第4章 4.8 正弦定理和余弦定理的综合应用（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦正弦定理和余弦定理综合应用，涵盖测量术语、实际问题、多边形及“三线”问题等高考核心考点，按“基础术语—实际应用—综合问题”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解三角形知识体系与解题思路。 资料以“数学眼光”抽象实际问题为三角形模型，“数学思维”强化推理运算，如用等面积法、向量法突破“三线”问题。设计分层练习与真题精讲，如首钢大跳台测量实例，培养学生应用意识与创新思维，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

4．8　正弦定理和余弦定理的综合应用 【课标要求】 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． [对应学生用书P114] 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做__仰角__，目标视线在水平视线下方的角叫做__俯角__ 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做__方位角__．方位角θ的范围是__0°≤θ＜360°__ 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．(√) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×) (4)方位角与方向角的实质是一样的，均能确定观察点与目标点之间的位置关系．(√) 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图，则灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝____________． 解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a. 答案　a 4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为____________m. 解析　如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，由＝，得AE＝10，所以AB＝30＋10(m). 答案　30＋10 5．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为____________km. 解析　在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km). 答案　 [对应学生用书P115] 考点一　解三角形的实际应用 重难考点　师生共研 (1)首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点、C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线).该学习小组利用这些数据估算得AB约为60 m，则CD的高h约为(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　　) A．11 m B．20.8 m C．25.4 m D．31.8 m (2)一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为12 海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的(　　) A．正西方向上 B．南偏西75°方向上 C．南偏西60°方向上 D．南偏西45°方向上 [解析]　(1)由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°， 在Rt△ABE中，AE＝＝， 在△ACE中，由正弦定理得＝， 所以CE＝， 所以CD＝CE＝， 又sin 75°＝sin (45°＋30°)＝， 所以CD＝＝60－20≈60－20×1.73＝25.4(m). (2) 如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得＝，则AD＝＝24. 在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，则sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°. 因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上． [答案]　(1)C　(2)C 解三角形实际应用问题的常见类型及解题策略 求解与测量距离、高度有关的问题 画出示意图，先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接利用正、余弦定理求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． 求解角度问题 根据实际问题画出图形，并在图形中标出有关的角和距离，利用正、余弦定理进行求解，最后将解得的结果转化为实际问题的解． [注意]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向时，必须先弄清是哪一个点的方向角．另外也要注意方位角、俯角和仰角的含义． 1．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC 解析　对于A，已知∠BCD，∠BDC，CD，即可解△BCD，可得BC，再由AB＝BC·tan ∠ACB，可求得塔高，即A符合题意；对于B，由∠ACB，∠BCD，∠ACD与CD无法求得塔高，即B不符合题意；对于C，已知∠ACD，∠ADC，CD，即可解△ACD，可得AC，由AB＝AC·sin ∠ACB，可求得塔高，即C符合题意；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB， 由tan ∠ACB＝，可用AB表示BC， 由sin ∠ACB＝，可用AB表示AC， 在△ACD中，已知∠ADC，边CD，用AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD， 在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD， 在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB，故D符合题意．故选ACD. 答案　ACD 2．为了测量一个不规则公园C，D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1 km的A，B两点，点B在点A的正东方向上，且A，B，C，D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75°方向上，则C，D之间的距离为____________km. 解析　由题意可知，∠CAB＝45°，∠DAB＝90°＋45°＝135°，∠DBA＝15°，∠CBA＝90°＋15°＝105°，∠CBD＝15°＋75°＝90°，故在△ABC中，∠ACB＝180°－45°－105°＝30°，故＝，BC＝＝，在△ABD中，∠ADB＝180°－15°－135°＝30°，故＝，BD＝＝，所以在△DBC中，∠CBD＝90°，则CD＝＝＝2. 答案　2 考点二　多边形中的解三角形问题 重难考点　师生共研 如图所示，四边形ABCD为圆O的内接四边形，其中AB＝，BC＝3，CD＝2，DA＝1. (1)求sin D的值； (2)求四边形ABCD的面积及圆O的半径． [解析]　(1)连接AC(图略)，因为四边形ABCD为圆内接四边形， 所以∠B＋∠D＝π，所以cos B＝－cos D. 在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B， 可得AC2＝2＋9＋2××3cos D＝11＋6cos D. 在△ADC中，由余弦定理AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos D， 可得AC2＝1＋8－2×1×2cos D＝9－4cos D. 所以11＋6cos D＝9－4cos D，得cos D＝－， 又D∈(0，π)，所以sin D＝＝. (2)由(1)知，sinD＝， 因为∠B＋∠D＝π，所以sin B＝sin D＝， 所以S△ABC＝AB·BC sin B＝××3×＝， S△ADC＝AD·DC sin D＝×1×2×＝， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ADC＝＋＝. 结合(1)得，AC2＝11＋6cos D＝11＋6×＝，所以AC＝， 设圆O的半径为R， 可得2R＝＝＝， 所以圆O的半径R＝. 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 3．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍． (1)求AD·sin ∠DAC的值； (2)当CD＝3时，求线段DE的长． 解析　(1)∵S△ACD＝·AC·AD·sin ∠DAC，S△ABC＝·AC·BE，S△ACD＝2S△ABC， ∴·AC·AD·sin ∠DAC＝AC·BE. ∴AD·sin ∠DAC＝2·BE＝2. (2)由题可得CE＝1. 在△ACD中，＝， ∴AD·sin ∠DAC＝CD·sin ∠ACD＝2. 又CD＝3，∴sin ∠ACD＝， ∴cos ∠ACD＝± ＝±. 在△CDE中，DE2＝CE2＋CD2－2·CE·CD·cos ∠ACD. 当cos ∠ACD＝时，DE2＝12＋32－2×1×3×＝8，∴DE＝2. 当cos ∠ACD＝－时，DE2＝12＋32－2×1×3×＝12，∴DE＝2. 综上，DE＝2或2. 考点三　三角形的“三线”问题 多维探究　发散思维 角度1　高线问题 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin ＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． [解析]　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， ∴2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， ∴sin A cos C＝3cos A sin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2， 设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. 高线问题的处理策略 如图，在△ABC中，AD⊥BC. (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. (2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD. (3)a＝c·cos B＋b·cos C． 角度2　中线问题 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长． [解析]　(1)∵a sin C＝c sin B， ∴由正弦定理，得sin A sin C＝sin C sin B， ∵0＜C＜π，∴sin C＞0，∴sin A＝sin B， ∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B或A＋B＝π(舍去)， ∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝. (2)依题意得＝ab sin C， ∵A＝B，∴a＝b，∴＝a2sin ＝，解得a＝， 设边BC的中点为D，则CD＝， 在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××cos ＝， ∴BC边上中线的长为. 中线问题的处理策略 (1)可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解； (2)采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则＝(＋)，两边平方即可得到三角形边长之间的关系． 角度3　角平分线问题 (2025·东北三省四市联合体模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin B＝－b cos ∠BAC，∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD＝1. (1)求∠BAC的大小； (2)若a＝2，求△ABC的面积． [解析]　(1)因为a sin B＝－b cos ∠BAC， 所以由正弦定理可得sin ∠BAC sin B＝－sin B·cos ∠BAC， 因为sin B≠0，所以sin ∠BAC＝－cos ∠BAC， 故tan ∠BAC＝－，又0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝120°. (2)由题意可知S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 即c sin 60°＋b sin 60°＝bc sin 120°，化简可得b＋c＝bc. 在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－， 从而＝－，解得bc＝5或bc＝－4(舍)， 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×5×sin 120°＝. 角平分线问题的处理策略 (1)角平分线定理：已知AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝； (2)等面积法：S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即AB×AC×sin ∠BAC＝AB×AD×sin ＋AC×AD×sin ； (3)边与面积的比值：＝. 4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2b sin A＋b sin B＝c sin 2B. (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，b＝2，CD＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB. ①CD为△ABC的一条中线；②CD为△ABC的一条角平分线；③CD为△ABC的一条高线． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析　(1)由2b sin A＋b sin B＝c sin 2B及正弦定理得2sin B·sin A＋sin2B＝sinC·2sin B cos B， 因为在△ABC中，sin B＞0，所以2sin A＋sin B＝2sin C cos B， 又sin A＝sin (B＋C)， 所以2(sin B cos C＋cos B sin C)＋sin B＝2sin C cos B， 所以2sin B cos C＋sin B＝0，所以cos C＝－. 因为0＜C＜π，所以C＝. (2)若选①，因为＝(＋)， 所以＝(＋2·＋)，即4＝4＋a2＋2×2×a×，化简得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0(舍去). 所以AB＝＝2. 若选②，因为S△ABC＝S△CAD＋S△CBD， 所以×2×a×sin ＝×2×1×sin ＋×1×a×sin ，解得a＝2. 所以AB＝＝2. 若选③，由S△ABC＝×2×a×sin ＝×AB×1，解得AB＝a. 所以AB2＝22＋a2－2×2×a×＝3a2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去).所以AB＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $