26.4实际问题与二次函数（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际问题，通过复习二次函数顶点式、一般式的图象、对称轴及最值等旧知，搭建从函数性质到实际情境的学习支架，引导学生提取变量关系。 其亮点是以“实际情境—建模—求解”为主线，结合跳水运动、矩形菜园等实例，培养数学眼光（抽象变量）、数学思维（推理最值）和数学语言（函数表达），归纳解题步骤与几何要点，助力学生提升建模能力，教师可高效教学。

第26章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第1课时） （人教版）九年级 上 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 01 教学目标 01 02 03 能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼 数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变 量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律。 经历“实际情境一提取变量一分析关系一建立模型一验证范围”的 完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分 析和数学转化能力. 感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源 于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思 维和求真务实的解题习惯。 02 新知导入 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______. 抛物线 直线x=h (h,k) 抛物线 直线 上 低 下 高 03 新知讲解 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水 过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 03 新知讲解 例1 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11，当 时，h有最大值 . 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 03 新知讲解 思考 函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 03 新知讲解 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，厘清题意. 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 6.答：写出答案 03 新知讲解 例2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题1：矩形的面积公式是什么？ 问题2：如何用x表示另一边？ 矩形的面积 = 长×宽 面积S关于x的函数解析式是什么？ 20−2x S＝－2x2＋20x 03 新知讲解 例2 问题3：由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？ 所以面积S在何时取得最大值？ 因为a = −2 < 0， 对称轴：x = － = － = 5 ， 因为0< x < 10， 所以当x = 5时，面积 S 取得最大值 . 03 新知讲解 例2 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . 03 新知讲解 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 04 课堂练习 1. 已知矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围是（　B　） A. y＝－x2＋6x（3＜x＜6） B. y＝－x2＋6x（0＜x＜6） C. y＝－x2＋12x（6＜x＜12） D. y＝－x2＋12x（0＜x＜12） B 04 课堂练习 2. 将小球竖直向上抛出，离地面高度h（m）与抛出时间t（s）的函数解析式为h＝－5t2＋20t，则小球离地面的最大高度为（　B　） A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m 3. 某喷泉喷出的水柱高度h（m）与水流运动时间t（s）满足h＝ －2t2＋8t，则水流从喷出到回落至地面的时间为 　4　s，水柱的最大高度为 　8　m. B 4　 8　 04 课堂练习 4. 小王要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（cm2）随x的变化而变化. （1） S与x之间的函数解析式为 　S＝－ x2＋20x　； （2） 当x＝ 　20　时，这个三角形的面积最大，最大面积是  　200　cm2. S＝－ x2＋20x　 20　 200　 04 课堂练习 5. 如图，在一个等腰直角三角形DEF的内部作一个矩形ABCD，其中等腰直角三角形的腰长为20cm，求矩形ABCD的最大面积. 解：∵ 四边形ABCD是矩形，△DEF是等腰直角三角形，∴ AB∥CD，AD＝BC. ∴ ∠ABE＝∠F＝45°＝∠E. ∴ AB＝AE. ∴ AB＋BC＝AE＋AD＝20cm.设AB＝xcm，矩形ABCD的面积为ycm2，则AD＝（20－x）cm.∴ y＝x（20－x）.整理，得y＝－x2＋20x＝－（x－10）2＋100（0＜x＜20）. ∴ 当x＝10时，y有最大值，最大值为100. ∴ 矩形ABCD的最大面积为100cm2 05 课堂小结 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 06 板书设计 26.4实际问题与二次函数（第1课时） 用二次函数解决实际问题： $