第6讲 一元二次方程的判别式及根与系数的关系 课件（学生版+教师版）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式与根与系数关系，从已学方程解法导入，通过判断根的情况、求未知数取值范围等题型归纳搭建学习支架，衔接前后知识，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于以题型为导向，结合例题与分层练习，通过证明方程根的情况、解决三角形相关问题等实例，培养学生的推理能力与模型意识。总结部分系统梳理知识脉络，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰的教学路径，提升教学效率。

第06讲 一元二次方程的判别式与根与系数关系 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握一元二次方程的根的判别式 02 掌握一元二次方程的根与系数关系 3 01 根的判别式 1 4 知识精讲 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 5 01利用根的判别式判断根的情况 6 例题 例1. ★ ★下列方程中，没有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 7 解析 【答案】 【分析】当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．一元二次方程中，没有实数根，即根的判别式△． 【解答】解：．△，方程有两个相等的实数根，不符合题意； ．△，方程没有实数根，符合题意； ．△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ．△，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△，熟练掌握判别式的特征是关键． B 练一练 练习1. ★ ★下列关于的方程中一定有实数解的是　　 A． B． C． D． 9 解析 【答案】 【分析】分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根． 【解答】解：、，△，故此方程无实数解，此选项错误； 、，△，故此方程有实数解，此选项正确； 、，△，故此方程无实数解，此选项错误； 、，△（由于的值不确定，故可以，可以，故此方程不一定有实数解，此选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意分三种情况进行讨论． B 例题 例2. ★ ★ ★关于x的一元二次方程根的情况，判断正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个根，且同为负数 C．可以有一根为0 D．没有实数根 11 解析 C 【答案】C 【分析】先计算根的判别式，判断A，D，再根据根与系数的关系可得的符号未知，可判断B，再令，可验证C． 【详解】解：， 则， ∴方程有两个不相等的实数根，故A，D错误，不合题意； 设方程的两根为， 则， 由于无法确定k的符号， ∴的符号未知，故B错误，不合题意； 当时，， 将代入，，故可以有一根为0，故C正确，符合题意； 故选C． 练一练 练习2. ★ ★ ★判断关于 的方程 根的情况，并说明理由. 13 解析 【答案】解：方程有两个不相等的实数根。理由如下： 方程整理为一般式得 ， ∵ ， 而4p2≥0， ∴1+4p2＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根。 【解析】先将方程化为一般形式，再求出判别式△的值，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0）”中△＞0时，方程有两个不相等的实数根，△=0时，方程有两个相等的实数根，△＜0时，方程没有实数根，据此判断即可。 02逆用判别式求未知数的值或取值范围 15 例题 例1. ★ ★如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，那么k的最大整数值是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 16 解析 C 【分析】根据题目意思可知Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，解即可求k＜﹣1，从而易知k应取的最大值是﹣2． 【解答】解：根据题意可得： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0， 解得k＜﹣1， 故k的最大整数值是k＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指Δ＜0． 练一练 练习1. ★ ★若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 18 解析 D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴k＞﹣1且k≠0， ∴整数k的最小值为1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根． 练一练 练习2. ★ ★若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2023）x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．2023 D．﹣2023 20 解析 A 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出（m﹣2023）2﹣4×1×（n﹣1）＝0，进而即可得出n（m﹣2023）2+1，根据二次函数的性质即可求得n的最小值是1． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣2023）x+n﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， 即（m﹣2023）2﹣4×1×（n﹣1）＝0， ∴n（m﹣2023）2+1， ∵0， ∴n的最小值是1， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解；也考查了二次函数的性质． 例题 例2. ★ ★若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．5 B．2.5 C． D．﹣1 22 解析 D 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0， 解得：m， ∴4个选择中只有D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 练一练 练习1. ★ ★关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36 24 解析 C 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得c＝9， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 03利用根的判别式求字母的取值范围 26 例题 例1. ★ ★若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤12 B．k C．k≤12且k≠0 D．k且k≠0 27 解析 B 【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答． 【解答】解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3， 当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程， 根据题意可得：Δ＝1﹣4k×3≥0， 解得k，k≠0， 综上k， 故选：B． 练一练 练习1. ★ ★若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 29 解析 B 【分析】要使一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，只需△≥0． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根， ∴Δ＝9﹣4m≥0， m． 故选：B． 练一练 练习2. ★ ★已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k＜4且 k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k≤﹣4且 k≠0 31 解析 D 【分析】根据一元二次方程中：Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＜0，方程没有实数根；从而得到关于k的不等式，解不等式，同时k≠0，即可求解． 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac32﹣8k， ∵原方程两个不相等的实数根， ∴Δ＝32﹣8k＞0， 解得：k＜4， ∵k≠0， ∴k＜4且k≠0． 故选：B． 例题 例2. ★ ★关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求出此时方程的根． 33 解析 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根， ∴， 解得：m且m≠0， ∴m的取值范围为m且m≠0； （2）∵m且m≠0，m为正整数， ∴m＝1， ∴原方程为x2﹣4x+3＝0， 即（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴此时方程的根为1和3． 练一练 练习2. ★ ★）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x＝1； （1）若k＝0，求此方程的解； （2）若此方程有两个相等实数根，请求出这个方程的解； （3）若方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围； 35 解析 【分析】（1）k＝0时，原方程为x2﹣2x＝1，然后利用配方法解一元二次方程； （2）根据方程有两个相等实数根可得Δ＝0，列出关于k的方程，解方程求得k＝2，则原方程为3x2+2x+1＝0，然后利因式分解法解一元二次方程； （3）根据方程有两个不相等实数根可得Δ＞0，列出关于k的不等式，解不等式可得． 【解答】解：（1）k＝0时，原方程为x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x＝1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）＝0，解得：k＝2， 故原方程为3x2+2x+1＝0， ∴（x+1）2＝0， ∴x1＝x2； （3）∵关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x＝1有两个不相等的实数根， ∴k+1≥0且1﹣2k≠0， Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）＞0， 解得：﹣1≤k＜2且k， ∴k的取值范围是：﹣1≤k＜2且k． 04利用根的判别式证明方程一定有根或无根 37 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根； （2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值． 38 解析 【分析】（1）先根据方程有实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可； （2）根据题意得到x＝±2是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程有一个根的平方等于4， ∴x＝±2是原方程的根， 当x＝2时，4﹣2（m+3）+m+2＝0． 解得m＝0； 当x＝﹣2时，4+2（m+3）+m+2＝0， 解得m＝﹣4． 综上所述，m的值为0或﹣4． 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 40 解析 【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断； （2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可； 【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， 无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 整理，得 2﹣k＝0． 解得 k＝2， 此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0． 解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 练一练 练习2. ★ ★ ★定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程． （1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由． （2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程． 42 解析 【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ＞0，根据判别式的意义即可得出结论； （2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进而得到方程的解． 【解答】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下： ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程， ∴b＝ac， ∵b＜0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0， ∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； （2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程， ∴m＝2n， ∵方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0， ∴n＝0或2， 当n＝0时，方程为2x2＝0，解得 x1＝x2＝0； 当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得 x1＝x2＝﹣1． 故此方程的解为0或﹣1． 05利用根的判别式解决与三角形有关的问题 44 例题 例1. ★ ★ ★已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 45 解析 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由Δ＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝1＞0， ∴AB≠AC， ∴AB、AC中有一个数为5． 将x＝5代入原方程，得：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0， 解得：k1＝4，k2＝5． 当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0， ∴x1＝4，x2＝5． ∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k＝4符合题意； 当k＝5时，原方程为x2﹣11x+30＝0， 解得：x1＝5，x2＝6． ∵5、5、6能围成等腰三角形， ∴k＝5符合题意． 综上所述：k的值为4或5． 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）判断这个一元二次方程的根的情况． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 47 解析 【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0； ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴3是腰长，x＝3是方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0的一个根， ∴32﹣3（2m+1）+m2+m＝0，整理，得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m＝2或m＝3， 当m＝2时，x2﹣5x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝3， 此时等腰三角形的三边长：3，3，2，周长＝3+3+2＝8； 当m＝3时，x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝4，x2＝3， 此时等腰三角形的三边长：3，3，4，周长＝3+3+4＝10． 