为一个常数（定值） 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 22051 17 例1 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t−5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 小球的飞行高度能否达到20 m 二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20 一元二次方程20=20t−5t2有无实数根 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 实际问题 抽象 22051 3 典例分析 解：当h=20时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20=20t−5t2， 即 t2−4t+4=0. 解方程，得 t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20， 即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 22051 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 22051 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 22051 已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化成了一元二次方程问题． y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 m＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 令y＝m 二次函数 一元二次方程 转化思想 22051 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)0 令y＝0 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的值为0，求自变量x的值 确定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标 形 数 方程观点 函数观点 求一元二次方程的解 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 22051 解：当h=15时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程15=20t−5t2， 即 t2−4t+3=0. 解方程，得 t1=1，t2=3. ∴当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m. 追问1 小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 22051 解：当h=20.5时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20.5=20t−5t2， 即 t2−4t+4.1=0. 因为(−4)2−4 ×4.1<0，所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5 m. 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 22051 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：由题意得，方程  的根的判别式=22-4×(-1)×m=4+4m. (1) 若该抛物线与  轴没有公共点，则  ，解得  . (2) 若该抛物线与  轴有公共点，则  ，解得  .     22051 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：(3)该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0).     (，0)，(，0) 22051 3.已知二次函数y=x2-6x+8的图象，利用图象回答问题： (1)方程x2-6x+8=0的解是什么？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ x y O 2 4 8 解：(1)x1=2，x2=4. (2)x＜2或x＞4. (3)2＜x＜4. 22051 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 22051 $