第4章 4.7 正弦定理和余弦定理&拓视野11 解三角形中的射影定理（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦正弦定理、余弦定理及三角形度量问题核心考点，按公式推导、变形应用、解的判断、面积公式逻辑梳理知识体系，通过考点分析（求边长角、判断形状、面积问题）、方法指导（辅助角法、正余弦定理选择）、真题训练（新课标卷真题）环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 讲义突出数学思维与语言融合，如一题多变（判断形状条件变式）培养推理能力，利用2024新课标卷真题强化模型意识，设置分层练习（基础判断、能力提升题）。以“b cos C + c cos B = a sin A判断形状”为例，引导学生用正弦定理转化边角关系，培养逻辑推理，高效提升解题效率，为教师把控复习节奏提供支撑。

4．7　正弦定理和余弦定理 【课标要求】 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形度量问题． [对应学生用书P110] 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝__b2＋c2－2bc_cos_A__； b2＝__c2＋a2－2ca_cos_B__； c2＝__a2＋b2－2ab_cos_C__ 变形 (1)a＝2R sin A， b＝__2R_sin_B__， c＝__2R_sin_C__； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝__sin_A∶sin_B∶sin_C__ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3．三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝__ab_sin_C__＝__ac_sin_B__＝__bc_sin_A__； (3)S＝__r(a＋b＋c)__(r为三角形的内切圆半径). 1．三角形中的三角函数关系： (1)cos (A＋B)＝－cos C； (2)sin ＝cos ； (3)cos ＝sin . 2．在△ABC中，三边分别为a，b，c，面积为S.海伦公式：S＝. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(√) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(×) 2．(人A必修二P47例8改编)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．150° B．90° C．60° D．30° 解析　由正弦定理，得＝，得sin A＝.又a＜b，∴A＜B＝45°.∴A＝30°.故选D. 答案　D 3．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析　由题意得cos A＝＝＝， 又0°<A<180°，所以A＝45°. 故选A. 答案　A 4．(人A必修二P44T1(2)改编)在△ABC中，b＝，a＝1，B＝，则c＝________． 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2(c＝－3舍去). 答案　2 5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝____________． 解析　由S△ABC＝ac sin B＝×2c×＝4，得c＝8. 答案　8 [对应学生用书P111] 考点一　利用正弦、余弦定理求边长(角) 重难考点　师生共研 (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． [解析]　(1)方法一(辅助角法) 由sin A＋cos A＝2，得sin A＋cos A＝1， 所以sin ＝1. 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. 方法二(同角三角函数的基本关系法) 由sin A＋cos A＝2，得cos A＝2－sin A， 两边同时平方，得3cos2A＝4－4sinA＋sin2A， 则3(1－sin2A)＝4－4sinA＋sin2A， 整理，得1－4sinA＋4sin2A＝0， 所以(1－2sinA)2＝0，则sin A＝. 因为0<A<π，所以A＝或A＝. 当A＝时，sin A＋cos A＝2成立，符合条件； 当A＝时，sin A＋cos A＝2不成立，不符合条件． 故A＝. (2)由b sin C＝c sin 2B，得b sin C＝2c sin B cos B， 由正弦定理，得bc＝2cb cos B，所以cos B＝， 因为0<B<π，所以B＝. C＝π－(A＋B)＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝，得b＝＝＝2， c＝＝＝＋. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋3. 应用正弦、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解． (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解． (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 1．(2026·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝，a＝3sin B，则C等于(　　) A． B． C． D． 解析　在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cos A＝＝－， 由0<A<π，可得A＝， 又b＝，a＝3sin B， 由正弦定理得sin B＝＝＝＝， 又sin B>0，解得sin B＝， 又0<B<，因此B＝， 所以C＝π－A－B＝. 答案　D 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　) A． B． C． D． 解析　因为b＝8，c＝3，A＝60°， 所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7， 所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝. 答案　D 考点二　判断三角形的形状 一题多变　母题探究 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 [解析]　因为b cos C＋c cos B＝a sin A， 所以sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sinA＝sin2A，又0＜A＜π. 故sinA＝1，即A＝， 因此△ABC是直角三角形． [答案]　A 1．(变条件)若将本例的条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状． 解析　方法一　由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 即sin (A－B)＝0， 因为－π＜A－B＜π，所以A＝B， 故△ABC为等腰三角形． 方法二　由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b， 故△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)若将本例的条件改为“＝”，试判断△ABC的形状． 解析　方法一　由余弦定理得＝＝，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， 所以a＝b或c2＝a2＋b2， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二　由＝可知cos A＞0，cos B＞0， 即A∈，B∈， 结合题意及正弦定理可得＝， 即sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 判断三角形形状的两种常用途径 3．(多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为直角三角形 B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解 C．若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B D．若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形 解析　对于A，由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°， 即A＝B或A＋B＝90°， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，a sin B＝40sin 25°<40sin 30°＝40×＝20， 即a sin B<b<a，∴△ABC必有两解，故B正确； 对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°<A<90°，0°<B<90°，180°>A＋B>90°， 即90°>A>90°－B>0°， ∴sin A>sin (90°－B)＝cos B，故C正确； 对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1， 即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0， ∴cosC>0， 即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误． 答案　BC 考点三　与三角形面积有关的问题(考教衔接) 重难考点　师生共研 高考真题 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解析　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝， ∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 教材溯源 (人A必修二P54T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，则△ABC的面积为，求b，c. 解析　(1)由a cos C＋a sin C－b－c＝0及正弦定理得 sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0. 因为sin B＝sin ＝sin ＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，∴sin A－cos A－1＝0 所以sin ＝. 又0<A<π，故A＝. (2)由题得△ABC的面积S＝bc sin A＝， 故bc＝4①. 而a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2，故b2＋c2＝8②， 由①②得b＝c＝2. 预测高考 (2025·安徽皖南八校第三次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝sin2C－sin2B. (1)求B； (2)若tanC＝tan A＋tan B，c＝，求△ABC的面积． 解析　(1)由正弦定理得a＝c2－b2，即a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝. 因为0<B<π，所以B＝. (2)由三角形内角和性质得A＋B＋C＝π， 则tan C＝－tan ＝－＝－， 整理可得tan C·＝0，则2－tan A tan B＝0， 由tan B＝tan ＝，解得tan A＝， 则sin A＝， 由tan C＝tan A＋tan B＝，则sin C＝， 由正弦定理可得＝＝＝7，则a＝7sin A＝2， 所以△ABC的面积为ac sin B＝. 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积． (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系． (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 4．(2025·浙江杭州一模)已知在△ABC中，sin2A－sin2B＝sin2C－sinB sin C，2cos B＝sin C. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且BD＝2AD.若CD＝2，求△ACD的面积． 解析　(1)由sin2A－sin2B＝sin2C－sinB sin C可得a2－b2＝c2－bc， 故bc＝c2＋b2－a2，进而cos A＝＝＝，由于A∈(0，π)，故A＝， 又2cos B＝sin C，故2cos B＝sin (B＋A)＝sin ＝sin B＋cos B， 化简可得sin B＝cos B，故tan B＝， 由于B∈(0，π)，故B＝， 进而C＝π－B－A＝，故三角形为直角三角形． (2)由于B＝，A＝，且△ABC为直角三角形， 设AB＝2x，则AC＝x，BC＝x，AD＝AB＝， 故在三角形ACD中，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos A， 即4＝＋－2×××，解得x2＝， 故S△ACD＝AD·AC·sin A＝××x×＝x2＝×＝. 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A. (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝a cos B＋2cos A，2b＝c，且cos C＝－，则△ABC的面积为________． [解析]　(1)由射影定理a cos B－b cos A＝c＝a cos B＋b cos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. (2)由三角形中的射影定理c＝a cos B＋b cos A，结合已知条件c＝a cos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为ab sin C＝×3×2×＝. [答案]　(1)C　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $