26.4实际问题与二次函数（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际最值问题，通过复习二次函数对称轴、顶点坐标等性质，结合跳水运动、矩形菜园等生活实例导入，搭建从函数性质到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象实际问题为函数模型，用数学思维通过不同设元方法推理分析，以数学语言总结四步解题步骤。实例涵盖跳水求最高点、矩形面积两种设元及墙长限制变式，助力学生培养建模与推理能力，教师可高效开展教学。

26.4实际问题与二次函数 （第1课时） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第26章 二次函数 1 对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： ① 对称轴为直线 ② 顶点坐标是 ③ 当 a＞0 时，函数在 处取得最小值 当 a＜0 时，函数在 处取得最大值 前面我们学习了二次函数的图象与性质，知道抛物线顶点对应函数的最值．生活中，很多变化过程都能用二次函数刻画：例如，运动员跳水过程中重心高度的变化，借助篱笆围成矩形菜园时面积的变化等． 本节课我们就依托二次函数来研究这些实际问题． 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝－4.9t2＋2.8t＋11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 问题1 思考：这个实际情境对应的是什么函数？ h 是 t 的二次函数 函数取最大值时自变量的取值 函数最大值 问题可转化为求二次函数的最大值，以及当函数值最大时自变量的取值问题． h＝－4.9t2＋2.8t＋11 问题1 如何求该顶点的横、纵坐标？ 分析：a＝－4.9＜0，抛物线开口向下，顶点就是抛物线的最高点，顶点横坐标对应到达最高点的时间，顶点纵坐标对应重心的最大高度． 思考：观察解析式中二次项系数 a 的值，抛物线的开口方向是怎样的？此时顶点具备怎样的实际意义？ 利用顶点坐标公式 求解， 计算结果按照题目要求保留一位小数． 问题1 解：对于二次函数 h＝－4.9t2＋2.8t＋11， 当 时， h 有最大值 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m． h＝－4.9t2＋2.8t＋11 思考一下，是不是所有实际问题都可以直接取顶点作为最值？ 顶点能否作为实际问题的最值，关键取决于顶点对应的自变量是否在实际情境允许的取值范围内． 请你结合顶点坐标，画出二次函数 h＝－4.9t2＋2.8t＋11 的大致图象，结合图象特征，尝试描述运动员在竖直方向上的运动过程． 问题1 运动员起跳后，先向上运动，约 0.3 s 时到达最高点，然后向下运动，直至落入水中． h＝－4.9t2＋2.8t＋11 （0.3，11.4） 已知抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，可以画出抛物线的大致图象，借助图象变化趋势解决问题． 刚才我们研究了运动情境下的实际问题，题目直接给出了二次函数解析式，结合自变量的取值范围，利用顶点公式即可求解最值．接下来我们探究几何面积类实际问题，如果不给出函数解析式，你能否自主分析变量关系，建立二次函数模型解决问题？ 方法一：设垂直于墙的边长为 x m． 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 已知条件：篱笆只需要围矩形的 3 条边． 2×垂直于墙的边长＋平行于墙的边长 思考：可以设哪个量为自变量？ 面积如何用含自变量的代数式表示？ 方法二：设平行于墙的边长为 x m． 平行于墙的边长为(20－2x)m √ x x 20－2x S＝－2x2＋20x 二次函数 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 S＝－2x2＋20x x x 20－2x 矩形的两条边长都大于 0， 0＜x＜10． 在实际问题中，函数自变量的取值范围既要使解析式有意义，还要使问题具有现实意义． 2×垂直于墙的边长＋平行于墙的边长 自变量 x 可以取任何一个实数吗？ 我们把菜园面积最大问题转化为了求二次函数 S＝－2x2＋20x（0＜x＜10）的最大值问题，对此，你有什么想法？要注意什么？ 问题2 x x 20－2x ① 根据 a＝－2＜0，判断抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值； ② 判断顶点的横坐标是否满足自变量的实际取值范围，可得 x＝5 在取值范围 0＜x＜10 内，因此可在顶点处取得最大值； ③ 利用顶点坐标公式求出 S 的最大值． 解：设垂直于墙的边长为 x m． 则平行于墙的边长为(20－2x)m， 矩形菜园的面积 S＝x(20－2x)， 即 S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)． 当 S 有最大值 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，菜园的面积最大，最大面积为 50 m²． 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 x x 20－2x 解析式后需要注明自变量的取值范围． 解：设平行于墙的一边长为 x m， 则垂直于墙的边长为 矩形菜园的面积 问题2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 若设平行于墙的边长为 x m，能否解决问题？ x x x 20－2x 最大面积为50 最大面积为50 S＝－2x2＋20x(0＜x＜10) 虽然设的未知数不同，但求得菜园的最大面积结果一致；设垂直于墙的边长为 x 时，函数解析式计算更简便，自变量取值范围更简洁． 面对实际问题，我们可以灵活选择设未知数的方式，解题时优先选择列式简洁、自变量范围更容易表达的假设方法． 分析： 如图，利用一面墙（墙的长度为 8 m），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 x x 20－2x 0＜20－2x≤8 6≤x＜10 S＝－2x2＋20x 直线 x＝5 对称轴 对称轴不在自变量取值范围内，无法利用顶点求最值． 如图，利用一面墙（墙的长度为 8 m），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 x x 20－2x 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20－2x) m，矩形菜园的面积 S＝x(20－2x)， ∴ 6≤x＜10． 即 S＝－2x2＋20x (6≤x＜10)． ∵ S＝－2x2＋20x (6≤x＜10)． ∵ a＝－2＜0，对称轴为直线 x＝5， 当 6≤x＜10 时，S 随 x 的增大而减小． ∴ 当 x＝6 时，S 取得最大值，S 最大值＝48． 答：当垂直于墙的边长为 6 m，平行于墙的边长为 8 m 时，菜园面积最大，最大面积为 48 m2． 如图，利用一面墙（墙的长度为 8 m），用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题2 两道题目函数解析式完全相同，为什么求得的最大面积不一样？ 问题2 S＝－2x2＋20x (0＜x＜10) 解析式虽然一致，但受墙长限制，自变量的取值范围发生了改变；实际问题中求二次函数的最值，不能只看顶点，还要关注顶点的横坐标是否落在自变量的实际取值范围内． S＝－2x2＋20x (6≤x＜10) （1）审题建模：分析题意，梳理数量关系，建立二次函数解析式； （2）确定取值范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （3）结合图象分析：求出顶点坐标，画出二次函数的大致图象，判断顶点是否落在自变量取值范围内； （4）计算函数最值： ① 若顶点在自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最值； ② 若顶点不在自变量取值范围内，则根据二次函数的增减性， 在区间端点处求得最值． 利用二次函数模型解决实际最值问题的一般步骤 归纳 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝30t－5t²(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：由图象可知，当小球运动到抛物线的顶点时，高度达到最大值． 即 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度． h＝30t－5t²(0≤t≤6) 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）的关系近似为 h＝30t－5t²(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ h 有最大值 答：小球运动的时间是 3 s 时，小球最高，且最大高度是 45 m． h＝30t－5t²(0≤t≤6) 实际问题与二次函数（最值） 审题建模 计算函数最值 求出顶点坐标进行判断 确定自变量取值范围 谢谢 $