25.3实际问题与一元二次方程（第3课时 单循环赛问题）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的单循环赛问题，通过排球邀请赛、班级足球联赛实例导入，先枚举3支4支队伍比赛场数，用表格归纳规律，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 其亮点是“情境感知→规律推导→模型迁移”的探究流程，培养推理意识与模型意识，如借握手、对角线问题迁移单循环模型，真题结合生活情境发展应用意识。学生能提升抽象建模能力，教师可通过系统例题和规范步骤提高教学效率。

25.3实际问题与一元二次方程 第3课时 单循环赛问题 第二十五章 一元二次方程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同模型问题，熟练建立一元二次方程求解；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规范解题步骤. 经历“情境感知→手动枚举→规律推导→模型归纳→变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力. 感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯. 知识回顾 问题：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队需要和其他（x-1）支球队各赛一场，根据题意可列得方程： x (x−1) = 28. 整理并化简，得： x2−x−56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）. 答：组织者应邀请 8 支球队参赛. 还记得课本P2页的排球比赛问题所列的方程吗？ (x−8 )(x+7) =0 什么是单循环形式比赛？ 导入新课 学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？ （1）单循环规则： 任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛 参赛队伍数 (x) 比赛总场数 (y) 2 3 4 5 （2）若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？ 我们用字母x表示变化的参赛队伍数量，用字母y表示随之变化的比赛总场数。通过表格记录具体数值，能更直观地发现两个量之间的联系吗？ 1 3 6 10 新知探究 探究点1 自主探究，探究模型 议一议 学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？ 分析 （1）每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛 每一支队伍都需要和除了自己之外的所有队伍各比赛一场。因此，对于任意一支队伍来说，它需要参与的比赛场数为：(x - 1) 场 （2）所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？ 共有 x 支队伍，若每支队伍都比赛 (x-1) 场，将所有队伍的比赛场数相加，得到所有队伍“认为”的总比赛场数为：x · (x - 1) 场 新知探究 探究点1 自主探究，探究模型 议一议 学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？ 分析 A队 B队 同一场比赛 在算式 x × (x - 1)中，A队与B队的比赛，既被A队计入了一次，也被B队计入了一次。这意味着，我们计算的总场次里，每一场真实的比赛都被重复计算了两次 去重复 将x × (x - 1)的结果除以 2，即真实场数 = [x(x-1)] ÷ 2。 （3）单循环每两队只赛一场，如何修正？ 总场数=总配对次数÷2 ∴单循环通用公式： 总场数 = x(x-1) 新知探究 探究点1 自主探究，探究模型 议一议 学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场，求一共有多少个班级参赛？ 解：设共有x个班级参赛，根据题意得： x (x-1) = 21 整理得： x2 -x-42=0 （x-7） (x+6)=0 解得：=7， = - 6 经检验：∵班级数量为正整数， ∴x= - 6不合题意，舍去 答：一共有7个班级参赛. 规范解题 新知探究 探究点2 模型归类，同类迁移 议一议 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). n (n–1) = 300. n2 -n-300=0 解方程，得： n = . ∵1201不是完全平方数， ∴ n不可能为整数. ∴总场数不可能为300 解：设有n支球队进行了比赛，由题意可得： 总场数不可能为300，这个人算得不对. 新知探究 探究点2 模型归类，同类迁移 议一议 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 双循环问题 多边形对角线 n (n－1) n (n－1) n (n－3) 每两个元素之间算一次 每两个元素之间算两次 体育单循环球赛、棋类比赛、握手问题、照相问题、多人两两握手、多人之间互通一次电话； 互赠贺卡 凸n边形对角线条数问题 每两个元素之间算一次 解：设有n支球队进行了比赛，由题意可得： 新知探究 探究点2 模型归类，同类迁移 练一练 某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？ 分析 此题可归为哪种循环模式？ 单循环模型 套用公式列方程求解 n (n–1) = 45 n2 -n-90=0 解方程 得 ： = 10， =-9 （不合题意，舍去） 答：参会总人数30人 典例分析 例１·九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 解：设有 人参加聚会，由题意得， ，即 解得 (不合题意，舍去)； 答：有 人参加聚会． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次 典例分析 例2．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ （1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛， 则每个队伍比赛场，根据题意可得： ， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； 典例分析 例2．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得：， 解得：， 故至少需要9天完成比赛． 新知巩固 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 教材第23页 新知巩固 2.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则其对角线有 条. 当 = 20 时，解得 n1=8，n2= −5（不合题意，舍去）； 当 = 18 时，解得 n = （均不合题意，舍去）. 答：有20条对角线的凸多边形是八边形，不存在有18 条对角线的多边形. 教材第23页 拓展提升 1．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动． (1)请你在图1中，画出2秒时的线段； (2)在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由． P Q ∵点P的运动速度为每秒2个单位， 点Q的运动速度为每秒1个单位， 点P运动的路程为：（2个单位）， 点Q运动的路程为：（个单位）， ∵的网格纸中，每个小正方形的边长都为1， ∴2秒时线段如图1所示： （1）解： 拓展提升 1．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动． (2)在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由． （2）解：在动点P，Q运动的过程中，能成为等腰三角形． 经过t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为个单位， 如图2所示：过点Q作于H， 则个单位，个单位，个单位， 个单位， ∴， 个单位， 个单位， 又∵，∴四边形为矩形， ∴个单位， 个单位， ∴个单位， 在中，由勾股定理得： ， 拓展提升 1．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动． (2)在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由． 在中，由勾股定理得： ， 又由， 分三种情况讨论如下： ①当时， ， 整理得：，解得：， ②当时， ， 整理得：，解得：， ③当时， ， 整理得：， ∵判别式， ∴方程没有实数根， ∴不存在． 综上所述：当秒或秒时， 是等腰三角形． 真题感知 1．（2025.青岛校考）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 解:根据题意知，每件商品的利润为元， 销售量为件， 则可列方程为： ， A 真题感知 2．（2025·荆州统考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A． B． C． D． 解:每支球队都需要与其他球队赛场， 但两个队之间只有1场比赛， 可列方程：， D 真题感知 3．我市为了增强学生的体质，组织了一次排球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场比赛，则参加比赛的球队共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 解：设参加比赛的球队共有x个， ， 解得：（舍去）， ∴参加比赛的球队共有8个， C 真题感知 4．（2025·深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ （1）解：设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：， （不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为； 真题感知 4．（2025·深圳统考）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率． (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ （2）解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元， 月销售量为件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 知识与技能 1）核心模型： 掌握单循环赛制规则，熟记单循环通用计数公式； （2）模型迁移： 能快速识别球赛、握手、互通电话等所有两两单次互动的同类问题，精准建立一元二次方程； （3）解题规范： 熟练运用六步解题法，明确计数类问题解必须为正整数，能准确舍去负数、小数等不合理根. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）特殊到一般的归纳思想：通过少量队伍枚举特例，推导得出通用计数公式，实现从具象计算到抽象建模的升级； （2）数学建模思想：将体育赛事、生活社交的计数问题，抽象为固定的一元二次方程模型，用代数方法解决生活问题； （3）对比辨析思想：通过单、双循环模型对比，精准区分同类变式题型，提升审题辨析能力； （4）严谨验证思想：结合实际场景的取值限制筛选方程有效解，培养严谨的数学思维. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）公式误用：单循环忘记除以2，或与双循环公式混用，是本节课最高频错误； （2）原理模糊：不理解公式推导逻辑，遇变式题型无法灵活调整，只会机械套公式； （3）验根遗漏：忽略队伍数、人数必须是正整数，保留负数、小数等不符合实际的根； （4）审题失误：未看清“单循环、双循环、两两一次、双向互动”等关键题干条件，建模错误； （5）步骤残缺：解题格式不规范，缺少检验、作答、单位等必要步骤. 课后练习 3.某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支球队参加比赛？ 解：设共有 x 支球队参加比赛.由题意，得 x(x–1)=90， 解方程，得 x1=10，x2= – 9（不合题意，舍去）. 答：共有10支球队参加比赛. 习题 25.3 教材p24页 课后练习 9.如图，要设计一幅宽 20 cm，长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2. 如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？ 解：设横彩条的宽度为 3x cm，则竖彩条的宽度为 2x cm.根据题意，得： 30×20× = 30×20–(30–4x)(20–6x). 整理，得： 12x2–130x+75=0， 解得 x1= ，x2= . ∵ x>0，30–4x>0且20–6x>0， ∴0<x<， ∴x1=不合题意，舍去. 习题 25.3 教材p24页 ∴x = ≈ 0.6. ∴ 3x=1.8，2x=1.2. 答：设计横彩条的宽度约为 1.8 cm，竖彩条的宽度约为 1.2 cm. 课后练习 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元． （用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 探究性作业 解:（1）根据题意有： 平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， （2）根据题意，得：． 解得，． 经检验，或均符合本题要求． 答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 课后练习 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元． （用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 探究性作业 （3）不能；理由如下： 根据题意，得：． 化简，得：． ∵， ∴方程没有实数根， ∴商家平均每天盈利不能达到1350元． 谢谢聆听 $