专题08 命题与证明（专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦命题与证明全链条能力，以10类细分题型构建从概念辨析到逻辑推理的递进训练体系，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10类40题|覆盖命题判断、题设结论拆分、真假辨析、反例构造、证明依据填写等基础题型|从命题定义到定理应用，形成“概念→判断→推理→应用”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|11题|含跨知识点综合题（如结合平行线、三角形内角和）及逻辑推理题|深化知识迁移，衔接几何证明与代数推理，体现数学语言表达|

专题08 命题与证明 常考题型·精准突破 考点一 命题与证明 ◆题型1 判断是否是命题 1．B 【详解】解：A. 垂线段最短，是可以判断真假的陈述句，是命题，故A不符合题意； B. 过点作直线的垂线，是作图指令，不是陈述句，无法判断真假，不属于命题，故B符合题意； C. 取任何数时的值都是正数，是可以判断真假的陈述句，是命题，故C不符合题意； D. 如果，，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，故D不符合题意． 2．C 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 3．B 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 4．A 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． ◆题型2写出命题的题设与结论 5．如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 6．如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 7． 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 8． 解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形； 条件：一个三角形的三个角都相等； 结论：这个三角形是等边三角形. 【详解】略 ◆题型3判断命题真假 9．D 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 10．D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 11．C 【详解】解：∵两直线不平行时同位角不相等，∴A是假命题． ∵是有理数，∴B是假命题． ∵经纬度可确定地球表面内唯一位置，∴北纬，东经能定位甘肃省博物馆，C是真命题． ∵点横坐标为负且纵坐标为正，位于第二象限，∴D是假命题． 12．真 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． ◆题型4举反例 13．C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 14．B 【详解】解：反例需要满足条件，不满足结论， 对选项B，，，满足，即，而，，可得，即，不满足原命题结论， 选项B符合题意； 其余选项均满足，也满足，不符合题意． 15．A 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 16．（答案不唯一） 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． ◆题型5定理与证明 17．B 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 18．B 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 19．D 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 20．A 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． ◆题型6已知证明过程填写理论依据 21．①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【详解】略． 22．等式的基本事实 ；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角度计算；； ；同旁内角互补，两直线平行 【详解】略． 23．证明：∵（已知）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换 ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴（ 等量代换 ）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【详解】略 24．；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【详解】证明：略． ◆题型7根据给出的论断组命题并证明 25． 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【详解】略 26．(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 27．(1) 一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； (2) 都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 28．(1)命题见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型8逻辑推理与论证 29． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 30．0148 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 31． 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 32． 5 6 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余 33．C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 34．A 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 35．B 【详解】∵在中，， ∴． 36．或或 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； ◆题型10锐角互余的三角形是直角三角形 37．B 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 38．A 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 39．直角 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 40． 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．B 2．A 3．A 4．A 二、填空题 5． 是整数 是偶数 真 6．72 7． 三、解答题 8． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 9． 两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 10． (1) 解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 11． (1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 命题与证明 常考题型·精准突破 考点一 命题与证明 题型1 判断是否是命题。 题型2写出命题的题设与结论。 题型3判断命题真假。 题型4举反例。 题型5定理与证明。 题型6已知证明过程填写理论依据。 题型7根据给出的论断组命题并证明。 题型8逻辑推理与论证。 题型9直角三角形的两个锐角互余 题型10锐角互余的三角形是直角三角形 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 命题与证明 ◆题型1 判断是否是命题。 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 【答案】B 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 垂线段最短，是可以判断真假的陈述句，是命题，故A不符合题意； B. 过点作直线的垂线，是作图指令，不是陈述句，无法判断真假，不属于命题，故B符合题意； C. 取任何数时的值都是正数，是可以判断真假的陈述句，是命题，故C不符合题意； D. 如果，，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，故D不符合题意． 2．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 3．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 4．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 【答案】A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． ◆题型2写出命题的题设与结论。 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 6．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 7．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 8．把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件和结论． 【答案】 解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形； 条件：一个三角形的三个角都相等； 结论：这个三角形是等边三角形. 【详解】略 ◆题型3判断命题真假。 9．下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 10．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 11．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 【答案】C 【详解】解：∵两直线不平行时同位角不相等，∴A是假命题． ∵是有理数，∴B是假命题． ∵经纬度可确定地球表面内唯一位置，∴北纬，东经能定位甘肃省博物馆，C是真命题． ∵点横坐标为负且纵坐标为正，位于第二象限，∴D是假命题． 12．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． ◆题型4举反例。 13．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 14．能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论即可． 【详解】解：反例需要满足条件，不满足结论， 对选项B，，，满足，即，而，，可得，即，不满足原命题结论， 选项B符合题意； 其余选项均满足，也满足，不符合题意． 15．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 16．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． ◆题型5定理与证明。 17．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 18．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 19．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 20．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． ◆题型6已知证明过程填写理论依据。 21．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 22．完成下列推理说明：如图，，，，可推出，，完成下列空白： ，， （______）． ____________（______）． （______）． ， （______）． ____________（______）． 【答案】等式的基本事实 ；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角度计算；； ；同旁内角互补，两直线平行 【分析】由已知条件以及等量代换可得，再根据同位角相等，两直线平行即可证得；根据两直线平行，内错角相等可得最后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得． 【详解】略． 23．推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 【答案】证明：∵（已知）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换 ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴（ 等量代换 ）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【分析】首先结合已知条件和平行线的性质得出，然后利用平行线的判定得出． 【详解】略 24．完成下面推理过程． 如图：已知，，，于点，于点，求证：． 证明：，（已知）， ， ______（______）， ______（______）． ，（已知）， （______）， ， ______（______）， ______（______）， （______）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，等量代换，证明即可； 【详解】证明：略． ◆题型7根据给出的论断组命题并证明。 25．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 26．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 27．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1) 一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； (2) 都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 28．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型8逻辑推理与论证。 29．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【答案】 【分析】根据已知条件，队单循环每队踢场，没输过、没赢过、胜，积分满足且各不相同，逐步推导各队胜负即可得到结论． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 30．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 【答案】0148 【分析】先根据A的猜测结果排除错误数字，再结合C的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B的评判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码. 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 31．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【答案】 【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3. 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 32．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 5 6 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余 33．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 34．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 35．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 36．如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； ◆题型10锐角互余的三角形是直角三角形 37．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 38．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 39．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 40．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 1．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，C，D都对对应事件作出了明确判断，都属于命题； 而选项B连接两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题． 2．下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的x可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】要说明该命题为假命题，反例需要满足命题条件，但不满足命题结论，只需找到符合该要求的x即可． 【详解】解：∵反例需要满足命题条件，不满足命题结论， ∴反例中的x需要满足且， 当时，，满足命题条件，但，不满足的结论，符合反例要求， 选项B中时，，不满足，选项C中、选项D中都同时满足和，均不符合要求． 4．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 二、填空题 5．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 6．在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 【答案】72 【分析】先确定乙的两张卡片上的数字为，根据甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，得到甲同学手里两张卡片上的数字组合只能是或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，两个不同的正整数的和为4的只有， 故乙手中的两张卡片数字为和， ∵， ∴甲手中的两张卡片上的数字只有8和9或10和7两种情况， 当甲手中的两张卡片上的数字为8和9时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，7，10， 其中和为13的只有和，故戊手中的两张卡片上的数字为和； 和为12的为10和2，和为9的为4和5，即丙手中的两张卡片上的数字为10和2，丁手中的两张卡片上的数字为4和5，符合题意； 故甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为； 当甲手中的两张卡片上的数字为10和7时，则剩余三人手中的卡片数字只有2，4，5，6，8，9， 其中和为12的只有4和8，和为9的只有4和5， 数字4只有一张，不符合题意； 综上：甲同学手里两张卡片上的数字的乘积为． 7．如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 三、解答题 8．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 9．完成下面的证明． 如图，，点分别在直线上，，交于点．求证：． 证明：（已知）， （______）． （已知）， （等式的基本事实）， ______（同旁内角互补，两直线平行）． （______）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等 【分析】利用平行线的性质和平行线的判定即可求解． 【详解】略 10．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1) 解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 11．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 命题与证明 常考题型·精准突破 考点一 命题与证明 题型1 判断是否是命题 题型2写出命题的题设与结论 题型3判断命题真假 题型4举反例 题型5定理与证明 题型6已知证明过程填写理论依据 题型7根据给出的论断组命题并证明 题型8逻辑推理与论证 题型9直角三角形的两个锐角互余 题型10锐角互余的三角形是直角三角形 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 命题与证明 ◆题型1 判断是否是命题。 1．下列不属于命题的是（     ） A．垂线段最短 B．过点C作直线的垂线 C．取任何数时的值都是正数 D．如果，那么 2．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 3．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 4．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 ◆题型2写出命题的题设与结论。 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 6．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 7．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 8．把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件和结论． ◆题型3判断命题真假。 9．下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 10．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 11．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 12．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． ◆题型4举反例。 13．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 14．能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 15．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 16．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） ◆题型5定理与证明。 17．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 19．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 20．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 ◆题型6已知证明过程填写理论依据。 21．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 22．完成下列推理说明：如图，，，，可推出，，完成下列空白： ，， （______）． ____________（______）． （______）． ， （______）． ____________（______）． 23．推理填空： 已知，如图，、是直线，，，． 求证:． 证明：∵（已知）， ∴ （                                      ）． ∵（已知）， ∴ （                     ）． ∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． ∴ （             　　　　      ）， ∴（            　　　　　　　    ）． 24．完成下面推理过程． 如图：已知，，，于点，于点，求证：． 证明：，（已知）， ， ______（______）， ______（______）． ，（已知）， （______）， ， ______（______）， ______（______）， （______）． ◆题型7根据给出的论断组命题并证明。 25．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 26．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 27．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 28．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． ◆题型8逻辑推理与论证。 29．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 30．由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 31．桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 32．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． ◆题型9直角三角形的两个锐角互余 33．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 35．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 36．如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． ◆题型10锐角互余的三角形是直角三角形 37．在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 38．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 39．如图，平分，，，，则是____三角形． 40．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 综合攻坚·知能拔高 1．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 2．下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 3．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的x可以是（    ） A． B．0 C．1 D． 4．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 二、填空题 5．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 6．在一次数学活动课上，老师将写有共十个整数的不透明卡片（每张卡片仅写一个数字，且数字不重复）背面朝上洗匀后，随机发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人恰好两张卡片．五位同学观察自己卡片后，在黑板上写下各自卡片数字之和： 甲：17    乙：4    丙：12    丁：9    戊：13 根据以上信息，甲同学手里两张卡片上的数字之和为17，则这两个数字的乘积是________． 7．如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________． 三、解答题 8．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 9．完成下面的证明． 如图，，点分别在直线上，，交于点．求证：． 证明：（已知）， （______）． （已知）， （等式的基本事实）， ______（同旁内角互补，两直线平行）． （______）． 10．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 11．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $