专题07 相似三角形判定与性质基础压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以解题通法为纲，通过6大题型系统构建相似三角形判定与性质的方法体系，从基础模型到综合应用层层递进，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5步法+口诀|找等角（AA判定）、定目标三角形、比例变形、面积比平方等通法|从判定基础到性质应用，形成“判定-性质-变形”逻辑链| |题型归纳|6题型（含A/X型、母子相似等）+典例变式|平行型用A/X模型，非平行用共角AA，面积问题结合相似比平方|从基础模型（平行）到综合应用（函数结合），难度梯度分明| |压轴挑战|选择填空解答3类|网格用SSS判定，动态问题分类讨论|对接中考压轴，强化复杂情境下的推理与模型构建能力|

专题07 相似三角形判定与性质基础压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 型、X 型（平行型相似，基础必考） 题型二、斜 A、斜 8（非平行，共角模型，高频中档） 题型三、母子相似（直角三角形射影模型，压轴常客） 题型四、网格中的相似三角形 题型五、相似与函数结合（九年级压轴主流） 题型六、相似 + 面积综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1.找等角：先标记图中相等角（对顶角、公共角、互余角、平行线内错角、外角），优先用 AA 判定（考试占 70%）。 2.定目标三角形：要证哪两个三角形相似，圈出两个三角形顶点；切忌乱找三角形。 3.写比例式：相似对应边成比例；注意：对应顶点顺序必须对齐。 4.比例变形： 证线段乘积式：，转化为比例，找相似三角形。 线段比求值：利用相似传递比例；没有现成相似，作平行线构造 A 型 / X 型。 5.面积问题：先求相似比，再平方得面积比；不相似用 “同高三角形面积比 = 底之比”。 通法口诀：先找角，定三角；改乘积，化比例；遇动点，要分类；面积比，看平方 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 型、X 型（平行型相似，基础必考） 【典例1】．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 【典例2】．（2025九年级上·安徽六安·专题练习）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可． 【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点D在AB上，， ∴，， ∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为， 当和时，均有， 综上分析，的取值范围是． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键． 【典例3】．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案； 解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出， 即可得出答案； 【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H． 因为． 所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以． 所以， 所以． 解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，所以． 因为M为AD的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H． 因为，所以， 所以． 因为M为AD的中点，所以，所以． 因为，所以， 所以． 因为D为BC的中点，且， 所以． 解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H． 在中， 因为M为AD的中点，， 所以N为AH的中点，即． 在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即， 所以． 所以． 题型模版 考法：求线段长、线段比值、周长、面积。 【变式1-1】．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，推出，得出，根据，推出，得出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE． 【变式1-2】．在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1-3】．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果； （2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论． 【详解】解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM==4， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC， ∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形， ∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM， ∴， 解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=， ∴正方形DEFG的边长为； （2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：， ∴DE=． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比． 题型二、斜 A、斜 8（非平行，共角模型，高频中档） 【典例4】．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________． 【答案】5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 【典例5】．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式． 题型模版 核心：没有平行线，靠一组公共角 / 对顶角 + 另一组等角证 AA 【变式2-1】．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 【答案】9 【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 【变式2-2】．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】 证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】略 【变式2-3】．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）24． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型三、母子相似（直角三角形射影模型，压轴常客） 【典例7】．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论； （2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论； （3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论； 【详解】（1）∵与互为母子三角形， ∴或2 故选：C （2）是的角平分线， ， ， ． 又， 与互为母子三角形．        （3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 如图，当分别在射线上时， 与互为母子三角形， ， ， 是中线， ， 又， ． ， ， ． 综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解． 题型模版 常用结论： AC ²=AD⋅AB,BC ²=BD⋅AB,CD ²=AD⋅BD 注意：沪科版不直接叫射影定理，大题必须写出相似再推导乘积，不能直接默写结论。 【变式3-1】．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1) 证明： 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 (2) 证明： 又 ，即 ． 又 ，即 (3) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 【变式3-2】．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【答案】(1) 证明：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 证明：由（1）得，， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， 即， ， (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等． （2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论． （3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键． 【变式3-3】．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型四、网格中的相似三角形（选择填空） 【典例8】．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【详解】∵△RPQ∽△ABC， ∴，即， ∴△RPQ的高为6． 故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处． 故选B． 【典例9】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_______．    【答案】10 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为，以及网格图形中，最长线段为，进行尝试，可确定、、10为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴与相似的格点三角形的三边的比值为， 在网格图形中，最长线段为， 但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，不符合题意， 在图中尝试，可画出三边，，的三角形，    ∵， ∴， ∴， ∴此时的面积为：， 为面积最大的三角形， 其斜边长为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了设计网格图形、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【典例10】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【答案】(1) 如图1，即为所求； (2) 如图2，即为所求． 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、画旋转图形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合相似三角形的判定，画的各边长分别为、、即可． 本题考查作图—相似变换、作图—旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 方法：勾股定理算出各三角形边长，用 SSS 判定三边成比例。 【变式4-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 【变式4-2】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是______，符合条件的格点三角形共有______个． 【答案】 10 16 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】根据Rt△ABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与Rt△ABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=1，BC=2， ∴AB=，AC：BC=1：2， ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=，DF=的三角形， ∵， ∴△ABC∽△DFE， ∴∠DEF=∠C=90°， ∴此时△DEF的面积为：，△DEF为面积最大的三角形； Rt△ABC的三边为1：2：的直角三角形， ∵相似，直角边为1：2， ∴直角边应为与，如图中4个， 每旋转90°又有4个， ∴共4×4=16（个）． 故答案为：10；16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理并运用数形结合思想是解题． 【变式4-3】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为4． 【答案】(1) 如图所示：即为所求： (2)如图所示，即为所求． 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据要求，画出一个，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得； （2）根据题意可知，进而可知的相似比为，求出边长即可作图． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为：1，由图可知：， 由勾股定理，得：，，，， ∴， ∴， ∴． （2）∵，，且， 则， ∴的相似比为， 则，， 题型五、相似与函数结合（九年级压轴主流） 【典例11】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，． (1)求m的值及反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）将点代入直线，求得，然后将点代入，求得，即可求解； （2）过点作轴，根据得到，求出或，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， 把B点的坐标代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图，过点B作轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数以及相似三角形的有关性质． 【典例12】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的最值、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）先求出点、坐标，确定抛物线的解析式为，根据平行线的性质得点的纵坐标，进而求出点的坐标及的长，再利用相似三角形的判定和性质求解即可； （2）如图，过作轴交于点，设，得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得；当时，得， ∴，， 又∵过点，的抛物线与轴的另一个交点为， ∴设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴设抛物线解析式为， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同都是， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作轴交于点，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，掌握相似三角形的判定和性质及二次函数的性质是解题的关键． 【典例13】．（24-25九年级下·四川泸州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． (3)是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解； （3）由题意作点关于轴的对称点，作直线交轴于，此时的值最大． 【详解】（1）解：点在直线上， ，则， 点， 点在双曲线上， ， 该反比例函数的表达式为； （2）解：由，得， 或， 当时，；时，， 点， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， 平行于， ， ， ， ． 点在双曲线上， ，且， 在中，，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，作直线交轴于， 则， 此时最大， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，相似三角的判定和性质，勾股定理，轴对称最短，掌握相关知识并能灵活综合应用是解题的关键． 【变式5-1】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质和判定，抛物线与坐标轴的交点，二次函数求最值． （1）首先求出，，然后证明出得到，然后利用待定系数法求解即可； （2）依据垂线段最短，利用等积法求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴，即， ∵，即 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴    ∴即 把点，点代入， 得，     解得： ∴； （2）当时，取最小值， ∵， 则， ， 解得：， ∴的最小值为． 【变式5-2】．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，直线是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，当时，求点D的坐标； (3)如图2，设直线交抛物线对称轴于点E，连接、，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大为2 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数几何最值、定值、动点问题，熟练掌握并利用待定系数法求二次函数的解析式，对于动点问题能够“化动为定”利用题意提供的信息列出等量关系是解题的关键，（1）利用待定系数法，将点和对称轴代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点D作，垂足为H，由（1）可得抛物线顶点的坐标，得，的长，设点D的横坐标为t，则，易证，可得，进而得到， ，故点D的纵坐标为 ，利用 ，解得，即可得点D坐标；（3）过点D作，垂足为Q，设，则得到，的长，由于，可得，故 ，可得 ，则，故当时，最大． 【详解】（1）解：点在抛物线上，直线是抛物线的对称轴， ∴ 解得，， ∴， （2）解：过点D作，垂足为H， 由抛物线可知顶点， ∴，， 设点D的横坐标为t，则， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴点D的纵坐标为 ， ∴ ， 解得或（舍）， 即点D的坐标为 ， （3）解：过点D作，垂足为Q，设， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∴当时，最大为2， 【变式5-3】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，则令时，， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 题型六、相似 + 面积综合 【典例14】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为6，求平行四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式． （1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解； （2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴； （2）解：如图，过点E作于点M，交CF于点N． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∵的面积为6， ∴，即， ∴平行四边形的面积． 【典例15】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)矩形的面积为10，的长为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，因为，所以，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明． （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，求得，所以，则，推导出，再证明，得，求得，． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为10，的长为． 题型模版 1.考法：多个三角形面积比、四边形面积。 2.技巧： ①相似：面积比 = 相似比平方； ②不相似：同高面积比等于底之比，同底面积比等于高之比； ③经常两种方法混合使用。 【变式6-1】．已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【答案】（1）-1； （2）①； ②证明：由题意设，则． 记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F， 即， 因为，所以． 又，所以，所以． 所以，所以，即． 所以， 即．① 把代入，得， 解得， 所以．② 将②代入①，得， 即，解得，即． 所以过点A且与x轴垂直的直线为， 将代入，得，即， 将代入，得， 即， 所以，因此， 所以与的面积相等． 【知识点】相似三角形的判定综合、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可； （2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可 【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点， 以方程有两个相等的实数根， 所以，即． （1）因为抛物线过点，所以， 所以，即． 所以， 当时，取到最小值． （2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点， 所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧． 又点中恰有两点在抛物线的图象上， 所以只能是在抛物线的图象上， 由对称性可得抛物线的对称轴为，所以， 即，因为，所以． 又点在抛物线的图象上，所以， 故抛物线的解析式为． ②略 【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键． 【变式6-2】．如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形． (2)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质可证，推出，，进而推出，即可证明为等腰直角三角形； （2）①先证，为等腰直角三角形，通过导角证明，解求出，即可求出线段的长；②证明，推出，结合，可得 ，再证，可得与的相似比为k，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①为等腰直角三角形， ， 又， ，为等腰直角三角形， 在和中，，， ， 在中，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ②，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 正方形中， ，， ， ， 与的相似比为k， 与的面积比为， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式6-3】．已知，分别以、为直角边作和，且． (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，点关于的对称点是点，若在射线上，且，求； (3)如图3，连接、，若的面积比的面积大10，且，求的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)18 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似，证明，再结合已知的比例即可求出所求线段的长度； （2）由（1）可知：，推出，，从而得到，推出，设，，则，求得，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，连接，证明，推出，从而得到，推出，可得，，①－②，得：，再由题干中给的比例即可求出答案． 【详解】（1）解：∵和都是直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∴， 在中，由勾股定理，得； （2）解：如图，连接，， 点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∴点、、三点共线,． ∵点关于的对称点是点， ∴，， ，即， 由（1）可知：， ， ， ， ， 设，，则， ∴由勾股定理可得， ∴， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，连接， ∴， ， ∴，即， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ①－②，得：， 又， ， ∴，即， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的判定，并作出适当的辅助线． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 2．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点作，证明出，找出与的关系即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 4．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 5．如图，线段与相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④，能单独判定和相似的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定条件逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，， ①，能单独判定和相似； ②，能单独判定和相似； ③，不能单独判定和相似； ④，即，能单独判定和相似； 能单独判定和相似的个数为3个， 故选：B． 6．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 二、填空题 7．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 8．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 9．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是函数图象上一点，的延长线交函数（，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点，点C关于x轴的对称点为，连结交x轴于点B，连结，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于 _______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．过A作轴于D，连接，由题意设A，；可证，推出；根据，得到结合，解得：总有或16；由题意推出在同一条直线上，得，根据由线段所围成的图形的面积即可求解； 【详解】解：过A作轴于D，连接， 由题意设，，其中； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由点坐标可知，， ∴， ∵， ∴，即； 解得：或（舍去）． 则有； 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴在同一条直线上， ∴， ∵ ∴由线段所围成的图形的面积． 故答案为：． 10．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______． 【答案】8 【分析】连接OC，在RtABC中，点O是AB的中点，得到OC＝AB＝OA，根据角平分线的定义得到∠OAC＝∠EAC，得到∠OCA＝∠EAC，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMNC＝S△AOC，DAM∽DEN，得到S梯形AMNC＝S△AOC＝S△AEC＝6，求得S△AOD＝9，延长DA交y轴于P，易得DAM∽DPO，设EN＝a，则AM＝2a，推出S△DAM：S△AOM＝2：1，于是得到结论． 【详解】解：连接OC，在RtABC中，点O是AB的中点， ∴OC＝AB＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC是∠BAD的角平分线， ∴∠OAC＝∠EAC， ∴∠OCA＝∠EAC， ∴AE∥OC ∴S△AEC＝S△AOE， 过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N， ∵A、E都在反比例函数y＝的图象上， ∴S△AOM＝S△EON， ∴S梯形AMNE＝S△AOE， ∵AM∥EN， ∴DAM∽DEN， ∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6， ∴S△AOD＝12， 延长DA交y轴于P，易得DAM∽DPO， 设EN＝a，则AM＝2a， ∴ON＝，OM＝， ∴MN＝，DN＝， ∴DM：OM＝2：1， ∴S△DAM：S△AOM＝2：1， ∴S△AOM＝4， ∴k＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将ACE的面积转化为AOC的面积是解题的关键． 三、解答题 11．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 12．如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求与的面积之比． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； (2)，理由如下： 四边形是菱形， ，， 由（1）知，， ， 又， ， ； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可； （2）由菱形可得，，由（1）知，，则，再由三线合一得到，最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； （3）先证明，再证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，， ， ， 设，则，， ， ∵ ， ∵， ， ． 13．如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴． （2）过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 综上为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 14．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1)四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， (2)或， 理由：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴，（可作结论） ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系． （1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得． （3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点． ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，取的中点，连接即可； （2）取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； （3）取格点，，使且，连接交于点，连接，则点即为所求． 【详解】（1）解：取BC的中点D，连接AD，则AD即为所求． 如图①所示：略 （2）解：取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； 如图②所示：略 （3）解：取格点，，使且，连接交于点，连接， 如图③，略 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点即为所求． 16．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数表达式： (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②2或；③． 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）①作交于，交于点，先用勾股定理求出对应的边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可； ②先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出； ③先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵已知直线与、轴交于点、点， ∴当时，，点； 当时，，点． ∵抛物线过点、点、点， ∴， 解得：，，． ∴抛物线的解析式为：． （2）①作交于，交于点， ∵点，点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，轴， ∴轴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当有最大值时，取到最大值． ∵点在上，点在上， 又∵点的横坐标为， ∴点，点． ∵点在点上方， ∴ ． ∴当时，有最大值为． ∴的最大值为：． ②∵， ∴． ∵中某角， ∴分情况讨论：（i）；（ii）． 在线段上找中点，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）①可得, ∴． ∵、点， ∴点，即点． 情况（i）：， ∵，， ∴． ∵设直线的解析式为：， 代入点，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设直线的解析式为：， 代入点、点， 得： 整理得：． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，解得． 情况（ii）：， 作交于． ∵， ∵，，， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵点，点， ∴， ， ， ， ． ∵由（2）可得，， ∴， ． ∵在和中， ， ∴． ∴， ∴，即． ∴， ， ． 又∵， ∴， ， ， 解得：，（舍）． 综上：或． ③对函数配方： ， ， ， ， ∴顶点为，当时，． ∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大； 当点在对称轴的右边时，随的增大而减小． 分情况讨论： 情况（i）：在对称轴的左边，且，即， ∵， ∴． ∵由，得． ∴当时，（舍）； 当时，，代入函数得：， ，即， 解得，即（舍），． 情况（ii）：在对称轴的右边，且，即， ∴当时，； 当时，． 又∵， ∴， ， ， 解得：（舍），（舍）． 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，包含的考点有二次函数的待定系数法、一次函数的图像与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，掌握数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 17．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1) 证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； (2) 证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题是等腰直角三角形与旋转结合的几何综合题，围绕“线段关系证明”和“面积计算”展开，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． 18．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)有最大值为，点坐标为 (3) 【分析】（1）将，代入中，列出关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点，由两点坐标可得所在直线表达式，求得点坐标，则，由，可得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． （3）设与轴交于点，根据轴可知，，，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； 【详解】（1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）如图所示： 设与交于点．过作轴的平行线与相交于点． 由两点坐标分别为， 可得表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． （3）如图所示： 设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形判定与性质基础压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 型、X 型（平行型相似，基础必考） 题型二、斜 A、斜 8（非平行，共角模型，高频中档） 题型三、母子相似（直角三角形射影模型，压轴常客） 题型四、网格中的相似三角形 题型五、相似与函数结合（九年级压轴主流） 题型六、相似 + 面积综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1.找等角：先标记图中相等角（对顶角、公共角、互余角、平行线内错角、外角），优先用 AA 判定（考试占 70%）。 2.定目标三角形：要证哪两个三角形相似，圈出两个三角形顶点；切忌乱找三角形。 3.写比例式：相似对应边成比例；注意：对应顶点顺序必须对齐。 4.比例变形： 证线段乘积式：，转化为比例，找相似三角形。 线段比求值：利用相似传递比例；没有现成相似，作平行线构造 A 型 / X 型。 5.面积问题：先求相似比，再平方得面积比；不相似用 “同高三角形面积比 = 底之比”。 通法口诀：先找角，定三角；改乘积，化比例；遇动点，要分类；面积比，看平方 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 型、X 型（平行型相似，基础必考） 【典例1】．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025九年级上·安徽六安·专题练习）在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围． 【典例3】．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 题型模版 考法：求线段长、线段比值、周长、面积。 【变式1-1】．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【变式1-2】．在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【变式1-3】．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 题型二、斜 A、斜 8（非平行，共角模型，高频中档） 【典例4】．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________． 【典例5】．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 题型模版 核心：没有平行线，靠一组公共角 / 对顶角 + 另一组等角证 AA 【变式2-1】．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 【变式2-2】．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【变式2-3】．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 题型三、母子相似（直角三角形射影模型，压轴常客） 【典例7】．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形． （1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（    ） A．2    B．    C．2或 （2）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3） 如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值． 题型模版 常用结论： AC ²=AD⋅AB,BC ²=BD⋅AB,CD ²=AD⋅BD 注意：沪科版不直接叫射影定理，大题必须写出相似再推导乘积，不能直接默写结论。 【变式3-1】．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【变式3-2】．（2025·安徽合肥·一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角） 【变式3-3】．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 题型四、网格中的相似三角形（选择填空） 【典例8】．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【典例9】．（24-25九年级上·安徽六安·期中）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_______．    【典例10】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 题型模版 方法：勾股定理算出各三角形边长，用 SSS 判定三边成比例。 【变式4-1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4-2】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知是网格中的格点三角形，则该网格中与相似且面积最大的格点三角形的面积是______，符合条件的格点三角形共有______个． 【变式4-3】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为4． 题型五、相似与函数结合（九年级压轴主流） 【典例11】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于点，点C在x轴上，且，． (1)求m的值及反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标． 【典例12】．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，过点，的抛物线与轴的另一个交点为，点为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点． (1)当时，求； (2)求面积的最大值． 【典例13】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． (3)是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 【变式5-1】．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是上一动点，求的最小值． 【变式5-2】．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，直线是抛物线的对称轴，且与抛物线交于点C，与x轴交于点P，动点D在B、C之间的抛物线上（与B、C不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，当时，求点D的坐标； (3)如图2，设直线交抛物线对称轴于点E，连接、，求面积的最大值． 【变式5-3】．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 题型六、相似 + 面积综合 【典例14】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，延长平行四边形一边至点F，连接交于点E，． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为6，求平行四边形的面积． 【典例15】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． (1)求证：； (2)F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 题型模版 1.考法：多个三角形面积比、四边形面积。 2.技巧： ①相似：面积比 = 相似比平方； ②不相似：同高面积比等于底之比，同底面积比等于高之比； ③经常两种方法混合使用。 【变式6-1】．已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【变式6-2】．如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 【变式6-3】．已知，分别以、为直角边作和，且． (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，点关于的对称点是点，若在射线上，且，求； (3)如图3，连接、，若的面积比的面积大10，且，求的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是边的中点，点F为边上任意一点，交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，线段与相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④，能单独判定和相似的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 二、填空题 7．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 8．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____． 9．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是函数图象上一点，的延长线交函数（，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点，点C关于x轴的对称点为，连结交x轴于点B，连结，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于 _______． 10．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°，点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数(k0)的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为______． 三、解答题 11．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 12．如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求与的面积之比． 13．如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)线段的长为 ； (2)当时，求点到的距离； (3)当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； (4)当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 14．如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积． 15．如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 16．如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数表达式： (2)如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，的取值范围是，且，求的值． 17．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 18．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $