29.2.3圆周角（第2课时 圆内接四边形）（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆内接四边形，核心知识点包括定义、对角互补及外角等于内对角的性质。通过回顾圆周角定理及4道练习题巩固旧知，类比三角形外接圆自然导入新课，构建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于以观察猜想证明探究性质，培养推理能力，例题与课堂演练融入多解法及几何直观，小结系统梳理知识提升模型意识。助力学生发展数学思维与应用能力，为教师提供丰富教学资源及学科特色教学方法。

人教版(新教材) 九年级上册 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第2课时　圆内接四边形 第二十九章 圆 1.如图，所对的圆心角是______ ，所对的圆周角有______ ，______，∠ABD___∠ACD，它们都等于∠AOD度数的 ． ∠AOD ∠ABD ∠ACD = 一半 知识回顾 知识点链接 圆周角：顶点在圆上，角的两边都与圆相交 圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆相交 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 练一练 知识回顾 2. 如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB.若∠ABO＝25°，则∠C＝____ ． 65° 练一练 知识点链接 OA=OB. ∠ABO＝25° ∠AOB＝130° ∠C＝∠AOB＝65° 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 知识回顾 3.如图，AB，BC是⊙ O的弦，AB＝3，∠ACB＝30°，则⊙ O的半径等于(　　) A. 1.5 B. 3 C. 4.5 D. 6 　B　 练一练 知识点链接 D ∟ 1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角 常用辅助线： ①构造同弧对的圆周角 ②利用直径构造直角三角形 30° 30° 4、如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝____． 30° 练一练 知识点链接 知识回顾 D 延长AO交⊙O于D，连结CD ∠DCA＝90° ∠D＝∠B＝60° ∠CAO＝30° 导入新课 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 .这个三角形叫做 . 经过四边形各顶点的圆叫做四边形的 .这个四边形叫做 . O · · · D B C A O · B C A 类比 外接圆 圆内接四边形 外接圆 圆内接三角形 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆内接多边形的概念 观察下图 ►图中多边形ABCDEF的顶点和⊙O的位置关系？ ＊多边形ABCDEF所有顶点都在⊙O上。 ＊多边形ABCDEF是⊙O的内接多边形， ＊ ⊙O是多边形ABCDEF的外接圆. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 提示： “内接”“外接”是指多边形与圆的位置关系，是一个图形对另一个图形相对而言的。 · O F C E A · · · · D · B · ►三角形顶点都在圆上叫圆内接三角形，如果多边形所有顶点都在同一个圆上，该如何命名？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：圆内接多边形的概念 · O D B C A · · · · （1）图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？ 四边形的所有顶点都在⊙O上。 （2）这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 讨论 （3）这个四边形ABCD各角是圆中什么角？各角对的弧是图中哪段弧 ∠A、∠B、∠C、∠D均为圆周角 ∠A ∠C ∠B ∠D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 讨论 环节二：探究圆内接四边形性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,观察∠A、∠C所对弧的位置，你有什么发现？ · O D B C A · · · · 两弧对的圆心角度数和是360° 猜想：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角 ∠A与∠C有什么数量关系？对角∠B与∠D也符合这种数量关系吗？ ∠A+∠C=180° ∠B+∠D=180° 如何证明这个猜想？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形, 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 环节二：探究圆内接四边形性质 证明：连接OB，OD，由图可得：    ∠A所对弧是 ， ∠C所对弧是 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝ ×360° ＝ 180°， 同理∠B＋∠D＝180°. · O D B C A · · · · · 结论：圆内接四边形的对角互补. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 环节二：探究圆内接四边形性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,延长BC至E，图中∠A与∠DCE的大小有何关系？并说出理由。  ∠A＝∠DCE.　　 理由如下： ∵∠A＋∠C＝180°， ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. · O D B C A · · · · E · 结论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆内接四边形性质 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 圆的内接四边形性质 总结 圆的内接四边形的对角互补. · O D B C A · · · · E · 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1　在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－36°＝144°. D B C A O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2. 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BOD=100°，求 ∠A 和∠C 的度数. 例题讲解 解：在⊙O 中，∠A 与∠BOD 所对的弧都是， 又四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠C +∠A = 180°. ∴∠C = 130°. ∴ ∠A = ∠BOD = ×100° = 50°. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例3.　如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE. 解：∵A，B，C，D四点共圆， ∴ ∠CDA＋∠ABC＝180°， ∠3＝∠ABC. 又∵AC＝BC， ∴∠1＝∠ABC， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2，（同弧所对的圆周角相等） ∴∠2＝∠3， 即DC平分∠BDE. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 (1) 解为直径， . 又 ， . . (1) 解为直径， . 证法一 证法二 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 （2）证明： ① 如图，延长至点 . 四边形 是圆内接四边形， . 又 ， （同位角相等，两直线平行） 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图，在圆内接四边形中， ，，延长至点，使，延长 至点，连接，使 . （1）若 ，为直径，求 的度数; （2）求证：① ；② . 例题讲解 ② 证明： 过点作交圆于点 ， 连接,,则 . ， . . 四边形 是圆内接四边形， . , . . ， ， . 又， . . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1.若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（　　） A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4 C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1 C 2（延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　） A． B．2 C．3 D．不能确定 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°， ∴∠A＝180°﹣145°＝45°， ∵BH⊥AD，AB＝4，由勾股定理得： ∴BH2， B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度． 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵四边形OABC为平行四边形， ∴∠AOC＝∠B. ∵∠AOC＝2∠ADC. （一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半） ∴ ∠B＝2∠ADC ∵∠ADC+ ∠B =180° ∴∠ADC＝180°÷3＝60°. 60 D B C A O 连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC. ∴∠OAD＋∠OCD ＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 4如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，求∠DOE的度数 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠BCD＝2∠BAD， ∴∠BAD＝60°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝2∠DAE＝60°， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO+∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°， ∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∠ABO＝60°， ∴OBAB＝2， ∴OAOB ∴A（，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（，1）． B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6.如图，已知AC＝2，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为　　． 解：如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠B＝∠CDT， ∴∠ADC+∠CDT＝180°， ∴S四边形ABCD＝S△ACT， ∵AC＝CT＝2， ∴当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大， 最大值224． 4 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，求∠BCD的度数 解：方法一： 连接OD，如图所示 ∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°， ∴∠OAD＝∠ODA＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠OAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110° 方法二： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠A＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110° 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 8.（龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数； （2）若AC＝EC，求证：AD＝BE． （1）解： ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠ADC＝86°， ∴∠ABC＝94°， ∴∠CBE＝180°﹣94°＝86° （2）证明： ∵AC＝EC， ∴∠E＝∠CAE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠E， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠CBE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠CBE， 在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC， ∴AD＝BE． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 9.如图，四边形内接于 ，是的中点，延长到点 ，使，连接， . （1）求证： ； 证明是的中点， . . 四边形内接于， . 又 ， . 又, . （2）若 ，，求 的半径. 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 9.如图，四边形内接于 ，是的中点，延长到点 ，使，连接， . （1）求证： ； （2）若 ，，求 的半径. 【解】如图，连接并延长交 于点， 连接，则 . ， . 又 ， . . 又 ， . 的半径为 . 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $