专题04 数式规律探究 （压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以四步通法为核心，分四类题型系统归纳数式规律，通过典例变式与压轴挑战培养抽象能力与推理意识，实现方法迁移与思维提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法+1补充公式|标序号-拆分特征-猜想通项-代入验证，含正负交替公式|从通用方法到特殊规律，构建解题框架| |题型归纳|4题型（各1典例+3变式）|整数规律抓项数关系，等式规律分左右结构，分数规律拆分子分母，图形规律数形转化|从基础选择填空到压轴解答，难度梯度递进| |压轴挑战|选择6+填空3+解答10|复杂数表、图形序列、新定义运算规律探究|综合应用通法与题型技巧，突破思维上限|

专题04 数式规律探究 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数数字规律（选择、填空高频基础题） 题型二、等式算式规律（压轴高频题） 题型三、分数规律 题型四、图形衍生数式规律（数形结合压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用于所有数字、算式、分数、图形衍生数式规律题，零基础可直接套用 第一步：标序号 将数列、等式、图形依次对应项数 n（n=1、2、3、4……正整数），所有规律均围绕序号n展开，这是解题核心纽带。 第二步：拆分特征 把每一项拆分为不变部分和变化部分：固定不变的内容直接照抄；变化的部分重点分析与序号n的数量关系（倍数、平方、正负、递增递减）。 第三步：猜想通项 结合变化规律，用含n的代数式表示出第n项、第n个等式或第n个图形对应数值。 第四步：代入验证 将n=1、n=2、n=3代入推导的代数式，核对是否与原题数据一致，验证无误即为正确答案。 补充：正负交替规律专属公式（必考） 1. 规律：+、-、+、-……交替 → 符号表示：(-1)ⁿ⁺¹ 2. 规律：-、+、-、+……交替 → 符号表示：(-1)ⁿ 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数数字规律（选择、填空高频基础题） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 【变式1-1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 题型二、等式算式规律（压轴高频题） 【典例2】．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.题型特征：给出一组结构相似的等式，求第n个通用等式 2.解题核心：等式左右两边分开找规律，分别用含n的代数式表示左右结构，再整合为完整等式 【变式2-1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 【变式2-2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【变式2-3】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 题型三、分数规律 【典例3】．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算：__________． 【典例4】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 题型模版 1.题型特征：分数数列，分子、分母分别呈现独立规律，分母多为两个连续自然数乘积 【变式3-1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为__________ （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为________ 【变式3-2】．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【变式3-3】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … (1)按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算；的值． 题型四、图形衍生数式规律（数形结合压轴） 【典例5】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第①幅图中“”的个数为，第②幅图中“”的个数为，第③幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，________； （2）________． 【变式4-1】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【变式4-2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知，且n为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，，…… (1)按上述分裂要求，________； (2)按上述分裂要求，可以分裂成________个奇数的和，其中最大的奇数是________． (3)用上面的分列规律求：． 【变式4-3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）用边长相同的正方形和正三角形两种瓷砖进行设计、拼接、铺设地面，如图所示． 【观察思考】 第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推． 【规律总结】 （1）第5个图案有_______个正三角形。 （2）第n个图案中有________个正三角形，（用含n的代数式表示） 【问题解决】 （3）如果每块正方形瓷砖45元，每块正三角形瓷砖20元，当时，求铺设地面共需花多少钱购买瓷砖． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 2．把连续奇数按如下规律排列： （1） （3，5，7） （9，11，13，15，17） （19，21，23，25，27，29，31） … 发现奇数7在第2组第3个，奇数13在第3组第3个，奇数29在第4组第6个，则奇数2021在（　　） A．33组第49个 B．33组第50个 C．33组第51个 D．32组第50个 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）规定“*”新运算：，，，，，请你找到这些算式的规律，计算的结果为（    ） A． B．12 C．32 D． 4．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 5．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是_________． 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题 10．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）“九宫格”是一种填数游戏，对培养学生的逻辑推理能力有很大的帮助． (1)现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都等于15． (2)利用你在（1）中发现的规律，将1，2，3，4，5， ，0填入图2的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都相等． 11．观察下列式子中的运算规律： ； ； ； (1)观察规律，写出第个等式：______ ； (2)设表示自然数，请根据这个规律把第个等式表示出来，并利用所学知识来证明这个等式成立． 12．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 13．观察下列各式，用你发现的规律解答问题： ①，②，③，… (1)请你按上述规律写出第4个等式：_______________； (2)猜想并写出第个等式：_______________； (3)用你发现的规律计算的值． 14．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 根据以上等式的规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式； (3)请用上述规律计算：． 16．观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 17．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列各式： ， ， ， …… 利用上述规律计算： （1）填空：_____； （2）计算：； 类比上述规律计算： （3）计算：． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察下列各式： … (1)计算：________； (2)根据规律，猜想：________； (3)根据规律，化简：． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 20．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数式规律探究 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数数字规律（选择、填空高频基础题） 题型二、等式算式规律（压轴高频题） 题型三、分数规律 题型四、图形衍生数式规律（数形结合压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 适用于所有数字、算式、分数、图形衍生数式规律题，零基础可直接套用 第一步：标序号 将数列、等式、图形依次对应项数 n（n=1、2、3、4……正整数），所有规律均围绕序号n展开，这是解题核心纽带。 第二步：拆分特征 把每一项拆分为不变部分和变化部分：固定不变的内容直接照抄；变化的部分重点分析与序号n的数量关系（倍数、平方、正负、递增递减）。 第三步：猜想通项 结合变化规律，用含n的代数式表示出第n项、第n个等式或第n个图形对应数值。 第四步：代入验证 将n=1、n=2、n=3代入推导的代数式，核对是否与原题数据一致，验证无误即为正确答案。 补充：正负交替规律专属公式（必考） 1. 规律：+、-、+、-……交替 → 符号表示：(-1)ⁿ⁺¹ 2. 规律：-、+、-、+……交替 → 符号表示：(-1)ⁿ 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整数数字规律（选择、填空高频基础题） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了乘方的应用，数字类的规律探究，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．从特殊出发，归纳得到一般规律：n个小时后细胞存活的个数是，再进一步解答即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，； …… n个小时后细胞存活的个数是， 当时，存活个数是． 故选：C． 【变式1-1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，通过计算的个位数字，发现其规律为以1、3、7、5每4个循环一次，根据2025除以4的余数，可确定的个位数字． 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律． （1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可； （2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可． 【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为， ∴当时，， 即第一行第10个数为， 故答案为：； （2）第一行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第二行第个数为， ∴第二行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第三行第个数为， ∴第三行第9个数为，第10个数，和为； ∴每一行第9个数和第10个数的总和为， 故答案为：． 题型二、等式算式规律（压轴高频题） 【典例2】．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 题型模版 1.题型特征：给出一组结构相似的等式，求第n个通用等式 2.解题核心：等式左右两边分开找规律，分别用含n的代数式表示左右结构，再整合为完整等式 【变式2-1】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 【答案】 1 7 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的乘方； （1）通过观察7的幂次的个位数字循环规律，周期为4，计算指数除以4的余数确定个位数字； （2）每个循环周期内个位数字之和的个位为0，因此完整循环不影响和的个位，只需考虑剩余项的个位和. 【详解】解：（1）∵的个位数字按7，9，3，1循环，周期为4， ∴，对应循环中第4个数字1， ∴的个位数字为1. （2）∵个位数字循环周期为4，每个循环个位数字之和为，个位为0， 又∵共2025项， 余1，即前2024项（506个循环）的个位数字之和的个位为0，剩余一项的个位数字为7， ∴的个位数字为7. 【变式2-2】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知： ， ， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 【变式2-3】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数； （2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答； （3）根据（2）的规律计算即可 【详解】（1）解：，右边幂的底数：， ，右边幂的底数： ，右边幂的底数： … ，右边幂的底数：， 等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 （2）解：； （3）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． 题型三、分数规律 【典例3】．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…，，… （2），，，，…，，… 利用以上规律计算：__________． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 根据题目中的式子的运算法则从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ． 故答案为：． 【典例4】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)1630 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据已知算式特点写出答案即可； （2）观察已知算式的特点写出等式即可； （3）根据（2）中总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 题型模版 1.题型特征：分数数列，分子、分母分别呈现独立规律，分母多为两个连续自然数乘积 【变式3-1】．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段检测）某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为__________ （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为________ 【答案】 /1.1/ 【知识点】倒数、多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据游戏规则即可得出结论； （2）表示出各位同学所报的数并用假分数表示，然后相乘计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：第10位同学报的数为， 前2022个数的积为． 故答案为：，． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，用假分数表示出各位同学所报的数是解题的关键． 【变式3-2】．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 【变式3-3】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … (1)按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算；的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （3）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； 本题考查数字变化类规律探究，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 第个等式为：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 题型四、图形衍生数式规律（数形结合压轴） 【典例5】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第①幅图中“”的个数为，第②幅图中“”的个数为，第③幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，________； （2）________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，图形类规律，解题的关键是正确找到规律． （1）由图找出规律求解即可； （2）由（1）可得，，则原式化为，再裂项求和即可． 【详解】解：（1）由图可得，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可得， ∴ 故答案为：． 【变式4-1】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)5000 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）将，写成，再根据（2）得出的一般规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式4-2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知，且n为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，，…… (1)按上述分裂要求，________； (2)按上述分裂要求，可以分裂成________个奇数的和，其中最大的奇数是________． (3)用上面的分列规律求：． 【答案】(1) (2)2023， (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的数字规律类探索问题， （1）找到平方数的初步分裂规律即可得到答案； （2）进一步分析平方数的分裂规律可以得到答案； （3）利用（2）得到的规律计算出，再把 中与相同的项减掉即可得到正确答案． 通过对几个特例的观察和归纳得出数字变化的一般规律是解题关键． 【详解】（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数， ∴； （2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1， ∴可分裂的最大奇数为， ∴可以分裂成2023个奇数的和，其中最大的奇数是； （3）由（2）得： =， ， ∴ ． 【变式4-3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）用边长相同的正方形和正三角形两种瓷砖进行设计、拼接、铺设地面，如图所示． 【观察思考】 第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推． 【规律总结】 （1）第5个图案有_______个正三角形。 （2）第n个图案中有________个正三角形，（用含n的代数式表示） 【问题解决】 （3）如果每块正方形瓷砖45元，每块正三角形瓷砖20元，当时，求铺设地面共需花多少钱购买瓷砖． 【答案】（1）16；（2）；（3）元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到规律是解题的关键. （1）观察图案可知后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3，据此可得答案； （2）观察图案可知后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3，据此列式求解即可； （3）先找到规律第n个图案有n个正方形，进而求出当时，正方形的个数和正三角形的个数，然后分别算出两种瓷砖的花费，然后求和即可. 【详解】解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3， ∴第5个图案有个正三角形， 故答案为：16； （2）依据第1个图案有4个正三角形，后面一个图形比前面一个图形的正三角形数量多3， ∴第个图案中有个正三角形． 故答案为：； （3）第1个图案有1个正方形， 第2个图案有2个正方形， 第3个图案有3个正方形， 第4个图案有4个正方形， ……， 以此类推可知，第n个图案有n个正方形， ∴当，即第10个图案中，有10个正方形，有个正三角形， ∴铺设地面共需花元购买瓷砖. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　） A．139 B．209 C．109 D．259 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键． 观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给表格可知， ， ， ， ， 所以． 又因为左下方的数比左上方的数大1， 则 又因为， ， ， ， 所以． 故选：B． 2．把连续奇数按如下规律排列： （1） （3，5，7） （9，11，13，15，17） （19，21，23，25，27，29，31） … 发现奇数7在第2组第3个，奇数13在第3组第3个，奇数29在第4组第6个，则奇数2021在（　　） A．33组第49个 B．33组第50个 C．33组第51个 D．32组第50个 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】先根据规律确定2021是第1011个数，再确定第1011个数在第32组，最后确定在第几个即可． 【详解】解：由题知2021是第＝1011个数， ∵第1组有1个数，第2组有3个数，第4组有5个数，第5组有7个数， ∴前1组有1个数，前2组有个数，前3组有个数，前4组有个数， ∴前n组一共有个数， ∵， ∴2021在第32组，第1011-961=50个数， 故选D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化确定2021是第几个数是解题的关键． 3．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）规定“*”新运算：，，，，，请你找到这些算式的规律，计算的结果为（    ） A． B．12 C．32 D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查的是新定义运算，解题的关键是要弄清新运算法则或规律． 通过观察给定的算式，发现“*”运算的规律是：，进而将给定的数字代入求解即可． 【详解】解：∵ 根据题意可得规律，， ∴ ． 故选：A． 4．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1； …… n个小时后细胞存活的个数是2n+1， 当n＝8时，存活个数是28+1＝257． 故选：C． 【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键． 5．观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】分别求出的末位数字，再相加即可． 【详解】解：由题知， ，，，，，，，，， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． ，，，，，，，，…， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 故选：A． 【点睛】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键． 6．如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、图形类规律探索 【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数． 【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即， 第2个图形有8个小圆，即， 第3个图形有11个小圆，即， 依此规律，第n个图形的小圆个数是： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律． 二、填空题 7．观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是_________． 【答案】7 【知识点】乘方的应用 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形： 序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④．相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】466 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并得到后一个矩形的宽与长和上一个矩形的宽与长的关系式解题的关键． 根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑩的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：由分析知： 第1个长方形的周长为； 第2个长方形的周长为； 第3个长方形的周长为； 第4个长方形的周长为； 第5个长方形的周长为； 第6个长方形的周长为； 第7个长方形的周长为； 第8个长方形的周长为； 序号为⑨的矩形的宽为； 序号为⑩的矩形的宽为． 所以，序号为⑩的矩形周长466． 故答案为：466． 三、解答题 10．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）“九宫格”是一种填数游戏，对培养学生的逻辑推理能力有很大的帮助． (1)现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都等于15． (2)利用你在（1）中发现的规律，将1，2，3，4，5， ，0填入图2的九个方格中，使每行、每列、对角线上的三个数之和都相等． 【答案】(1) 如图1所示（答案不唯一）： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 图1 (2) 如图2所示（答案不唯一）： 0 5 1 3 4 2 图2 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数加法的应用，熟知“九宫格”的填法是解题的关键； （1）根据，确定图1中最中间的数字为5，再根据有理数加法完成其余空格即可； （2）将所给数字按照从小到大的顺序排列，然后按照（1）中发现的九宫格的填图规律填图，最后依据有理数的加法法则验证即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．观察下列式子中的运算规律： ； ； ； (1)观察规律，写出第个等式：______ ； (2)设表示自然数，请根据这个规律把第个等式表示出来，并利用所学知识来证明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据已知条件得出用含的式子表示运算规律，再求第个等式即可； （2）把式子左右两边进行运算对比即可． 【详解】（1）解：； ； ； 第个式子为：， 第个等式为：， 即； 故答案为：； （2）由得第个等式为：， ， ， 左边右边， 故原等式成立． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是根据所给的等式得出规律． 12．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 13．观察下列各式，用你发现的规律解答问题： ①，②，③，… (1)请你按上述规律写出第4个等式：_______________； (2)猜想并写出第个等式：_______________； (3)用你发现的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)4250 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据所给式子找出规律解答即可． （1）根据所给3个算式探究规律求解即可； （2）根据规律总结即可； （3）利用规律求解即可． 【详解】（1）∵①， ②， ③， …， ∴④． 故答案为：； （2）由（1）可知第个等式：． 故答案为：； （3）原式 ． 14．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 根据以上等式的规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3)2925 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据前5个的规律可得：第6个等式是； （2）分别找出等式的左右两边的规律，进而求解； （3）利用找到的规律求解即可． 【详解】（1）第6个等式是：； （2）因为； ； ； ； ； … 所以第个等式为． （3） ． 【点睛】本题考查了规律探求和有理数的运算，正确找到规律是解题的关键． 16．观察下列各式： ①    ②    ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：__________； (2)写出第个等式：__________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：∵①    ②    ③ 第4个等式是：． （2）由（1）归纳可得： 第个等式： （3） ． 17．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）观察下列各式： ， ， ， …… 利用上述规律计算： （1）填空：_____； （2）计算：； 类比上述规律计算： （3）计算：． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，把代入即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（2）的思路可解答． 【详解】解：（1）∵， ， ， …… ∴， 当时，， 故答案为：； （2）∵，，…， ∴ ； （3）∵， ∴； ∵， ∴； 同理，， ∴， ∴ ． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）观察下列各式： … (1)计算：________； (2)根据规律，猜想：________； (3)根据规律，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察已知等式找出规律． （1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第5个等式的结果； （2）根据（1）呈现的规律，归纳猜想出的表达式； （3）利用（2）得出的结论，将所求式子转化为从1到的和减去从到的和，进而计算化简． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律猜想：， 故答案为：， （3）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，根据题中所给算式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，进而可得出答案； （2）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，即可得出答案； （3）先对每一项进行通分，然后对每一项的分子运用所得规律，再将每一项拆分成两项之积的形式，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ； （3）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 【答案】(1)55 (2) (3)2485 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $