25.1 一元二次方程的概念 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进覆盖一元二次方程概念到综合应用，通过基础巩固、问题建模与实践操作，培养抽象能力、推理意识及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析与基础应用|选择题判断方程类型、填空题根的构造，强化符号意识| |提升层|方程转化与实际问题建模|解答题增长率问题、比赛场次方程，发展推理能力| |综合层|数学文化与实践操作|收纳盒制作实践题、花拉子米方程史，体现应用意识|

新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 一元二次方程的概念 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程。 · 一般形式：（）。是二次项系数，是一次项系数，是常数项；化一般形式时注意符号。 · 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。判断一个数是不是根，只需代入方程检验。 · 从实际问题列方程的关键：找准等量关系（面积、周长、比赛场次等），设未知数后先列方程，再化为一般形式。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） ．　　．　　．　　． ．将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） ．　　．　　．　　． ．下列各数中，是方程 的根的是（　　） ．　　．　　．　　． ．如图，一块长、宽的矩形纸板，四角各剪去一个边长为 的正方形，折成无盖长方体盒子后底面积为，则可列方程为（　　） ．　　． ．　　． ．若关于的方程 是一元二次方程，则的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．若关于的一元二次方程 的常数项为，则的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．某次同学聚会，参加的每个人都与其他人恰好握手一次，共握手次。设参加聚会的人数为，则可列方程为（　　） ．　　．　　．　　． ．将方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．写出一个以 为根的一元二次方程：（答案不唯一）。 ．若 是关于的方程 的一个根，则。 ．某矩形花圃的宽为 ，长比宽多 ，面积为 ，根据题意可列方程为。 ．若是方程 的根，则 的值为。 ．如图，一个直角三角形的两条直角边相差，面积为。设较长的直角边长为 ，则可列方程为。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分） 将方程 化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项； 检验 是否为该方程的根。 ．（本题分）某工厂一月份产值为亿元，若平均每月增长率为，三月份产值达到亿元。 列出关于的一元二次方程，并化为一般形式； 检验 是否满足题意。 ．（本题分）已知关于的方程 。 当取何值时，该方程是一元二次方程？ 当取何值时，该方程是一元一次方程？并求出此时方程的解。 ．（本题分）阅读材料：若一元二次方程 满足 ，则称该方程为“合系方程”。 判断方程 是否为“合系方程”； 若方程 是“合系方程”，求的值； 请证明：任何一个“合系方程”必有一个根为。 ．（本题分）某校计划举办篮球邀请赛，采用单循环赛制（每两队之间都比赛一场），共需比赛场。 设参赛球队数为支，列出关于的方程，并化为一般形式； 检验是不是所列方程的根，并回答参赛球队数。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读与思考·一元二次方程的千年之旅】 约公元年，波斯数学家花拉子米在《代数学》中系统地讨论了形如“”的方程。他使用的是纯粹的几何方法：把看作一个边长为的正方形，把拆成两个矩形，再补上一个小正方形使之成为大正方形——这正是今天“配方法”的雏形。我国古代数学著作《九章算术》中也记载了通过“开方”求解二次方程的问题。 根据材料回答： 花拉子米研究的方程 中，把代入方程，验证它是否为该方程的根； 把 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项； 仿照花拉子米的思路想一想：把边长为的正方形与两个长为、宽为的矩形拼在一起，为什么要补上一个正方形？补上的正方形的边长是多少？（只需回答边长，不必解方程） ．（本题分）【综合与实践·制作无盖收纳盒】 劳动课上，老师给每个小组发了一张正方形纸板，要求在四个角上各剪去一个同样大小的小正方形，折成一个无盖的长方体收纳盒（如图）。设正方形纸板的边长为，剪去的小正方形的边长为 。 用含的代数式表示收纳盒的底面边长和底面积； 当时，求收纳盒的底面积； 当时，求收纳盒的容积，并想一想：能取到吗？为什么？ 新人教版九年级上册 第章 一元二次方程 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．（答案不唯一） ． ． ． ．（即） 三、解答题 ． ，二次项系数，一次项系数，常数项； 不是该方程的根 【分析】先展开左边，再移项合并同类项化为一般形式；把代入方程左右两边验证是否相等。 【详解】解：左边展开得 ， 移项得 ，即 。 二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 解：当时，左边， 不是该方程的根。 【评分标准】展开并移项正确得分，指出一般形式及三项系数各得分（共分）；代入计算正确得分，结论正确得分（共分）。 ． ，一般形式 ； 满足题意 【分析】根据增长率公式列方程并展开整理；把代入方程验证。 【详解】解：由题意得 ， 展开得 ，即 。 解：当时，左边， 是该方程的根，满足题意。 【评分标准】列方程正确得分，化为一般形式正确得分（共分）；代入计算正确得分，结论正确得分（共分）。 ． ； 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为；一元一次方程要求二次项系数为且一次项系数不为。 【详解】解：方程为一元二次方程，，即。 解：当时，方程化为 ，解得 。 此时二次项系数为，一次项系数，符合一元一次方程定义。 【评分标准】条件列对得分，结论正确得分（共分）；确定值正确得分，解方程正确得分，结论正确得分（共分）。 ． 是； ； 见详解 【分析】验证系数和是否为；利用列关于的方程求解；把代入方程左边，利用说明左边等于。 【详解】解：方程 是“合系方程”。 解：由题意得 ， 整理得 ，解得 。 此时 ，符合一元二次方程定义。 证明：把代入方程左边，得 。 方程为“合系方程”，， 即时方程左边等于右边， 是该方程的一个根。 【评分标准】判断正确得分（共分）；列方程正确得分，解对得分，检验得分（共分）；代入正确得分，利用说明得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． ，一般形式为； 是方程的根，参赛球队数为支 【分析】单循环赛制中，支球队每两队赛一场，比赛场数为；把代入方程两边验证是否相等。 【详解】解：由题意得 ， 去分母得 ， 即，化为一般形式为 。 解：当时，左边，右边， 左边右边，是所列方程的根， 参赛球队数为支。 【评分标准】列方程正确得分，化为一般形式正确得分（共分）；代入计算正确得分，结论正确得分（共分）。 四、综合与实践 ． 是方程的根； ，二次项系数，一次项系数，常数项； 补上小正方形才能拼成完整的大正方形；边长为 【分析】把代入方程两边验证是否相等；移项即得一般形式；按拼图分析缺角部分的边长。 【详解】解：当时，左边，右边， 左边右边，是方程 的根。 解：移项得 ， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 解：边长为的正方形与两个长为、宽为的矩形拼在一起，缺一个角， 补上边长为的小正方形后恰好拼成一个完整的大正方形。 补上的正方形边长为。 【评分标准】代入计算正确得分，结论正确得分（共分）；化为一般形式正确得分，三项系数各得分（共分）；说理合理得分，边长正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 ． 底面边长为，底面积为； ； ；不能取到 【分析】折起后底面边长纸板边长；代入计算；的取值要保证底面边长为正。 【详解】解：剪去四角后折起，底面是正方形， 底面边长为 ，底面积为 。 解：当时，底面边长为 （）， 底面积为 （）。 解：当时，收纳盒的高为， 容积 （）。 不能取到：因为当时，，底面边长为， 折不成盒子，必须满足。 【评分标准】底面边长得分，底面积得分（共分）；计算正确得分（共分）；容积正确得分，说理正确得分（共分）。其他合理解法参照评分标准酌情给分。 学科网（北京）股份有限公司 $