综上所述：等腰三角形的周长为8或10． 例题 例2. ★ ★ ★已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长． 49 解析 【分析】（1）根据判别式的意义可得； （2）分类讨论：若x1＝7，把x1＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0， 解得； （2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的一个解， 把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0， 整理得m2﹣14m+45＝0， 解得m1＝9，m2＝5， 当m＝9时，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得x2＝13， 则三角形周长为13+7+7＝27； 当m＝5时，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得x2＝5， 则三角形周长为5+7+7＝19； 当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以，方程化为4x2﹣44x+121＝0， 解得，三边长为， 其周长为， 综上所述，m的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18． 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长； （3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值． 51 解析 【分析】（1）先计算出Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2＝（m﹣1）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0一个根为5，代入方程求得m＝5，再把m代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长； （3）根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2） ＝（m﹣1）2， ∵无论m取何值，（m﹣1）2≥0， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴等腰三角形另一腰长也为5， ∵两边长度为该方程的两根， ∴x＝5是原方程的解， 由x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0得：52+（m﹣3）×5﹣m+2＝0， 解得：m＝﹣3， 原方程为x2﹣6x+5＝0， 设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2＝6， 则等腰三角形的周长为6+5＝11； （3）解：∵（x1﹣x2）2+2m+3＝0， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2+2m+3＝0， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m﹣3），x1x2＝﹣m+2， ∴[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m+2）+2m+3＝0， m2＝﹣4， 故方程无解． 02 根与系数的关系 1 53 知识精讲 根与系数的关系 （1）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， ， ，反过来也成立，即，． （2）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 54 01利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 55 例题 例1. ★ ★若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1•x2的值为（　　） A．3 B．10 C．﹣3 D．﹣10 56 解析 【分析】利用根与系数的关系求出两根之积即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根， ∴x1x2＝﹣10． 故选：D． D 练一练 练习1. ★ ★若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根，则x2+2的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 58 解析 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x1+2，则x2+2化为﹣（x1+x2）+4，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣2＝0的根， ∴x1﹣2＝0， ∴x1+2， ∴x2+2＝﹣x1+2﹣x2+2 ＝﹣（x1+x2）+4， ∵x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣1， ∴x2+2＝1+4＝5． 故选：A． A 例题 例2. ★ ★ ★设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 60 解析 【分析】根据根与系数的关系得到得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，再把原式变形得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3， 所以原式＝x1x2（x1+x2） ＝﹣3×（﹣3） ＝9． 故选：A． A 练一练 练习2. ★ ★ ★已知一元二次方程x2﹣2x＝0的两个解分别为x1，x2，则的值是 　 　． 62 解析 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝0，然后变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，再利用整体思想进行计算． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两个解分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝0， ∴ ＝（x1+x2）2﹣2x1•x2 ＝22﹣2×0 ＝4． ∴0． 故答案为：0． 02利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 64 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣4＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝2x2，求m的值． 65 解析 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）利用分解因式法解方程可得出方程的根x＝3m±3，结合x1＞x2、x1＝2x2即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣6m）2﹣4（9m2﹣4） ＝36m2﹣36m2+16 ＝16＞0． ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：x2﹣6mx+9m2﹣4＝0，即[x﹣（3m+2）][x﹣（3m﹣2）]＝0， 解得：x＝3m±2． ∵3m+2＞3m﹣2， ∴x1＝3m+2，x2＝3m﹣2， ∴3m+2＝2（3m﹣2）． ∴m＝2． 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0． （1）请说明该方程实数根的个数情况； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值． 67 解析 【分析】（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再即可得到结论； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2﹣2m，代入计算即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1）•（x2+1）＝8， ∴（x1+1）•（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8， ∴2m﹣2+m2﹣2m+1＝8， ∴m2＝9， ∴m＝3或m＝﹣3． 故m的值为﹣3或3． 例题 例2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m． （1）当m＝5时，试判断此方程根的情况． （2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值． 69 解析 【分析】（1）把m＝5代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况． （2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的取值范围，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）当m＝5时，原方程为x2+4x+4＝0， ∵Δ＝42﹣4×1×4＝0， 此方程根有两个相等的实数根． （2）∵x1，x2是方程x2+4x＝1﹣m，即x2+4x+m﹣1＝0不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49， ∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣1）＞0，解得m＜5 ∴（1﹣m）2＝49， 解得m1＝﹣6，m2＝8（不合题意，舍去）． 故m的值是﹣6． 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 71 解析 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0， 即12k+4＞0， 解得，k， 又k≠0， ∴k且k≠0； （2）不存在． x1+x2，x1•x2， 由题意得，1， 即1， 解得，k＝﹣3， ∵k且k≠0时方程有两个不相等的实数根， ∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1． 03根的判别式与根与系数关系的综合应用 73 例题 例1. ★ ★ ★关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 74 解析 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0，其中m是实数． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的有两个实数根为：x1，x2，求代数式x12+（3﹣2m）x2+m的最小值． 76 解析 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）利用根与系数的关系可得：x1+x2＝3﹣2m，x1x2＝﹣m+1，对所求的式子进行整理，结合（1）中m的范围，从而可求解． 【解答】（1）证明∵方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0， ∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4（﹣m+1） ＝4m2﹣12m+9+4m﹣4 ＝4m2﹣8m+5 ＝4（m﹣1）2+1≥1， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0有两个实数根为：x1，x2， ∴x1+x2＝3﹣2m，x1x2＝﹣m+1， ∴x12+（3﹣2m）x2+m ＝x12+（x1+x2）x2+m ＝x12+x1x2+x22+m ＝（x1+x2）2﹣x1x2+m ＝（3﹣2m）2﹣（﹣m+1）+m ＝9﹣12m+4m2+m﹣1+m ＝4m2﹣10m+8 ＝4（m）2， 则当m时，有最小值为：． 例题 例2. ★ ★ ★已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）若满足，求m的值； （2）若α＞2，求证：β＞2． 78 解析 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到m的取值范围，然后根据根与系数的关系得出α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，由1得到﹣（2m+3）＝﹣m2，然后解方程，再利用m的范围确定满足条件的m的值； （2）先利用（α﹣2）（β﹣2）＝（m+2）2+6＞0，α＞2得到β﹣2＞0． 【解答】（1）解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0， 解得m， 根据根与系数的关系得α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2， ∵1， 即α+β＝﹣αβ， ∴﹣（2m+3）＝﹣m2， 整理得m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∵m， ∴m的值为3； （2）证明：（α﹣2）（β﹣2）＝αβ﹣2（α+β）+4 ＝m2+2（2m+3）+4 ＝m2+4m+10 ＝（m+2）2+6， ∵（m+2）2≥0， ∴（α﹣2）（β﹣2）＞0， ∵α＞2， ∴β﹣2＞0， ∴β＞2． 练一练 练习2. ★ ★ ★关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 80 解析 【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用求根公式表示出两根，即可求得|x1﹣x2|的值； （3）在二的结论下代入数据，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【解答】解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0， ∴； （2）由一元二次方程的求根公式得：x1，x2， ∵， ∴， ∴x1＞0， 又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0， ∴x2＞0， x1﹣x2； ∵， ∴4k﹣11＞0， ∴|x1﹣x2|； （3）当时，有， 即， ∴4k﹣11＝3， ∴， ∴存在实数，使得． 04一元二次方程整数根问题 82 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值． 83 解析 【分析】（1）证明b2﹣4ac≥0即可． （2）用求根公式表示出方程的两个实数根，再根据这两个实数根都是正整数便可解决． 【解答】（1）证明：由题知， 因为m≠0，所以次方程为一元二次方程． 则b2﹣4ac＝（3﹣m）2﹣4×m×（﹣3） ＝9﹣6m+m2+12m ＝（m+3）2 因为（m+3）2≥0， 所以此方程总有两个实数根． （2）解：由一元二次方程的求根公式得， ， 即． 又此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数， 所以m＝﹣1或﹣3． 练一练 练习1. ★ ★ ★已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根； （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 85 解析 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）把x＝﹣1代入方程求解即可； （3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值． 【解答】（1）证明：当k≠0时， ∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0， ∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2， ∴Δ＝（2k﹣3）2≥0， 当k＝0时，3x﹣3＝0， 解得x＝1． ∴无论k取何值，方程都有实根；   （2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0， 解得k． 故k的值； （3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0， ∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3， ∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x， ∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3， ∵方程的两个实根均为正整数， ∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3． 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0． （1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值； （3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 87 解析 【分析】（1）由方程根的定义求出a的值即可； （2）由根的判别式求出a的取值范围即可得出答案； （3）由a的值求出原方程，解方程可得出答案． 【解答】解：（1）∵方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0的一个根为x＝﹣1， ∴a﹣3+6+8＝0， ∴a＝﹣11． （2）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0有实数根， ∴△≥0，且a≠3， ∴36﹣32（a﹣3）≥0， 解得a， ∵a是正整数， ∴a＝1或2或4． （3）当a＝4时，方程x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x＝2或x＝4， 本讲总结 01 02 1.利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 2.利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 3.根的判别式与根与系数关系的综合应用 4.一元二次方程的整数根问题 1.利用根的判别式判断根的情况 2.利用根的判别式求字母的值 3.利用根的判别式求字母的取值范围 4.利用根的判别式证明方程一定有根或无根 5.利用根的判别式解决与三角形有关的问题 根与系数的关系 根的判别式 89 课堂练习 练一练 课后练1.★ ★已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 91 解析 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【解答】解：Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴Δ＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 练一练 课后练2.★ ★若a，b是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 93 解析 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣2a+2021，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣2021＝0的根， ∴a2+2a﹣2021＝0， 即a2＝﹣2a+2021， ∴a2+3a+b＝﹣2a+2021+3a+b＝a+b+2021， ∵a，b是方程x2+2x﹣2021＝0的两根， ∴a+b＝﹣2， ∴a2+3a+b＝﹣2+2021＝2019． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 练一练 课后练3.★ ★ ★关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠1 C．0≤k D．k≠1 95 解析 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0，即k≠1， Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16， ∵方程有两个不相等的实数解， ∴Δ＞0， ∴﹣12k+16＞0， ∴k， ∴k的取值范围是k且k≠1． 故选：B． 练一练 课后练4.★ ★ ★若非负整数m使得关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣n＝0有实数根，且实数n满足分式方程，则所有满足条件的m的值的和为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 97 解析 【分析】首先解分式方程求出n的值，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝12+4×4（m﹣1）≥0，解得m的范围，再根据m是非负整数确定m的值解答． 【解答】解：解分式方程， 得n＝﹣4， 检验：当n＝﹣4时，n﹣1≠0， ∴原分式方程的解为n＝﹣4， ∴关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2+x+4＝0， ∵关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2+x+4＝0有实数根， ∴Δ＝12﹣4×4（m﹣1）≥0， 解得m， ∵m为非负整数且m﹣1≠0， ∴m＝0， ∴所有满足条件的m的值的和为0． 故选：A． 练一练 课后练5.★ ★ ★等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为 　 　． 99 解析 【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝3符合题意；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ＝0，解之可得出k值，将k值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出k＝4符合题意． 【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0， 解得：k＝3， 当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∵1+3＝4，4＞3， ∴k＝3符合题意； 当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0， 解得：k＝4， 当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， ∵2+2＝4，4＞3， ∴k＝4符合题意． ∴k的值为3或4． 故答案为：3或4． 下节课再见～ 101 $ 第06讲 一元二次方程的判别式与根与系数关系 初中 主讲老师： 1 本讲任务 2 学习目标 01 掌握一元二次方程的根的判别式 02 掌握一元二次方程的根与系数关系 3 01 根的判别式 1 4 知识精讲 根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 （1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 5 01利用根的判别式判断根的情况 6 例题 例1. ★ ★下列方程中，没有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 7 练一练 练习1. ★ ★下列关于的方程中一定有实数解的是　　 A． B． C． D． 8 例题 例2. ★ ★ ★关于x的一元二次方程根的情况，判断正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个根，且同为负数 C．可以有一根为0 D．没有实数根 9 练一练 练习2. ★ ★ ★判断关于 的方程 根的情况，并说明理由. 10 02逆用判别式求未知数的值或取值范围 11 例题 例1. ★ ★如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，那么k的最大整数值是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 12 练一练 练习1. ★ ★若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 13 练一练 练习2. ★ ★若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2023）x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．2023 D．﹣2023 14 例题 例2. ★ ★若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．5 B．2.5 C． D．﹣1 15 练一练 练习1. ★ ★关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36 16 03利用根的判别式求字母的取值范围 17 例题 例1. ★ ★若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤12 B．k C．k≤12且k≠0 D．k且k≠0 18 练一练 练习1. ★ ★若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19 练一练 练习2. ★ ★已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k＜4且 k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k≤﹣4且 k≠0 20 例题 例2. ★ ★关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求出此时方程的根． 21 练一练 练习2. ★ ★）已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2x＝1； （1）若k＝0，求此方程的解； （2）若此方程有两个相等实数根，请求出这个方程的解； （3）若方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围； 22 04利用根的判别式证明方程一定有根或无根 23 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根； （2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值． 24 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 25 练一练 练习2. ★ ★ ★定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程． （1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由． （2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程． 26 05利用根的判别式解决与三角形有关的问题 27 例题 例1. ★ ★ ★已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 28 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）判断这个一元二次方程的根的情况． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 29 例题 例2. ★ ★ ★已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长． 30 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长； （3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值． 31 02 根与系数的关系 1 32 知识精讲 根与系数的关系 （1）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， ， ，反过来也成立，即，． （2）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 33 01利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 34 例题 例1. ★ ★若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1•x2的值为（　　） A．3 B．10 C．﹣3 D．﹣10 35 练一练 练习1. ★ ★若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的两实数根，则x2+2的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 36 例题 例2. ★ ★ ★设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 37 练一练 练习2. ★ ★ ★已知一元二次方程x2﹣2x＝0的两个解分别为x1，x2，则的值是 　 　． 38 02利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 39 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣4＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝2x2，求m的值． 40 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0． （1）请说明该方程实数根的个数情况； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值． 41 例题 例2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程x2+4x＝1﹣m． （1）当m＝5时，试判断此方程根的情况． （2）若x1，x2是该方程不相等的两实数根，且（x12+4x1）（x22+4x2）＝49，求m的值． 42 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 43 03根的判别式与根与系数关系的综合应用 44 例题 例1. ★ ★ ★关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 45 练一练 练习1. ★ ★ ★已知关于x方程x2+（2m﹣3）x﹣m+1＝0，其中m是实数． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的有两个实数根为：x1，x2，求代数式x12+（3﹣2m）x2+m的最小值． 46 例题 例2. ★ ★ ★已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）若满足，求m的值； （2）若α＞2，求证：β＞2． 47 练一练 练习2. ★ ★ ★关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 48 04一元二次方程整数根问题 49 例题 例1. ★ ★ ★已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值． 50 练一练 练习1. ★ ★ ★已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0 （1）求证：无论k取何值，方程都有实根； （2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值； （3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）． 51 练一练 练习2. ★ ★ ★已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0． （1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值； （3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 52 本讲总结 01 02 1.利用根与系数的关系求关于方程两根代数式的值 2.利用根与系数的关系求方程存在性问题中字母的值 3.根的判别式与根与系数关系的综合应用 4.一元二次方程的整数根问题 1.利用根的判别式判断根的情况 2.利用根的判别式求字母的值 3.利用根的判别式求字母的取值范围 4.利用根的判别式证明方程一定有根或无根 5.利用根的判别式解决与三角形有关的问题 根与系数的关系 根的判别式 53 课堂练习 练一练 课后练1.★ ★已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 55 练一练 课后练2.★ ★若a，b是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 56 练一练 课后练3.★ ★ ★关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠1 C．0≤k D．k≠1 57 练一练 课后练4.★ ★ ★若非负整数m使得关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x﹣n＝0有实数根，且实数n满足分式方程，则所有满足条件的m的值的和为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 58 练一练 课后练5.★ ★ ★等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为 　 　． 59 下节课再见～ 60 $