精品解析：浙江杭州市文澜中学2026-2027学年九年级上学期开学考数学收心练习

文澜中学2026学年初三第一次考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得出顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：D． 2. 三角形的外心具有的性质是（ ) A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等 C. 外心在三角形外 D. 外心在三角形内 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心，根据三角形外心的定义进行解答即可． 【详解】A、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三边的距离相等不一定相等，故本选项错误； B、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三个顶点的距离相等相等，故本选项正确； C、∵锐角三角形的外心在三角形的内部，∴外心不一定在三角形外，故本选项错误； D、∵钝角三角形的外心在三角形的外部，∴外心不一定在三角形内，故本选项错误． 故选B． 3. 已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点在抛物线y＝x2﹣2x+m上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算自变量为−1、1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x+m＝1+2+m＝3+m；当x＝1时，y2＝x2﹣2x+m＝1﹣2+m＝﹣1+m；当x＝2时，y3＝x2﹣2x+m＝4﹣4+m＝m， 所以y2＜y3＜y1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为45． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键． 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 7. 已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( ) A. 12 B. 36 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设菱形的对角线分别为4x和3x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】设菱形的对角线分别为4x和3x， 已知菱形的周长为20，故菱形的边长为5， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8和6， 所以菱形的面积=×8×6=24， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 8. 如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过的最长的弦是圆的直径是10， 经过点的弦的长， 经过点的弦的长度不可能是7． 故选：A． 9. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长，相交于点P，过点C作于点H，先根据图形旋转的性质及等腰三角形的性质证明，然后证明，求得，，再根据三线合一性质求得，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】解：延长，相交于点P，过点C作于点H， 绕点C顺时针旋转到， ，，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点D为的中点， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，． 10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则时，y随x的增大而增大 B. 若，则时，y随x的增大而减小 C. 若，则时，y随x的增大而增大 D. 若，则时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合a的符号判断范围是解题关键． 令，求出x进而求出对称轴，再根据a的符号判断即可． 【详解】解：，解得或a， 对称轴为直线， A． 若，当时，时，y随x的增大而减小；时， 时，有y随x的增大而减小的情况，故此选项错误； B． 若，只有当时，则时，y随x的增大而增大成立，故此选项错误； C． 若，开口向下， ，图象完全在对称轴的左侧，则时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D． 若，则时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在____．（填“内”或“外”或“上”） 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与半径的关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：点M到圆心O的距离为4，的半径为3， ∵， ∴点M在外． 故答案为：外． 12. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ． 【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和， ∴点与点为二次函数图象上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点 与 关于直线对称， 即 时， ， ∴ ， ∴方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 14. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据图象开口方向判断的符号，结合对称轴判断与的关系，根据与轴交点判断的符号；利用对称性确定时的函数值符号；利用函数的最值性质判断不等式 . 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上 ， ， 对称轴为直线， ，故②正确； ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即，故④正确 综上所述，正确的结论是②③④ . 15. 在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 16. 如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：延长至K，使得，连接，，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 18. 已知：如图，、是的两条弦，且，求证：． 【答案】 证明： ∵， ∴ 弧=弧， ∴弧=弧 ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，熟练掌握三者关系是解题关键； 根据圆心角、弧、弦的关系得到弧=弧，则弧=弧，所以． 【详解】略 19. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，算出圆的直径，得到圆的半径，再算出．过圆心作于点，由，可知是等腰直角三角形，求出圆心到弦的距离，然后在中利用勾股定理求出半弦长，最后由垂径定理，平分弦，求出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ， ， ， ． ，， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理，， ， 由勾股定理，在中，， ， ， 由垂径定理，， ． 20. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵是等腰三角形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而可得结论； （2）连接，根据圆周角定理求得，进而求得可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 21. 如图，正方形中，，是对角线上的一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）设和的面积分别为和，若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：过点作，分别交，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，分别交，于点，则可得四边形是矩形，可得，再证，，，可得，故可得结论； （2）用分别表示出和的值，可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴, ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 又， 设，， ， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 在中，． 22. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． （1）求关于的函数表达式． （2）矩形场地的总面积为，求出的值． （3）当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）的值为12 （3）当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【解析】 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； 【小问2详解】 当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； 【小问3详解】 由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 23. 已知二次函数（a，c是常数，）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当时，随的增大而减小，求的范围； （3）已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线； （2）的取值范围是； （3）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，即时递减， 题目要求时，y随x增大而减小， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， 点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时， ∵在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴； 当在右侧时， ∵关于对称轴的对称点为，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴； 综上可知，或． 24. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ； ② （2）的长是3或9 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质证出，，再根据三角形的全等判定即可；②连接交于点O，过点B作于点G，由矩形的性质和勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，再求出是等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）情况1，先求出的长，再根据对称性，直角三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，最后再求出，即可得答案；情况2，由情况1和勾股定理求出的长，由对称性求出，由直角三角形和勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：①略； ②连接交于点O，过点B作于点G，如下图所示： 四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：，即 ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； 【小问2详解】 如下图，情况1，当点P在的下方时， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点， ， ， 由对称性可知：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 如下图，情况2，当点P在的上方时， 由以上题意可知：， ， 在中，由勾股定理得：， 由对称性可知：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， 综上所述，的长是3或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文澜中学2026学年初三第一次考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 三角形的外心具有的性质是（ ) A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等 C. 外心在三角形外 D. 外心在三角形内 3. 已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）三点在抛物线y＝x2﹣2x+m上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y1＜y3 D. y2＜y3＜y1 4. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　） A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s 6. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( ) A. 12 B. 36 C. 24 D. 48 8. 如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，其中点A，点B的对应点分别为点E,点D，当点D在线段上时，连接，若点D为的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则时，y随x的增大而增大 B. 若，则时，y随x的增大而减小 C. 若，则时，y随x的增大而增大 D. 若，则时，y随x的增大而减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的半径为3，点M到圆心O的距离为4，则点M在____．（填“内”或“外”或“上”） 12. 若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为________． 13. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 14. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 15. 在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 16. 如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求该函数的解析式． （2）当时，求的取值范围． 18. 已知：如图，、是的两条弦，且，求证：． 19. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，，，求的长． 20. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 如图，正方形中，，是对角线上的一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）设和的面积分别为和，若，直接写出的长． 22. 如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． （1）求关于的函数表达式． （2）矩形场地的总面积为，求出的值． （3）当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 23. 已知二次函数（a，c是常数，）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当时，随的增大而减小，求的范围； （3）已知点，都在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 24. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $