29.2.3圆周角(第1课时 圆周角定理)（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角定理及其推论，通过足球射门角情境导入，回顾圆心角、弧弦关系等旧知，搭建从圆心角到圆周角的学习支架，引导学生逐步探究新知。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，分圆心在角的边上、内部、外部三种情况证明定理发展推理能力，结合中考题演练强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

人教版(新教材) 九年级上册 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第一课时 圆周角定理 第二十九章 圆 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 知识回顾 O B A 如图：∠ AOB是所对的圆心角，是∠ AOB所对的弧. 同理， ∠AOB是弦AB所对的圆心角，弦AB是∠AOB所对的弦. 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧(同为优弧或劣弧)、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 2.弧、弦、圆心角之间的关系 文字语言 符号语言 图示 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ∠ AOB=∠ COD  1. 如图 29.2－8，在⊙ O 中， = ，有下列结论：①AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD； ④ AC = BD 中，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：∵ = ， ∴ AB=CD，故①正确 . ∵ = ，∴ = ∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD， 故②③④正确 . 知识回顾 练一练 D 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC= 40°，D是 的中点，则∠OCD的度数为______ 55° 解：连接OD. ∵D是 的中点，∴ = ∴∠COD= ∠BOD. ∵∠AOC=40°， ∴∠COD= (180°- ∠AOC)=70°. ∵OC=OD， ∴∠OCD= (180°- ∠COD)=55°. 知识回顾 练一练 O B A C D 导入新课 同学们喜欢踢足球，足球场有句顺口溜： 足球场射门示意图 D 在射门时(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关. 冲向球门跑，越近就越好； 歪着球门跑，射点要选好 根据三点确定一个圆，球员位置B与大门两边的A、C这三点是在同一个上圆，当球员跑动时，如果正好是在图中D点或E点进行射门，那么此时的射门角∠ADC或∠AEC与∠ABC相比较有没有变化？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 导入新课 ►►球员在圆上不同点对着球门射门，射门角∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么特征？与圆心角比较最大的区别是什么？ ►►猜想： ∠ABC==∠ADC=∠AEC 即同一段球门弧对应的射门角度相等。 O A E B C D 开始今天的学习 ——圆周角定理及其推论 猜想对吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 O A B C 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定义 （2）观察图形，在⊙O中， ∠AOB是圆的什么角？ ∠ACB与∠AOB所对的弧一样吗？ 讨论 （1）观察图形，在⊙O中， ∠ACB有什么特征？ 角的顶点C在圆上，角的两边CA、CB都与圆相交于A、B两点 圆周角 ∠AOB是圆心角 ∠ACB是圆周角 对的弧一样 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 圆心角 圆周角 区别 联系 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都与圆相交 2. 圆周角与圆心角的对比 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上；两者两边均与圆相交。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 活动1 已知∠BAC是⊙O的一个圆周角，画出图形，观察圆心与圆周角的位置你有什么发现？ A B C O A B C O A B C 圆心在圆周角边上 圆心在圆周角内部 圆心在圆周角外部 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 活动2 画出弧BC对的圆心角，并用量角器量一量弧AB对的圆心角和圆周角的度数，比一比，有什么发现？ O A B C O A B C O A B C 猜想：圆周角是对应圆心角的一半。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆周角定理 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC O A B C O A B C O A B C 三种情况需要分别证明。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C OA = OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ ∠A=∠ BOC 符号“”读作“推出”，“AB”表示由条件A推出结论B. 分析： 第一种情况，圆心在角的一边上 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C 第一种情况，圆心在角的一边上 证明：如图，圆心O在边AB上. ∵ OA = OC（半径相等）， ∴ ∠A= ∠C（等边对等角）. 又 ∵ ∠BOC是△OAC的外角， ∴ ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ， ∴ ∠BAC =∠ BOC 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆周角定理 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC O A B D O A C D O A B C D 第二种情况 圆心O在∠BAC的内部 分析： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 第二种情况 圆心O在∠BAC的内部 证明 ：连接ＡO并延长交⊙O于D. 由情况1可知:∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC. ∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = ∠BOD +∠DOC = （∠BOD＋∠DOC） = ∠BOC. A B C O D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 情况三 圆心O在∠BAC的外部 分析： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C D 证明：如图，连接AO并延长交⊙O于D， 由情况1可知： ∠CAD=∠DOC， ∠BAD = ∠BOD， ∴ ∠BAC = ∠CAD－∠BAD =－ ∠BOD = （∠DOC－∠BOD） = ∠BOC. 情况三 圆心O在∠BAC的外部 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二 探究圆周角定理 定理 情况 图示 几何语言 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的外部 3.圆周角定理 结论 ∵ = ∴ ∠ACB=∠AOB 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图29.2-12，点A， B， C 在 ⊙ O上，AC⊥ OB，垂足为D，若∠ A=35°，则∠ C的度数是(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 解： ∵∠ A=35° ， ∴∠ O=2 ∠ A=70° . ∵ AC ⊥ OB， ∴∠ CDO=90° . ∴∠ C=90° －∠ O=90° －70° =20° . 环节二 探究圆周角定理 练一练 A 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三 ：探究圆周角定理推论 讨论 A1 A2 A3 如图，A1、A2、A3都在圆上，比一比∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C与∠BAC的大小有什么发现？ ∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C与∠BAC都 角 他们是夹的弧是 ， 这段弧对的圆心角是 ， ∠BA1C= ∠BA2C= ∠BA3C = ∠BAC= 圆 周 ∠BOC ∠BOC ∠BOC ∠BOC ∠BOC 结 论：∠BA1C=∠BA2C=∠BA3C=∠BAC=∠BOC 在 ⊙ O中 所对的圆周角都相等，都等于弧所对的圆心角一半 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 4.圆周角定理的推论 ★推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. ∵等弧所对的圆心角相等， ∴我们也可以说，等弧所对的圆周角相等。 环节三 ：探究圆周角定理推论 ∵ = ∴ ∠AEB=∠CFD 讨论 如图，等弧所对的圆心角相等吗？ 几何语言： ∵ = ∴ ∠ACB=∠ADB 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么样的弦？为什么？ 讨论 O A B C 180° 90° ∟ O A B C 180° 90° ∟ 反之 ∵∠BOC=2∠BAC=2×90°=180°, ∴BC过圆心O，BC是O的直径。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 几何语言 （1）∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° （2）∵ ∠ACB=90° ∴ AB是⊙O的直径 环节三：探究圆周角定理的推论 4.圆周角定理的推论 ★推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径， O A B C ∟ 直径 圆周角是直角 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 [中考·广东] 如图 AB是⊙O的直径，∠ BAC=50 °，则∠D= (　　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 问题分析 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ ACB=90°. ∴∠ BAC+ ∠ B=90°. ∵∠ BAC=50°，∴∠ B=40 °. ∴∠ D= ∠ B=40 °. 环节三：探究圆周角定理的推论 练一练 B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长. 解：连接OD. ∵ AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABC中， (cm) ∵ CD平分∠ACB ∴ ∠ACD=∠BCD ∴ ∠AOD=∠BOD ∴ AD=BD 又 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ∴ AD=BD=AB=×10=5(cm) A B C O D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：连接，如图， ∵在中，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中， 例题讲解 例2.如图，在中，为的直径，已知，，， ，求 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例3.已知：在半径为的内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点． （1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：． （2）若，，求O、P两点之间的距离． 解：（1） ∵AB⊥CD ∴ 为直角三角形， ∵F为BC的中点， ∴，． 又∵，， ∴． ∵， ∴ ∴． 例题讲解 M ∟ N ∟ （2）作于M 于N， ∴OMPN为矩形． 连接OB，OD，OP，由垂径定理，得 ，． 由勾股定理，得 ，．∴． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半   是所对的圆心角， 是所对的圆周角，  推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等   和都是所对的圆周角  推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径   是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 特别提醒 1. 定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧，这是定理成立的条件，也是运用定理时容易出现错误的地方. 2. “同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 拓宽视野 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 课堂小结与知识梳理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1.下列图形中的角是圆周角的是( ) 解：选项A 中的角的顶点在圆上，但是两边不都与圆相交； 选项B 中的角的顶点在圆上，但是两边都不与圆相交； 选项D 中的角的顶点不在圆上，故它们都不是圆周角. 选项C 中的角满足圆周角必须同时具备的两个条件，因此是圆周角. 课堂演练 C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2、填空： （1）如图1-1，已知中，，，则__________．   （2）如图1-2，，弦AB与弦CD交于点E，，则等于_______．  （3）如图1-3，中，，截的三边所截得的弦都相等，则_____． 图1-1 图1-2 图1-3 50 º 45 º 125 º ∠B=∠C ∠B=∠C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3. （2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)． 解:如图，  ∵弦AB分圆周长为1：4 ∴弧AB＝×360°＝72° ∴圆心角∠AOB＝72°， 圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144° 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 4.（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，内接于，连接，若，求的度数 解：延长交于点E，连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， A B C O E 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 解:（1）直径平分， ， ，     ， ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 5.（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． （2）过点B作， 在中，根据勾股定理得                                                        在中，根据勾股定理得          ，                          ． H ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 6.如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　） A．110° B．112.5° C．115° D．117.5° 解：如图，取 中点，连接，连接 由题意知，且在一条直线上， ， ∴∴ ∵， ∴ ∴ ∵∴ ∴ ∴ ∴， B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $