第一、二单元阶段复习讲义【导图知识卡片+知识梳理+18个考点讲练+实战演练 共56题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册阶段知识清单培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理第一、二单元知识体系，将小数的意义、读写、性质、加减法与三角形的内角和、三边关系等要点整合，用知识清单细化概念，数位顺序表等表格呈现细节，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于18个重难点考点讲练设计，如“小数单位换算”结合实际相遇问题，“三角形三边关系”通过剪绳问题培养推理意识，典型例题与举一反三练习提升运算能力。56题实战演练含真题，支持分层教学，助力学生自主复习，教师精准把握学情。

nullnull2026-2027学年北师大版数学五年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元小数的再认识和加减法、三角形的再认识 (思维导图+知识清单+18个重难点考点讲练+实战演练共56题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算..· 。.......7 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识.· .7 【重难点考点三】小数的读法和写法... 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题.... 【重难点考点五】小数的性质.… 【重难点考点六】多位小数的大小比较 .9 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法..。 ……..10 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法...·.。 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题...· .....11 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算...... .....11 【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 …….12 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数.· .13 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算..· .13 【重难点考点十四】三角形的内角和.. ….14 【重难点考点十五】用尺规画线段...· ....14 【重难点考点十六】三角形三边关系.. 【重难点考点十七】多边形的内角和... 【重难点考点十八】图形的密铺.. ..17 第1页共20页 模块一 知识梳理导图指引 1,小数的再认识 8称体重 1,三角形的特性 6,三角形的内角和应用 (1)先估一估有多重， (1)三角形具有稳定性。 (1)已知两个内角，求第三个内角 (2)用体重计焦 10.整理与复习 (2)三角形内角和等于180 ∠3m180°=（∠1+∠2) (2)涂色表示小数 3)用算式计算体重增加 ()整数、小数及加减法之间 (2)已知一个外角和一个为角 把表示北中 了多少千克 的关系。 可以通过拼、量.剪。 求另一个内角 (增加前体 增加的体重 (2)小数加减法的计算方法。 析等方法验证。 ∠内=∠外-∠与它不相邻的内角 增加前体重 (3)解决阿题的策略。 2三角形的分类 7.三角形的拼组 9.煎手大表（小数加减混合远 1)按角分 (1)两个完金一样的三角形可以拼成： 《1)小数加减混合运算的运算顺序 平行四边形、矩形、菱形等 (3)小数与单位锅算 与整数加减泥合运算相同 (2)三个三角形可以拼成： 111=1汉0=1又0,1 (2)先算加法。后算减法： 总角三角 直角三角形 三角形 平行四边形、棉形等 1cm“m-10mm 有钻号时先舞括号理的.零 2)按边分 I◆ 2小数的计数单位和数位序表 ● 6.小决乘法 等腰三角彩 8多边形与三角形的关系 (1)计数单位 1)意义 3.三角形的底和高 《1)n边形可以分成(a一2》个三角形 求几个相同加数的和 第一单元 五年级上册 一单元 12)内角和 的简使运算 小数的 阶段复习 1】从三角形的底边向诗边作香钱 三角形的 厦点和垂是之到的线段是高 (n-2)×180 (2)数位顺序表 (2)计算方法 思维导图 (2)每个三角形那有3条高。 再认识 整数郎分 小数点小数椰分 按数乘法计算 再认识 一千位百位十包个包台包鞋 和加减法 9,解决问题策略 起数出几位，点上 (1)画图分析。找出数量关系】 小数点 4、三角形的内角和与外角 (2)列式计算，检验 3.小数的大小比较 (1)内角和：三角形内角和等于180 (3)结合生活实际，培养空间观念。 5.简定计算 (2)外角：三角影的一个外角 等于和它不相邻的两个 4.09<4.97.22>72175.2-5.20 内角的和。 质进行简便计算 ∠4=∠2+∠3 10.设计密铺作品&综合实践 4小数的加减法 (1)观察生活中的田形密储现象。 a+b-b+a (1)小数加减法的意义 5.探索三角形三边关系 fatb)te=at(hec (2)运用平移、旋转、轴对称设计围率 与整数加减法的意义相同。 三角形知识结构图 (2)计算方法 a-b-c=a-(bsc) (3)动于实践。感受数学与艺术的结合 小数 齐（也就是相同数位对齐） a-b-c=a-(b-c) 三条高 从低位算起 内 小小设计作师 按角 则a+b>c,a+e>b. (3)验算方法 (1)欣赏艺术作品，感受数学之美 较角、直角。纯 加法：和一个加数一另一个加数 。平移、旋转等知 按边： 11.整理与复习 减法：差+减数=被减数 边关系 (1)热理三角形的知识体系 3)体验数学的创造性与应用价值 三边 外角性质 (2)归纳重点，难点。 等边 的两个内角之和 (3)通过练习巩园授高。 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元小数的再认识和加减法】 知识点一小数的意义 1.小数的产生 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。 2.小数的意义 小数是分数的另一种表现形式，分母为10、100、1000…的分数可用小数表示为0.1、0.01、 0.001… 3.小数的数位 小数的数位是十分位、百分位、千分位…最高位是十分位，没有最低位，而整数部分的最低 位是个位，没有最高位。 4.小数的计数单位 第2页共20页 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…分别写作0.1、0.01、0.001…，每 相邻两个计数单位间的进率是10。 5.小数的数位顺序表 整数部分 小数点 小数部分 鳘 径 在 喜 在 俭 百分位 千 分位 万分位 计 万 十 十分之 百分之 千 数 个 分之 万分之 知识点二小数的读法和写法 1.小数的读法 先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分，小数部分要依次读出每个数 字，而且有几个0就读几个0。 2.小数的写法 先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再写小数部分，小数部分要依次写出每个数 字，而且有几个0就写几个0。 知识点三小数的性质 1.小数的性质 小数的末尾添上“0”或去掉“0"，小数的大小不变。 2.小数的化简 （1)化简小数时，只能去掉小数末尾的“0”，其他数位上的“0”不能去掉，否则会改变小 数的大小。 (2)把整数改写成小数，先在整数的右下方点上小数点，再根据要求添上相应个数的“0”。 注意：小数中间的“0”不能去掉，在取近似数时，有一些末尾的“0”也不能去掉。 知识点四小数的大小比较 1.先比较整数部分； 2.如果整数部分相同，就比较十分位： 3.十分位相同，就比较百分位； 第3页共20页 4.以此类推，直到比较出大小。 知识点五小数的加法 1.位数相同的小数加法的笔算 (1)相同数位对齐，也就是小数点对齐； (2)从末位算起，计算加法时，哪一位相加满十，要向前一位进1； (3)得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2.位数不同的小数加法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数加法 计算。 注意：如果得数的小数未尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点六小数的减法 1.位数相同的小数减法的笔算 （1)相同数位对齐，也就是小数点对齐； (2)哪一位不够减，就从前一位借1当10，在本位上加10再减； (3)得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2.位数不同的小数减法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数减法 计算。 注意：如果得数的小数未尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点七小数加减法混合运算 小数加减法混合运算与整数加减法运算相同，同级运算，从左往右依次计算，有括号的，先算 括号里面的，再算外面的。 知识点八小数加减法简便计算 (一)整数加法运算律同样适用于小数加法。 1.加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2.加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+ca+(b+c)。 3.拆分凑整和分组计算仍是加法简便计算的核心思路 第4页共20页 (二)整数减法运算性质同样适用于小数减法。 1.一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a-b-ca-(b十c)。 2.在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a-b-c=a-c-b。 【第二单元三角形的再认识) 知识点一三角形内角和 1.三角形的内角和 （1)定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 (2)内角和规律 任意一个三角形的内角和都是180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 (3)验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°)。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 (4)举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50°+40°+90°=180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60°+60°+60°=180°。 2.应用内角和求未知角 (1)已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3=180°-∠1-∠2 (2)等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角=（180°-顶角)÷2 已知底角，可求顶角：顶角=180°-底角×2 (3)直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角=90°-另一个锐角 第5页共20页 知识点二三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 (1)判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 (2)判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三 条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b(a≥b),第三边为c,则根据三边关系可得a-b<c< a+b,第三边c的长度取值范围就在a-b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于+b,同时要考虑到实际问题中的取值要求，通 常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能 围成三角形。 知识点三多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。 例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有 个顶点的多边形可以分解成-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和=(n -2)×180度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为(6-2)× 180度=720度。 第6页共20页 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式(n-2)×180度计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多 边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面 都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如 相似多边形、全等多边形等。 模块三 重难点讲练能力提升 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算 【典型例题】(25-26五年级上·福建福州·阶段检测)福清玉融公园环山栈道全长3.6千米。周末刘叔叔 和胡叔叔分别从该步道的两端同时出发，刘叔叔每分钟跑85米，胡叔叔每分钟跑95米，两人 分钟能相遇。 【举一反三练习】(25-26五年级上·陕西安康·阶段检测)图书馆和博物馆相距5.5km。周日上午9：00 小莉和小娟分别从图书馆和博物馆骑电动车同时出发，相向而行，小莉每分钟骑300m,小娟每分钟骑250m, 两人( )时( )分相遇。 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识 【典型例题】(26-27五年级上·山东·单元测试)先阅读下面的文字，再按要求填空。 一度电，用处大 一度电可以炼钢约二点六二千克；一度电可以供电车行驶约零点八五千米； 度电可以供洗衣机工作约2.7小时：一度电可以灌溉农田约Q.033公顷。 电的用处非常大，我们应该节约用电！ (1)横线上的小数分别写作：( )、( )。 (2)波浪线上的小数分别读作：()、( ）。 (3)0.033中的两个“3”分别表示3个( )和3个()。 第7页共20页 【举一反三练习】(25-26五年级上·江苏南通·期中)用0、0、4、6和小数点这五张卡片，组成的两位 小数中读出“零”的一共有( )个。 A.2 B.4 C.6 D.8 【重难点考点三】小数的读法和写法 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·周测)用2,5,9这三个数和小数点组成小数，最多能写几个小数？ 请分别写出这些小数。 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·周测)小华在读一个小数时，没看到小数点，读成了三十六万 零五。 (1)如果原来的小数只读出一个零，原来的小数是多少？ (②)如果原来的小数读出两个零，原来的小数是多少？ 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题 【典型例题】(26-27五年级上·全国·课后作业)用1、5、8、0这四个数字和小数点按要求组数（每个 数字都用且只能用一次)。 (1)组成一个最小的三位小数：( ）。 (2)组成一个最大的两位小数：( )。 (3)组成一个最大的一位小数：( ）。 (4)组成读出一个零的最小的两位小数：( ）。 (⑤)组成一个不需要读出零的最大的两位小数：（ ）。 【举一反三练习】（25-26五年级上·山西临汾·期中)亮亮和他的朋友们用5、2、0、0这4张卡片和小 数点玩组小数游戏。根据下面的要求看准组得又对又快。（每次卡片全部用完，各写出2个符合要求的小 数) (1)整数部分是0的三位小数。 第8页共20页 (2)只读一个“零”的两位小数。 (3)一个“零”都不读的一位小数。 【重难点考点五】小数的性质 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)下列说法正确的有( )。 ①小数部分最大的计数单位是0.1。②小数的位数越多，小数越大。③0.78和0.780大小相等，但所表示 的意义不同。④6元比4.2元多2.8元。 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)用数字“8,8,0,0”和小数点“.”，按要求写 出所有小数。（每小题中每个数字和小数点都需用到且只能用一次） (1)只能去掉一个“0”且大小不变的小数。() (2)一个“0”也不能去掉的小数。( (3)去掉两个“0”且大小不变的小数。() 【重难点考点六】多位小数的大小比较 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·周测)有四个同学的体重分别是35.5kg、37.8kg、38.5kg和42kg。 其中，小杨比小明重，但比小文轻，小明比小华轻，小杨比小华重。这四个人的体重各是多少千克？ 【举一反三练习】(26-27五年级上·山东·周测)用4、5、6、0和小数点按要求写数。（每个数字都要 用上并且只能用一次) (1)小于1且小数部分是三位的小数。 (2)大于6且小数部分是三位的小数。 (3)0可以不读出来且小数部分是两位的小数。 第9页共20页 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法 【典型例题】(25-26四年级下·广东江门·期末)下列说法，正确的是( )。 A.小数部分的最高位是十分位 B.0.90与0.900的计数单位相同 C.去掉小数1.070中的2个“0”，小数大小不变D.计算小数加减法时，小数的末位要对齐 【举一反三练习】(25-26五年级下·山西晋中·期末)在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加 减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 ( )要对齐。 )要对齐。 先( ),再计算。 45:3 3.53 +21 +21 分数加 1,3 437 减 474 加减法 5.63 2+8-8十88 法 5个()+2个( 5个()+1个() 目的：( (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是( A.467+923 B.6.98-5.4 c.+品 D.÷月 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·周测)丽丽在做加法时，把一个加数个位上的9看成了4，把另一 个加数百分位上的1看成了7，她计算的结果是17.42，与正确的结果相差多少？ 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·周测)小华在计算2.89加一个一位小数时，错误地把数的末 尾对齐，结果得到5.48，正确的结果应该是多少？ 第10页共20页 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题 【典型例题】(2026五年级上·河北·专题练习)中欧班列以其运距短、速度快、安全性高及绿色环保等 优势，成为国际物流中陆路运输的骨干方式。去年实现欧盟进出口贸易总额505.2亿元，“一带一路”合 作伙伴进出口贸易总额734.2亿元，这两区域进出口贸易总额一共多少亿元？ 【举一反三练习】(26-27五年级上·山东·单元测试)由蕾切尔·卡森撰写的《寂静的春天》描写因过度 使用化学药品和肥料而导致环境污染、生态破坏，最终给人类带来不堪重负的灾难，向读者传达了环境保 护的重要性及其紧迫性。芳芳和丽丽都想买一本《寂静的春天》，可是芳芳带的钱差16.5元，丽丽差20.3 元，她俩的钱合起来正好够买一本。一本《寂静的春天》多少元？ 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·周测)小玲和小敏共重90.8千克，小玲和小红共重88.5千克，小 红和小敏共重90.7千克，她们三人的体重各是多少千克？ 【举一反三练习】26-27五年级上·山东·单元测试)计算下面各题。（能简算的要简算） 75+2.7+7.3+25 9.14-1.43-4.57 60-(9.5+12.39) 第11页共20页 4.98-2.3+3.02-1.7 19.92+144-9.92 65.3-(17.36-15.3) 【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 【典型例题】(2026五年级上·辽宁·专题练习)西安文创产品丰富多样，以唐代团花、宝相花为核心纹 样，融入城墙元素等，让传统纹样从博物馆壁画走进手机壳、手提袋、雨伞等日用品，把“唐潮”变成可 触摸的生活质感。 8 手机壳 手提袋 雨伞 14.67元 31.94元 45.33元 (1)小梦有50元，买1个手机壳和1个手提袋，够吗？ (2)买1个手提袋和1把雨伞，付100元，找回2473元，对吗？ 【举一反三练习】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测)在实验小学冬季校运会上，五年(1)班运动 员的实心球成绩如下： ①小军掷了10.32米；②小磊掷了9.56米： ③小丽比小磊少掷了0.63米：④奇奇比小丽多掷了0.65米。 (1)小军选择了其中一些信息，列出了算式9.56-0.63+0.65。这个算式解决的是什么问题？请你写下来并 计算结果。 (2)根据以上信息，请你提出一个至少需要两步计算的数学问题并解答。 第12页共20页 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数 【典型例题】(26-27五年级上·山东·周测)计算下面各题，怎样简便就怎样算。 83.49+99.9 12.95-1.43-2.57+1.05 42.38-(2.38+4.9) 【举一反三练习】(2026五年级上·河北·专题练习)怎样简便怎样算。 1.94+2.85+0.15 2.6+12.34+0.66+7.4 15.09+21.3+4.91+7.7 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算 【典型例题】(26-27五年级上·江苏·课后作业)计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 32×48+68×48 384-(1200÷60+75) 101×98-98 10.65-(10.65-8.33) 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)计算下面各题。 23.5-2.76+13.24 64.45-14.3-32.45 11.89-(4.89-2.11) 3.75+0.69+23.95 5.9-1.62+2.05 50-22.6-4.8 第13页共20页 【重难点考点十四】三角形的内角和 【典型例题】(25-26四年级下·陕西渭南·期末)在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、 高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧 直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 160° 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一 角被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，已知∠1=35°，求∠2的度数。 【重难点考点十五】用尺规画线段 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·周测)用圆规和直尺把如图的三角形的三条边依次画到一条直线上 (请保留作图痕迹)。 第14页共20页 【举一反三练习】(2026五年级上·辽宁·专题练习)把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角 形ABC,请在方格图中已有c边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“C”。 【重难点考点十六】三角形三边关系 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)通过本单元的学习，我们知道：根据“三角形任意两边 之和大于第三边”，可以判断一组小棒能否摆成一个三角形。 (1)猜想：实际判断时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。举例如下。（单位：厘米） 30 因为3<5<7，且+ >7,所以能摆成三角形。 50 7 7>53+7>57>35+7>3 (2)验证： 假设三角形的三条边a<b<c,若a+b>c,则满足任意 两边之和大于第三边， 所以能摆成三角形。 >b c>a→ (3)结论： 【举一反三练习】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)聪聪自制了一个电脑支架，支架底部每相邻两个卡 扣间隔1cm,则这个支架底端最多可以移动到第( )个卡扣。 5cm 3cm B.1 C.8 D.9 第15页共20页 【重难点考点十七】多边形的内角和 【典型例题】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方 法正确的是( )。 丙 A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.乙、丙 D.甲、丙 【举一反三练习】（24-25四年级下·浙江丽水·期末)阅读说理题。 利用三角形的内角和是180°的性质，可以推导出四边形的内角和，下面是三位同学的思考过程（如图)。 淘气是这样想的： 将四边形的两个顶点相连，把四边形分割成两个三角形。 四边形的内角和：180°×2=360° 笑笑是这样想的： 在四边形里面任取一点0，点0分别与四个顶点相连，把四边形分割成四个三角形。 四边形的内角和：180°×4-360°=360° O (1)笑笑的方法中，180°×4求的是( (2)“-360”中的360°在图中的哪个位置？请你标出来。 妙想是这样想的： 在四边形一条边上任取一点0，点0分别与两个顶点相连，把四边形分割成三个三角形。 (3)你能看懂妙想的方法吗？把她的想法写出来。 第16页共20页 【重难点考点十八】图形的密铺 【典型例题】(25-26四年级下·山东青岛·期末)学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几 种板砖，( )不能选。 A.三角形 B.四边形 C.正六边形 D.正五边形 【举一反三练习】(25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测)当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加 在一起恰好组成一个( )时，能密铺成一个平面图形。 A.直角 B.钝角 C.平角 D.周角 模块四 优选真题实战演练 1. (26-27五年级上·广东汕尾·开学考试)下面算式中，计算结果最接近5的是( )。 A.5.12-0.9 B.10-4.85 C.2.8+2.15 2.(2026五年级上·河北·专题练习)芳芳在用计算器计算19.45-8.61时，她错误地输入了19.45-8.91， 要改正这个错误，她应该将计算结果再( )。 A.加上30 B.加上0.3 C.减去0.3 3.(2026五年级上·辽宁·专题练习)下列说法中，正确的有( )。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90 ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是98°，这个角只能是顶角 A.1个 B.2个 C.3个 4.(26-27五年级上辽宁·单元测试)计算五边形内角和，符合算式“180°×3”的思考方式的是( 5. (26-27五年级上·辽宁·周测)有2cm,3cm,4cm,5cm,6cm木棒各一根，选用其中三根，首尾相连 围成三角形，共可以围成( )种不同的三角形。如果围成的是直角三角形，它的三条边分别是()， ( ),( ）。 6.(26-27五年级上·辽宁·周测)爷爷要给他的小狗搭一个房子（如图)，房顶的框架是三角形，其中 一根木条是3dm,另一根木条是5dm,那么第三根木条是( )dm,“人”字梁的高度不大于()dm。 (取整分米数) 第17页共20页 4 dm 7.(26-27五年级上·河北·单元测试)根据要求用0,0,1,2,3和小数点写数。（各写1个） (1)组成最小的小数。( (2)组成个位、十分位都是0的三位小数。( (3)组成两个0都不读出来的两位小数。( 8.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)要使☐9.☐8最接近20，这个数是( ）。 9.(2026五年级上·河北·专题练习)魏堌(gù)堆遗址重点保护面积约九点二八万平方米，横线上的数 写作9.028。（)（判断对错) 10.(26-27五年级上·山东·单元测试)小数和小数相加、减，所得的结果不一定是小数。( (判断对错) 11.(25-26四年级下·河南南阳·期末)一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米， 那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。(）（判断对错） 12.(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)一个三角形中，有一个角是56°，另外两个角可能是24° 和100°。( )(判断对错) 13.(26-27五年级上·辽宁·周测)如图，∠1十∠2+∠3+∠4等于多少度？ 4 3 14. (26-27五年级上·广东汕尾·开学考试)竖式计算，带★的要验算。 18.56+9.74= ★30-12.68= 408×25= 第18页共20页 15.(26-27五年级上·辽宁·周测)用0,0,3,6和小数点组成符合要求的小数。（数字全要用上） (1)一个零都不读的一位小数。 (2)只读一个零的两位小数。 (3)读出两个零的三位小数。 16.(26-27五年级上·辽宁·周测)两个数的差是10.52，如果被减数增加4.2，减数增加2.3，那么差 是多少？如果被减数减少4.2，减数减少2.3，那么差是多少？如果被减数减少4.2，减数增加2.3，那么 差又是多少？如果被减数增加4.2，减数减少2.3，那么差又是多少？ 17.(26-27五年级上·辽宁·周测)一个等腰三角形的周长是54厘米。 (1)如果腰比底短3厘米，它的底是多少厘米？ (②)如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是多少厘米呢？ 18.(26-27五年级上·辽宁·周测)将一根18厘米长的铁丝剪成3段，每段的长度都是整厘米数，把它 们焊接成一个三角形（接头处忽略不计)。其中一段的长度是8厘米，另外两段的长度可能是多少厘米？ 第19页共20页 19.（24-25五年级上·北京通州·期末)同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线 组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四 边形的四个外角。 5 6 2 70 (1)我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算 出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 (2)画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ (3)根据上面的发现，你有什么猜想？ 20.(26-27五年级上·辽宁·周测)王老师和李老师一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都 不够买这本书。王老师差37.2元，李老师差28元，两人现金凑在一起合买这本书就多出13.6元，这本书 多少元？ 第20页共20页 2026-2027学年北师大版数学五年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元 小数的再认识和加减法、三角形的再认识 （思维导图+知识清单+18个重难点考点讲练+实战演练 共56题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算 7 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识 8 【重难点考点三】小数的读法和写法 9 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题 10 【重难点考点五】小数的性质 12 【重难点考点六】多位小数的大小比较 13 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法 14 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法 16 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题 17 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算 17 【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 19 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数 21 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算 22 【重难点考点十四】三角形的内角和 24 【重难点考点十五】用尺规画线段 25 【重难点考点十六】三角形三边关系 27 【重难点考点十七】多边形的内角和 28 【重难点考点十八】图形的密铺 30 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 小数的再认识和加减法】 知识点一 小数的意义 1. 小数的产生 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。 2. 小数的意义 小数是分数的另一种表现形式，分母为10、100、1000……的分数可用小数表示为0.1、0.01、0.001…… 3. 小数的数位 小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位，没有最低位，而整数部分的最低位是个位，没有最高位。 4. 小数的计数单位 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……，每相邻两个计数单位间的进率是10。 5. 小数的数位顺序表 整数部分 小数点 小数部分 数位 … 万位 千位 百位 十位 个位 · 十分位 百分位 千分位 万分位 … 计数单位 … 万 千 百 十 一（个）   十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 … 知识点二 小数的读法和写法 1. 小数的读法 先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。 2. 小数的写法 先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。 知识点三 小数的性质 1. 小数的性质 小数的末尾添上“0”或去掉“0"，小数的大小不变。 2. 小数的化简 （1）化简小数时，只能去掉小数末尾的“0”，其他数位上的“0”不能去掉，否则会改变小数的大小。 （2）把整数改写成小数，先在整数的右下方点上小数点，再根据要求添上相应个数的“0”。 注意：小数中间的“0”不能去掉，在取近似数时，有一些末尾的“0”也不能去掉。 知识点四 小数的大小比较 1. 先比较整数部分； 2. 如果整数部分相同，就比较十分位； 3. 十分位相同，就比较百分位； 4. 以此类推，直到比较出大小。 知识点五 小数的加法 1. 位数相同的小数加法的笔算 （1）相同数位对齐，也就是小数点对齐； （2）从末位算起，计算加法时，哪一位相加满十，要向前一位进1； （3）得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2. 位数不同的小数加法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数加法计算。 注意：如果得数的小数末尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点六 小数的减法 1. 位数相同的小数减法的笔算 （1）相同数位对齐，也就是小数点对齐； （2）哪一位不够减，就从前一位借1当10，在本位上加10再减； （3）得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2. 位数不同的小数减法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数减法计算。 注意：如果得数的小数末尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点七 小数加减法混合运算 小数加减法混合运算与整数加减法运算相同，同级运算，从左往右依次计算，有括号的，先算括号里面的，再算外面的。 知识点八 小数加减法简便计算 （一）整数加法运算律同样适用于小数加法。 1. 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 3. 拆分凑整和分组计算仍是加法简便计算的核心思路 （二）整数减法运算性质同样适用于小数减法。 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a-b-c=a-(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a-b-c=a-c-b。 【第二单元 三角形的再认识】 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算 【典型例题】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）福清玉融公园环山栈道全长3.6千米。周末刘叔叔和胡叔叔分别从该步道的两端同时出发，刘叔叔每分钟跑85米，胡叔叔每分钟跑95米，两人___________分钟能相遇。 【答案】20 【思路引导】根据1千米＝1000米，将3.6千米换算为3600米，将85加95求出总速度；再根据相遇时间＝总路程÷速度和，用3600除以总速度求出相遇时间，据此解答。 【规范解答】1千米＝1000米，3.6千米＝3600米 3600÷（85＋95） ＝3600÷180 ＝20（分钟） 所以两人20分钟能相遇。 【举一反三练习】（25-26五年级上·陕西安康·阶段检测）图书馆和博物馆相距5.5km。周日上午9：00小莉和小娟分别从图书馆和博物馆骑电动车同时出发，相向而行，小莉每分钟骑300m，小娟每分钟骑250m，两人( )时( )分相遇。 【答案】 9 10 【思路引导】先进行单位换算：1km＝1000m，因为是相向而行，速度要相加，再利用总路程÷速度和＝相遇时间，最后用出发时间＋相遇时间就可以求出两人几时几分相遇。 【规范解答】5.5km＝5500m 两人每分钟一共骑：300＋250＝550（m） 相遇时间：5500÷550＝10（分） 9：00加10分钟，就是两人9时10分相遇。 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识 【典型例题】（26-27五年级上·山东·单元测试）先阅读下面的文字，再按要求填空。 一度电，用处大 一度电可以炼钢约一点六一千克；一度电可以供电车行驶约零点八五千米； 一度电可以供洗衣机工作约2.7小时；一度电可以灌溉农田约0.033公顷。 电的用处非常大，我们应该节约用电！ (1)横线上的小数分别写作：( )、( )。 (2)波浪线上的小数分别读作：( )、( )。 (3)0.033中的两个“3”分别表示3个( )和3个( )。 【答案】(1) 1.61 0.85 (2) 二点七 零点零三三 (3) 0.01 0.001 【思路引导】（1）小数的写法是整数部分按整数写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字，所以按对应数位写出数字即可。 （2）先明确小数的整数部分和小数部分，因为小数的读法是整数部分按整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数字，所以按规则读出即可。 （3）先确定两个“3”分别在小数的哪一个数位上，因为小数的每个数位对应不同的计数单位，哪一位上的数字是几就表示有几个该数位的计数单位，所以结合对应数位的计数单位填写即可。 【规范解答】（1）一点六一写作：1.61 零点八五写作：0.85 （2）2.7读作：二点七 0.033读作：零点零三三 （3）0.033中的两个“3”分别表示3个0.01和3个0.001。 【举一反三练习】（25-26五年级上·江苏南通·期中）用0、0、4、6和小数点这五张卡片，组成的两位小数中读出“零”的一共有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】两位小数的小数点后有2个数字，4个数字全用则整数部分为2位，最高位不能为0，结合读数规则分别列举十位是4、6时符合读零要求的数，再计数即可。 【规范解答】十位只能为4或6： 十位是4时，符合要求的数有40.06、40.60、46.00，共3个； 十位是6时，符合要求的数有60.04、60.40、64.00，共3个； 总个数：（个） 【重难点考点三】小数的读法和写法 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）用2，5，9这三个数和小数点组成小数，最多能写几个小数？请分别写出这些小数。 【答案】12个；25.9，29.5，52.9，59.2，92.5，95.2，2.59，2.95，5.29，5.92，9.25，9.52 【思路引导】按小数的位数分类有序列举，避免重复遗漏。先列两位小数（整数部分1位，小数部分2位），再列一位小数（整数部分2位，小数部分1位），最后把两类的数量相加得到总个数。 【规范解答】两位小数： 整数部分是2：2.59、2.95，共2个； 整数部分是5：5.29、5.92，共2个； 整数部分是9：9.25、9.52，共2个； 两位小数总数：（个） 一位小数： 小数部分是2：59.2、95.2，共2个； 小数部分是5：29.5、92.5，共2个； 小数部分是9：25.9、52.9，共2个； 一位小数总数：（个） 总个数：（个） 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·周测）小华在读一个小数时，没看到小数点，读成了三十六万零五。 (1)如果原来的小数只读出一个零，原来的小数是多少？ (2)如果原来的小数读出两个零，原来的小数是多少？ 【答案】(1)3600.05 (2)360.005 【思路引导】小数的读法是小数的整数部分按照整数的读法读整数部分，整数尾部的零不读。小数点读作点，小数部分从左到右读数字，中间的零也要读，末尾的零也要读，因此先将三十六万零五写出来，然后再根据小数的读法写出对应的小数即可。 三十六万零五写作360005。 【规范解答】（1）由分析和题意可知，3600.05读作：三千六百点零五； 答：读出一个零时，原来的小数是3600.05。 （2）由分析和题意可知，360.005读作：三百六十点零零五； 答：读出两个零时，原来的小数是360.005。 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）用1、5、8、0这四个数字和小数点按要求组数（每个数字都用且只能用一次）。 (1)组成一个最小的三位小数：( )。 (2)组成一个最大的两位小数：( )。 (3)组成一个最大的一位小数：( )。 (4)组成读出一个零的最小的两位小数：( )。 (5)组成一个不需要读出零的最大的两位小数：( )。 【答案】(1)0.158 (2)85.10 (3)851.0 (4)15.08 (5)80.51 【思路引导】用给定数字组小数时，要先看题目要求小数部分有几位，再确定整数部分有几位。要使数最小，应尽量让整数部分小，并把小数部分从小到大排列；要使数最大，应尽量让整数部分大，并把剩下的数字放在合适的小数位上。判断是否读出0时，要根据小数的读法：整数部分按整数读法读，小数部分按顺序逐个读出每一位数字。 【规范解答】（1）三位小数的小数点后有三位，整数部分只有一位。要组成最小的三位小数，整数部分取最小的0，小数部分把1、5、8从小到大排列，得到0.158。所以答案为0.158。 （2）两位小数的小数点后有两位，整数部分有两位。要组成最大的两位小数，整数部分尽量大，取85；剩下0和1放在小数部分，为了保持两位小数且尽量大，写成0.10，得到85.10。所以答案为85.10。 （3）一位小数的小数点后有一位，整数部分有三位。要组成最大的一位小数，整数部分尽量大，把8、5、1按从大到小排列成851，剩下0放在十分位，得到851.0。所以答案为851.0。 （4）要组成读出一个零的最小的两位小数，0应放在小数部分，使它读作“零”。整数部分要尽量小，取15；小数部分用0和8，写成08，得到15.08，读作“十五点零八”。所以答案为15.08。 （5）要组成不需要读出零的最大的两位小数，0不能放在小数部分，可以放在整数部分的个位，组成80；剩下5和1放在小数部分并尽量大，写成51，得到80.51，读作“八十点五一”。所以答案为80.51。 【举一反三练习】（25-26五年级上·山西临汾·期中）亮亮和他的朋友们用5、2、0、0这4张卡片和小数点玩组小数游戏。根据下面的要求看谁组得又对又快。（每次卡片全部用完，各写出2个符合要求的小数） （1）整数部分是0的三位小数。 （2）只读一个“零”的两位小数。 （3）一个“零”都不读的一位小数。 【答案】（1）0.025；0.052 （2）50.02；50.20 （3）500.2；200.5 【思路引导】①组成整数部分是0的三位小数： 整数部分为0，小数部分需用5、2、0三张卡片组成三位小数。需将5、2、0进行不同排列作为小数部分，得到所有可能的三位小数。 整数部分固定为0，小数部分由5、2、0排列组成，枚举解答即可； ②组成只读一个“零”的两位小数： 两位小数意味着整数部分两位、小数部分两位，共四位数字。只读一个“零”需整数部分有一个0在中间（不读末尾0），小数部分0在末尾或中间，且整数部分首位不为0。 整数部分可为50或20，小数部分含一个0，枚举解答即可； ③组成一个“零”都不读的一位小数： 一位小数即整数部分三位、小数部分一位，共四位数字。一个“零”都不读需整数部分末尾有两个0（不读），小数部分为非零数字。 整数部分末尾为00，小数部分为5或2，枚举解答即可。 【规范解答】①整数部分是0的三位小数： 整数部分固定为0，可得：0.025、0.052、0.205、0.250、0.502、0.520（答案不唯一，根据题目要求选取2个符合要求的小数即可）； ②只读一个“零”的两位小数： 整数部分可为50或20，小数部分含一个0，得到：50.02、50.20、20.05、20.50（答案不唯一，根据题目要求选取2个符合要求的小数即可）； ③一个“零”都不读的一位小数： 整数部分末尾为00，小数部分为5或2，得到：500.2、200.5。 【重难点考点五】小数的性质 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）下列说法正确的有（    ）。 ①小数部分最大的计数单位是0.1。②小数的位数越多，小数越大。③0.78和0.780大小相等，但所表示的意义不同。④6元比4.2元多2.8元。 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【思路引导】小数部分最高位是十分位，计数单位是0.1；小数比较大小，先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止；根据小数的性质，在小数末尾添加或减少0，小数大小不变，但是小数部分数位不一样，则表示的意义不同；小数加减法的运算法则与整数加减法类似，关键在于将两个小数的小数点对齐，从最低位（右端）开始计算，逐位相加减，注意进位和退位。 【规范解答】①小数部分最高位是十分位，计数单位是0.1，是小数部分最大的计数单位，说法正确。 ②举例，可知小数位数越多小数越大的说法错误。 ③根据小数的性质，；0.78的计数单位是0.01，代表78个0.01，0.780的计数单位是0.001，代表780个0.001，二者意义不同，说法正确。 ④（元），6元比4.2元多1.8元，说法错误。 正确的有①③。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用数字“8，8，0，0”和小数点“.”，按要求写出所有小数。（每小题中每个数字和小数点都需用到且只能用一次） (1)只能去掉一个“0”且大小不变的小数。( ) (2)一个“0”也不能去掉的小数。( ) (3)去掉两个“0”且大小不变的小数。( ) 【答案】(1)80.80，8.080，0.880，808.0，880.0 (2)800.8，80.08，8.008，0.808，0.088 (3)88.00，8.800 【思路引导】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，依此解答。 【规范解答】（1）只能去掉一个“0”且大小不变的小数有：80.80，8.080，0.880，808.0，880.0 （2）一个“0”也不能去掉的小数有：800.8，80.08，8.008，0.808，0.088 （3）去掉两个“0”且大小不变的小数有：88.00，8.800 【重难点考点六】多位小数的大小比较 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）有四个同学的体重分别是35.5kg、37.8kg、38.5kg和42kg。其中，小杨比小明重，但比小文轻，小明比小华轻，小杨比小华重。这四个人的体重各是多少千克？ 【答案】小文重42千克，小杨重38.5千克，小华重37.8千克，小明重35.5千克 【思路引导】先把四个小数按照从大到小进行排列。再根据题意已知，小杨比小明重，但比小文轻”，得到：小文的体重＞小杨的体重＞小明的体重； 又已知小明比小华轻，小杨比小华重，得到：小杨的体重＞小华的体重＞小明的体重，所以小文的体重＞小杨的体重＞小华的体重＞小明的体重。 通过一一对应分别得到他们的体重即可。 【规范解答】将四个已知体重从重到轻排列： 一一对应得： 小文体重， 小杨体重， 小华体重， 小明体重。 答：小文重42千克，小杨重38.5千克，小华重37.8千克，小明重35.5千克。 【举一反三练习】（26-27五年级上·山东·周测）用4、5、6、0和小数点按要求写数。（每个数字都要用上并且只能用一次） (1)小于1且小数部分是三位的小数。 (2)大于6且小数部分是三位的小数。 (3)0可以不读出来且小数部分是两位的小数。 【答案】(1)0.456、0.465、0.546、0.564、0.645、0.654 (2)6.045、6.054、6.405、6.450、6.504、6.540 (3)40.56、40.65、50.46、50.64、60.45、60.54 【思路引导】（1）小于1的数，整数部分只能是0，剩下4、5、6三个数字在小数部分随意排列，就能得到所有符合要求的三位小数。 （2）大于6的三位小数，整数部分只能是6，剩下0、4、5三个数字在小数部分随意排列，就得到所有符合要求的数。 （3）小数部分是两位，说明整数部分是两位数；0不读出来的规则是在整数的末尾，也就是整十数的个位，所以整数部分只能是40、50、60这类整十数，剩下两个数字放在小数部分排列，就得到所有符合要求的数。 【规范解答】（1）根据分析： 小于1且小数部分是三位的小数是：0.456、0.465、0.546、0.564、0.645、0.654 （2）根据分析： 大于6且小数部分是三位的小数是：6.045、6.054、6.405、6.450、6.504、6.540 （3）根据分析： 0可以不读出来且小数部分是两位的小数是：40.56、40.65、50.46、50.64、60.45、60.54 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法 【典型例题】（25-26四年级下·广东江门·期末）下列说法，正确的是（    ）。 A．小数部分的最高位是十分位 B．0.90与0.900的计数单位相同 C．去掉小数1.070中的2个“0”，小数大小不变 D．计算小数加减法时，小数的末位要对齐 【答案】A 【思路引导】‌小数的小数部分数位主要看小数点右边‌，从左到右依次是十分位、百分位、千分位等，小数部分的最高位是十分位。‌‌ 一位小数的计数是十分之一、两位小数的计数单位是百分之一、三位小数的计数单位是千分之一……也可写成0.1、0.01、0.001…… 小数的基本性质是：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变‌。‌‌ 进行小数加减法计算时小数点对齐‌，然后按整数加减法算，最后点上小数点并化简。‌‌ 由此分析各选项判断即可。 【规范解答】A．小数部分从左到右第一位是十分位，是小数部分的最高位，说法正确。 B．的计数单位是，的计数单位是，二者计数单位不同，说法错误。 C．去掉中的两个0，得到，，小数大小改变，只有去掉小数末尾的0才不改变小数大小，说法错误。 D．计算小数加减法时，要将小数点对齐（即相同数位对齐），不是末位对齐，说法错误。 【举一反三练习】（25-26五年级下·山西晋中·期末）在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 【答案】(1) (2)只有计数单位相同的数才能直接相加减 (3)D 【思路引导】（1）整数加减法竖式计算要求相同数位对齐，即计数单位相同的数对齐；小数加减法竖式计算要求小数点对齐，本质也是相同数位对齐；分数加减法，分母不同即分数单位不同，不能直接相加减，需要先通分，统一分数单位后再计算。 （2）通过对比发现，三者运算的本质都是计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）分析各选项中数字“4”和“9”所在的数位或代表的意义，判断其计数单位是否相同。 【规范解答】（1）整数加减法：竖式计算时，相同数位要对齐。图中453＋21，箭头指向的5在十位上，表示5个十；2在十位上，表示2个十。小数加减法：竖式计算时，小数点要对齐。图中3.53＋2.1，箭头指向的5在十分位上，表示5个0.1；1在十分位上，表示1个0.1。分数加减法：计算＋时，分母不同，分数单位不同，不能直接相加。先通分，把化成，再计算。目的：统一分数单位（或使分数单位相同）。 图略 （2）我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是：只有计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）A．467＋923，4在百位9在百位，计数单位都是“百”，可以直接相加。 B．6.98−5.4，9在十分位，4在十分位，计数单位都是“0.1”，可以直接相减。 C．分母相同，分数单位都是，分子4和9，表示4个和9个，可以直接相加。 D．，4和9是分母，分母不同，分数单位不同（分别是和），不能直接相减，需要先通分。 所以不能直接相加减的是D选项。 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）丽丽在做加法时，把一个加数个位上的9看成了4，把另一个加数百分位上的1看成了7，她计算的结果是17.42，与正确的结果相差多少？ 【答案】4.94 【思路引导】这是错中求解问题，做加法时，加数看错会直接影响和的大小。把一个加数个位9看成4，加数变少，和就会减少；把另一个加数百分位1看成7，加数变大，和就会增多。把这两处对和的影响合在一起，就能算出错误结果和正确结果相差多少。 【规范解答】个位少算：9－4＝5 百分位多算：0.07－0.01＝0.06 相差：5－0.06＝4.94 答：与正确的结果相差4.94。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·周测）小华在计算2.89加一个一位小数时，错误地把数的末尾对齐，结果得到5.48，正确的结果应该是多少？ 【答案】28.79 【思路引导】两个数的和是5.48，其中一个加数是2.89，先用减法求出错误对齐时的另一个加数；因为另一个加数是一位小数，错误计算时是末尾对齐，相当于把这个一位小数缩小到了原来的，所以把得到的错误加数扩大到它的10倍就能得到原来的一位小数；最后将2.89和求出的原一位小数相加即可得到正确结果。 【规范解答】5.48－2.89＝2.59 原来的一位小数是25.9 2.89＋25.9＝28.79 答：正确的结果应该是28.79。 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题 【典型例题】（2026五年级上·河北·专题练习）中欧班列以其运距短、速度快、安全性高及绿色环保等优势，成为国际物流中陆路运输的骨干方式。去年实现欧盟进出口贸易总额505.2亿元，“一带一路”合作伙伴进出口贸易总额734.2亿元，这两区域进出口贸易总额一共多少亿元？ 【答案】1239.4亿元 【思路引导】求两区域进出口贸易的总金额，就是把两个区域的贸易总额合并起来，用加法计算。 【规范解答】505.2＋734.2＝1239.4（亿元） 答：这两区域进出口贸易总额一共1239.4亿元。 【举一反三练习】（26-27五年级上·山东·单元测试）由蕾切尔·卡森撰写的《寂静的春天》描写因过度使用化学药品和肥料而导致环境污染、生态破坏，最终给人类带来不堪重负的灾难，向读者传达了环境保护的重要性及其紧迫性。芳芳和丽丽都想买一本《寂静的春天》，可是芳芳带的钱差16.5元，丽丽差20.3元，她俩的钱合起来正好够买一本。一本《寂静的春天》多少元？ 【答案】36.8元 【思路引导】根据“她俩的钱合起来正好够买一本”，可推出芳芳差的钱就是丽丽带的钱，丽丽差的钱就是芳芳带的钱，因此书价等于两人所差钱数的和。 【规范解答】（元） 答：一本《寂静的春天》36.8元。 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）小玲和小敏共重90.8千克，小玲和小红共重88.5千克，小红和小敏共重90.7千克，她们三人的体重各是多少千克？ 【答案】 小玲体重：44.3千克；小敏体重：46.5千克；小红体重：44.2千克 【思路引导】先把三组两人体重的和相加，得到的是三人体重总和的2倍，除以2求出三人体重的总和，再用总和分别减去每两人的体重和，就能得到第三人的体重。 【规范解答】三个人的体重总和： （千克） 小红体重：（千克） 小敏体重：（千克） 小玲体重：（千克） 答：小红的体重是44.2千克，小敏的体重是46.5千克，小玲的体重是44.3千克。 【举一反三练习】26-27五年级上·山东·单元测试）计算下面各题。（能简算的要简算）                         【答案】110；3.14；38.11；    4；24.4；63.24 【思路引导】（1）根据加法交换律和加法结合律，先把25与2.7交换位置，再算和，最后再相加。 （2）根据减法的性质，先将两个减数相加，再用被减数减去两个减数的和。 （3）先计算括号内的加法，再计算括号外的减法。 （4）先让与交换位置，再根据加法结合律和减法的性质分别计算和，最后再计算减法。 （5）先让与交换位置，再按顺序计算减法，最后算加法。 （6）先去括号，括号内的减号变为加号，再交换和的位置，之后按顺序计算。 【规范解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 【典型例题】（2026五年级上·辽宁·专题练习）西安文创产品丰富多样，以唐代团花、宝相花为核心纹样，融入城墙元素等，让传统纹样从博物馆壁画走进手机壳、手提袋、雨伞等日用品，把“唐潮”变成可触摸的生活质感。 (1)小梦有50元，买1个手机壳和1个手提袋，够吗？ (2)买1个手提袋和1把雨伞，付100元，找回24.73元，对吗？ 【答案】(1)够 (2)不对 【思路引导】（1）根据图中对应商品的单价，先算1个手机壳加1个手提袋的总价格，再跟50元作比较，小于50元就够，大于50元就不够。 （2）先算1个手提袋加1把雨伞的总价格，再用100元减去1个手提袋加1把雨伞的总价格。 【规范解答】（1）14.67＋31.94＝46.61（元） 50＞46.61，故够。 答：小梦有50元，买1个手机壳和1个手提袋，够。 （2）100－（31.94＋45.33） ＝100－77.27 ＝22.73（元） 22.73＜24.73，故不对。 答：买1个手提袋和1把雨伞，付100元，找回24.73元，不对。 【举一反三练习】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）在实验小学冬季校运会上，五年（1）班运动员的实心球成绩如下： ①小军掷了10.32米；②小磊掷了9.56米； ③小丽比小磊少掷了0.63米；④奇奇比小丽多掷了0.65米。 (1)小军选择了其中一些信息，列出了算式9.56－0.63＋0.65。这个算式解决的是什么问题？请你写下来并计算结果。 (2)根据以上信息，请你提出一个至少需要两步计算的数学问题并解答。 【答案】(1)奇奇掷了多少米？；9.58米 (2)小军比小丽多掷多少米？；1.39米（答案不唯一） 【思路引导】（1）算式9.56－0.63＋0.65中，9.56是小磊掷的米数，0.63是小丽比小磊少掷的米数，那么9.56－0.63表示小丽掷的米数；0.65是奇奇比小丽多掷的米数，那么9.56－0.63＋0.65表示奇奇掷的米数，据此得出9.56－0.63＋0.65解决的问题，并计算出结果。 （2）结合已知的信息，提出一个至少需要两步计算的数学问题，比如：小军比小丽多掷多少米？ 根据②与③的信息，用小磊掷的米数减去0.63米，求出小丽掷的米数；再用信息①提供的小军掷的米数减去小丽掷的米数，求出小军比小丽多掷的米数。 【规范解答】（1）9.56－0.63＋0.65解决的问题是：奇奇掷了多少米？ 9.56－0.63＋0.65 ＝8.93＋0.65 ＝9.58（米） 答：奇奇掷了9.58米。 （2）提问：小军比小丽多掷多少米？（答案不唯一） 10.32－（9.56－0.63） ＝10.32－8.93 ＝1.39（米） 答：小军比小丽多掷1.39米。 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数 【典型例题】（26-27五年级上·山东·周测）计算下面各题，怎样简便就怎样算。     83.49＋99.9         12.95－1.43－2.57＋1.05    42.38－（2.38＋4.9） 【答案】；； 【思路引导】（）：因为接近，所以可以将转化为，先计算加的和再减去即可。 （）：观察到与相加、与相加都能得到整数，可根据减法的性质：进行计算。 （）：因为括号前是减号，去括号后括号内的加号要变为减号，且减可凑整，所以先去括号，再按顺序计算。 【规范解答】 【举一反三练习】（2026五年级上·河北·专题练习）怎样简便怎样算。 1.94＋2.85＋0.15    2.6＋12.34＋0.66＋7.4    15.09＋21.3＋4.91＋7.7 【答案】4.94；23；49 【思路引导】（1）利用加法结合律，把后两个数（2.85和0.15）先结合起来相加，凑成整数3，再进行简便计算。 （2）利用加法交换律，为了让2.6和7.4凑整，将7.4和12.34交换位置，同时利用加法结合律，将2.6与7.4结合、12.34与0.66分别加起来凑整。 （3）利用加法交换律，21.3和4.91交换位置，同时利用加法结合律，将15.09和4.91、21.3和7.7分别加起来凑整。 【规范解答】1.94＋2.85＋0.15 ＝1.94＋（2.85＋0.15） ＝1.94＋3 ＝4.94 2.6＋12.34＋0.66＋7.4 ＝2.6＋7.4＋12.34＋0.66 ＝（2.6＋7.4）＋（12.34＋0.66） ＝10＋13 ＝23 15.09＋21.3＋4.91＋7.7 ＝15.09＋4.91＋21.3＋7.7 ＝（15.09＋4.91）＋（21.3＋7.7） ＝20＋29 ＝49 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算 【典型例题】（26-27五年级上·江苏·课后作业）计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 32×48＋68×48    384－（1200÷60＋75）      101×98－98    10.65－（10.65－8.33） 【答案】4800；289；9800；8.33 【思路引导】根据乘法分配律进行简算； 先算除法，再算加法，最后算减法； 根据乘法分配律进行简算； 根据减法的性质进行简算。 【规范解答】32×48＋68×48 ＝（32＋68）×48 ＝100×48 ＝4800 384－（1200÷60＋75） ＝384－（20＋75） ＝384－95 ＝289 101×98－98 ＝（101－1）×98 ＝100×98 ＝9800 10.65－（10.65－8.33） ＝10.65－10.65＋8.33 ＝8.33 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）计算下面各题。 23.5－2.76＋13.24        64.45－14.3－32.45        11.89－（4.89－2.11） 3.75＋0.69＋23.95        5.9－1.62＋2.05           50－22.6－4.8 【答案】33.98；17.7；9.11； 28.39；6.33；22.6 【思路引导】（1）（5）（6）根据小数加减法从左往右依次计算即可。 （2）根据交换律简便计算。 （3）去括号，根据减法性质，原括号内减法变加法。 （4）根据交换律简便计算。 【规范解答】23.5－2.76＋13.24 ＝20.74＋13.24 ＝33.98 64.45－14.3－32.45 ＝64.45－32.45－14.3 ＝32－14.3 ＝17.7 11.89－（4.89－2.11） ＝11.89－4.89＋2.11 ＝7＋2.11 ＝9.11 3.75＋0.69＋23.95 ＝3.75＋23.95＋0.69 ＝27.7＋0.69 ＝28.39 5.9－1.62＋2.05 ＝4.28＋2.05 ＝6.33 50－22.6－4.8 ＝27.4－4.8 ＝22.6 【重难点考点十四】三角形的内角和 【典型例题】（25-26四年级下·陕西渭南·期末）在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1＝20°，∠2＝26°，∠3＝134°。 【思路引导】先用平角＝180°减去已知角160°求出∠1； 根据直角三角形两个锐角和为90°，算出右侧直角三角形的底部未标注的锐角度数；然后通过平角的度数求出∠3； 根据三角形内角和为180°，计算出∠2的度数。 【规范解答】∠1＝180°－160°＝20° 90°－44°＝46° ∠3＝180°－46°＝134° ∠2＝180°−20°−134°＝26° 答：∠1的度数是20°，∠2的度数是26°，∠3的度数是134°。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一角被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】70° 【思路引导】在长方形中，每一个内角都是90°，折叠前后角相等，根据题意可知，∠1所在的直角三角形的另一个角为90°－∠1，这两个相等的角和∠2拼成一个平角，平角为180°，据此可求出∠2的度数。 【规范解答】180°－（90°－35°）×2 ＝180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 答：∠2的度数是70°。 【重难点考点十五】用尺规画线段 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）用圆规和直尺把如图的三角形的三条边依次画到一条直线上（请保留作图痕迹）。 【答案】 【思路引导】通过将三角形的三条边依次首尾相接画在直线上，即可得到一条长度等于三角形周长的线段。 首先，用圆规量取三角形的第一条边（例如1）的长度，保持圆规张角不变，其次，用圆规在直线上截取一段长度为1的线段，接着，用圆规量取三角形的第二条边（例如2）的长度，保持圆规张角不变，以上一步截取的终点为起点，在直线上继续截取一段长度为2的线段，确保首尾相接，最后，用圆规量取三角形的第三条边（例如3）的长度，保持圆规张角不变，以第二步截取的终点为起点，在直线上继续取一段长度为3的线段。 首先用直尺画一条直线，然后用圆规将三角形各边依次截取，用圆规把三角形的三条边首尾相接画到直线上。 【举一反三练习】（2026五年级上·辽宁·专题练习）把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角形，请在方格图中已有边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“”。 【答案】 【思路引导】以已有的AB边（长度为c）为三角形的一边，需要确定第三个顶点C使得AC、BC的长度分别对应a、b或者b、a；用尺规量取线段a的长度，以点A为圆心、a为半径画弧；再量取线段b的长度，以点B为圆心、b为半径画弧，两弧的交点即为C点；也可交换a、b的对应端点，即分别以A为圆心b为半径、B为圆心a为半径画弧，取交点作为C点，最后连接对应线段完成作图。 【重难点考点十六】三角形三边关系 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）通过本单元的学习，我们知道：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可以判断一组小棒能否摆成一个三角形。 (1)猜想：实际判断时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。举例如下。（单位：厘米） (2)验证： (3)结论：________________________________________________________________。 【答案】(1)3；5 (2)a＋c＞b；b＋c＞a (3)用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形 【思路引导】（1）三角形任意两边之和大于第三边，判断三根小棒是否可以摆成一个三角形，需要验算三组，其中最难满足的就是短边＋短边＞最长边，只要这一条成立，另外两条自动成立；先比较三根小棒的长度，再验证短边＋短边＞最长边即可； （2）因为（最长边大于中间边），再给c加上一条边a，那么一定大于b； 因为（最长边大于最短边），再给c加上一条边b，那么一定大于a； 所以，只要成立，另外两个不等式自然成立，能摆成三角形； （3）用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。 【规范解答】（1）由分析可知，因为，且，所以能摆成三角形； （2）由分析可知，，所以；，所以； （3）用三根小棒摆三角形时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）聪聪自制了一个电脑支架，支架底部每相邻两个卡扣间隔1cm，则这个支架底端最多可以移动到第（    ）个卡扣。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 已知三角形的两条边分别长5cm、3cm，先根据三角形的三边关系，得出第三条边最长的长度；再根据每相邻两个卡扣间隔1cm，得出最多可以移动到第几个卡扣。 【规范解答】5＋3＝8（cm） 三角形的第三边＜8cm，最长是：8－1＝7（cm） 7÷1＝7（个） 则这个支架底端最多可以移动到第7个卡扣。 【重难点考点十七】多边形的内角和 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【答案】A 【思路引导】六边形内角和的推导核心是将六边形分割为已知内角和的三角形或四边形，利用已有内角和计算，且分割产生的非六边形内角的角度要扣除。 甲：从六边形的一个顶点出发，把六边形分成了4个三角形，六边形内角和就是4个三角形内角和相加，用三角形内角和乘4计算出结果即可判断是否正确。 乙：把六边形分成了2个完全一样的四边形，六边形内角和就是2个四边形内角和相加，用四边形内角和乘2计算出结果即可判断是否正确。 丙：从六边形的一个边上的点出发，把六边形分成了2个三角形和1个四边形，六边形内角和就是2个三角形内角和与1个四边形内角和相加，计算出结果后即可判断是否正确。 【规范解答】甲．，推导方法正确。 乙．，推导方法正确。 丙．，推导方法正确。 所以甲、乙、丙的方法都正确，选A。 【举一反三练习】（24-25四年级下·浙江丽水·期末）阅读说理题。 利用三角形的内角和是180°的性质，可以推导出四边形的内角和，下面是三位同学的思考过程（如图）。 淘气是这样想的： 将四边形的两个顶点相连，把四边形分割成两个三角形。 四边形的内角和： 笑笑是这样想的： 在四边形里面任取一点0，点0分别与四个顶点相连，把四边形分割成四个三角形。 四边形的内角和： (1)笑笑的方法中，求的是( )。 (2)“”中的360°在图中的哪个位置？请你标出来。 妙想是这样想的： 在四边形一条边上任取一点0，点0分别与两个顶点相连，把四边形分割成三个三角形。 (3)你能看懂妙想的方法吗？把她的想法写出来。 【答案】(1)4个三角形的内角和 (2) (3)妙想是这样想的：在四边形一条边上任取一点，点分别与两个顶点相连，把四边形分割成三个三角形。四边形的内角和： 【思路引导】（1）三角形内角和是，笑笑把四边形内部取点，连接四个顶点，分成4个独立的三角形。就是把这4个三角形所有内角全部加起来的总度数，也就是四个三角形的内角总和。 （2）4个三角形内角总和里，包含两部分：四边形4个内角＋中心点一圈的角。 中心点处，4个角拼在一起刚好绕点一周，一圈周角固定是。 这不属于四边形的内角，计算四边形内角和时要减掉，所以式子要。 （3）妙想在四边形的一条边上取点，连接另外两个顶点，把四边形分成3个三角形； 3个三角形内角总和：；边上的点处会形成一个平角，平角度数是，这个平角不属于四边形内角，需要减去； 计算四边形内角和算式： 【规范解答】（1）求的是4个三角形的内角和。 （2）4个三角形内角总和里， 其中中心点处，4个角拼在一起刚好绕点一周，一圈周角固定是。 这不属于四边形的内角，计算四边形内角和时要减掉，所以式子要。标注方法：在图中间点位置，用角的标注方式标注出来。 （3）妙想是这样想的：在四边形一条边上任取一点，点分别与两个顶点相连，把四边形分割成三个三角形。减去点处不属于四边形的平角，所以四边形的内角和： 【重难点考点十八】图形的密铺 【典型例题】（25-26四年级下·山东青岛·期末）学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，据此解答即可。 【规范解答】密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即。 A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； B．四边形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此四边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； D．正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，不能整除，因此正五边形不可以单独进行密铺；不能选，此选项正确。 【举一反三练习】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 【答案】D 【思路引导】图形的密铺是指用一种或几种图形进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠。要实现密铺，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和必须恰好填满该点周围的空间，即角度之和为360°。在角的分类中，360°的角称为周角。直角是90°，钝角是大于90°且小于180°的角，平角是180°，只有周角等于360°。据此即可选择。 【规范解答】根据分析可知，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时，能密铺成一个平面图形。 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27五年级上·广东汕尾·开学考试）下面算式中，计算结果最接近5的是（    ）。 A．5.12－0.9 B．10－4.85 C．2.8＋2.15 【答案】C 【思路引导】先计算各选项的结果，再与作差，比较差值大小，差值越小说明结果越接近。 【规范解答】． ． ． 2．（2026五年级上·河北·专题练习）芳芳在用计算器计算19.45－8.61时，她错误地输入了19.45－8.91，要改正这个错误，她应该将计算结果再（    ）。 A．加上30 B．加上0.3 C．减去0.3 【答案】B 【思路引导】被减数不变时，减数增加多少，差就减少多少，只要把多减的部分加回去就能得到正确结果。 【规范解答】多减的部分：，多减了0.3，所以错误结果比正确结果少0.3，错误结果加上0.3后可以得到正确结果。 3．（2026五年级上·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是，这个角只能是顶角 A．1个 B．2个 C．3个 【答案】A 【思路引导】任意一个三角形的内角和都是180°；任意两个小数之间有无数个小数；等腰三角形的底角相等，据此解答。 【规范解答】①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°，原题说法错误； ②1.2和1.4之间有无数个小数，原题说法错误； ③等腰三角形的两个底角相等，若98°是底角，则两个底角的和是98°＋98°＝196°，大于三角形内角和，所以这个角只能是顶角，原题说法正确。 综上可得：正确的是③。 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】多边形内角和推导方法：从同一个顶点向不相邻的顶点画对角线，把五边形分割成若干个三角形。一个三角形内角和是180°，算式180°×3，说明要分成3个三角形。 【规范解答】A．从五边形中心点连接各个顶点，分成5个三角形，不符合题意。 B．从五边形的一条边上的一点连接其余三个顶点，分成4个三角形，不符合题意。 C．从五边形同一个顶点，向不相邻顶点画对角线，分成3个三角形，对应算式180°×3，符合题意。 D．连接五边形的两个顶点，得到一个三角形和一个四边形，不符合题意。 5．（26-27五年级上·辽宁·周测）有2cm，3cm，4cm，5cm，6cm木棒各一根，选用其中三根，首尾相连围成三角形，共可以围成( )种不同的三角形。如果围成的是直角三角形，它的三条边分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 3cm 4cm 5cm 【思路引导】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断是否能构成三角形，只需验证较小两边之和是否大于最大边即可。列出所有三根木棒的组合，再筛选。 从能构成三角形的组合里，用勾股定理“两条较短边的平方和等于最长边的平方”判断是否为直角三角形，找到对应的三边长度。 【规范解答】2cm、3cm、4cm：2＋3＞4，可行； 2cm、3cm、5cm，2＋3＝5，不可行； 2cm、3cm、6cm，2＋3＜6，不可行； 2cm、4cm、5cm，2＋4＞5，可行； 2cm、4cm、6cm，2＋4＝6，不可行； 2cm、5cm、6cm，2＋5＞6，可行； 3cm、4cm、5cm，3＋4＞5，可行； 3cm、4cm、6cm，3＋4＞6，可行； 3cm、5cm、6cm，3＋5＞6，可行； 4cm、5cm、6cm，4＋5＞6，可行。 综上，可行的共7种。 32＋42 ＝3×3＋4×4 ＝9＋16 ＝25 ＝52 所以能围成直角三角形的三条边分别是3cm、4cm、5cm。 6．（26-27五年级上·辽宁·周测）爷爷要给他的小狗搭一个房子（如图），房顶的框架是三角形，其中一根木条是3dm，另一根木条是5dm，那么第三根木条是( )dm，“人”字梁的高度不大于( )dm。（取整分米数） 【答案】 3 3 【思路引导】三角形任意两边长度和大于第三条边，3＋3＞5，5＋3＞3且三角形最下面的一边要大于4dm，所以另一根为3dm。在直角三角形中，直角边的长度小于斜边的长度，所以“人”字梁的高度不大于3dm。 【规范解答】分析可知，第三根木条是3dm，“人”字梁的高度不大于3dm。 7．（26-27五年级上·河北·单元测试）根据要求用0，0，1，2，3和小数点写数。（各写1个） (1)组成最小的小数。( ) (2)组成个位、十分位都是0的三位小数。( ) (3)组成两个0都不读出来的两位小数。( ) 【答案】(1)0.0123 (2)10.023 (3)100.23 【思路引导】（1）要让数最小，首先整数部分要尽可能小，选最小的数字0当整数部分，剩下的数字从小到大顺着排列在小数部分。 （2）组成个位、十分位都是0的三位小数 要求是三位小数，说明小数点后有3个数字，已经规定个位、十分位都是0，剩下的1、2、3三个数字中任选1个放在整数部分的十位，剩余2个放在百分位、千分位排列即可。（答案不唯一，符合即可） （3）组成两个0都不读出来的两位小数 小数里的0如果在整数部分的末尾，就不用读出来，我们把两个0都放在整数部分的最后，剩下的1、2、3中任选1个放在整数部分的百位，剩余2个放在小数部分排列即可。（答案不唯一，符合即可） 【规范解答】（1）组成最小的小数是0.0123。 （2）组成个位、十分位都是0的三位小数是10.023。 （3）组成两个0都不读出来的两位小数是100.23。 8．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）要使□9.□8最接近20，这个数是( )。 【答案】19.98 【思路引导】要使小数最接近目标整数，先确定可能的整数部分：若整数部分比目标整数小，需小数部分尽可能大；若整数部分比目标整数大，需小数部分尽可能小，再比较不同整数部分对应最接近数与目标的差值，选差值最小的即可。 【规范解答】若十位数字大于或等于2，该数最小为29.08，29.08－20＝9.08，则与20的差值大于或等于9.08，远大于十位取1时的数与20的最大差值，即20－19.08＝0.92，因此仅需考虑十位取1的情况，此时要让19.□8最接近20，十分位取最大的9，所以这个数是19.98。 9．（2026五年级上·河北·专题练习）魏堌（gù）堆遗址重点保护面积约九点二八万平方米，横线上的数写作9.028。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】写小数时，整数部分按照整数的写法去写，再在个位的右下角点上小数点，小数部分要依次写出每个数位上的数字。 【规范解答】根据分析可知： 魏堌（gù）堆遗址重点保护面积约九点二八万平方米，横线上的数写作：9.28。原题说法错误。 故答案为：× 10．（26-27五年级上·山东·单元测试）小数和小数相加、减，所得的结果不一定是小数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】采用赋值法举反例即可验证说法正误。 【规范解答】假设两个小数分别是2.5和1.5。 ，结果是整数，说明小数相加、减的结果可能是整数，也可能是小数，因此题干说法正确。 故答案为：√ 11．（25-26四年级下·河南南阳·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米，那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，确定两种情况的三条边是否能围成一个等腰三角形，据此解答。 【规范解答】10＋4＞10 7＋7＞10 符合三角形三边关系，原题说法正确。 故答案为：√ 12．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）一个三角形中，有一个角是56°，另外两个角可能是24°和100°。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】三角形的三个内角之和等于180°，据此把这三个角的度数相加，即可判断。 【规范解答】56°＋24°＋100° ＝80°＋100° ＝180° 一个三角形中，有一个角是56°，另外两个角可能是24°和100°。原题说法正确。 故答案为：√ 13．（26-27五年级上·辽宁·周测）如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于多少度？ 【答案】360° 【思路引导】 把与∠1、∠2、∠3和∠4相邻的内角分别记为∠1′、∠2′、∠3′和∠4′，任意连接四边形的两个相对顶点可知，四边形内角和等于两个三角形内角度数的和，即为360°。 ∠1和∠1′组成平角，所以∠1＝180°－∠1′； ∠2和∠2′组成平角，所以∠2＝180°－∠2′； ∠3和∠3′组成平角，所以∠3＝180°－∠3′； ∠4和∠4′组成平角，所以∠4＝180°－∠4′； 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠1′＋180°－∠2′＋180°－∠3′＋180°－∠4′ ＝180°×4－（∠1′＋∠2′＋∠3′＋∠4′） 又因为∠1′＋∠2′＋∠3′＋∠4′＝360°，代入即可求解。 【规范解答】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠1′＋180°－∠2′＋180°－∠3′＋180°－∠4′ ＝180°×4－（∠1′＋∠2′＋∠3′＋∠4′） ＝720°－360° ＝360° 14．（26-27五年级上·广东汕尾·开学考试）竖式计算，带★的要验算。 18.56＋9.74＝      ★30－12.68＝      408×25＝ 【答案】28.3；17.32；10200 【思路引导】计算小数加、减法：先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）；再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）。减法的验算用加法，即被减数－减数＝差，被减数＝差＋减数。 计算三位数乘两位数的乘法时，先用两位数的个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的个位对齐，再用两位数的十位去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来，就是所求的积。 【规范解答】18.56＋9.74＝28.3                       30－12.68＝17.32                                                  验算： 408×25＝10200 15．（26-27五年级上·辽宁·周测）用0，0，3，6和小数点组成符合要求的小数。（数字全要用上） (1)一个零都不读的一位小数。 (2)只读一个零的两位小数。 (3)读出两个零的三位小数。 【答案】(1)300.6，600.3 (2)30.06，30.60，60.03，60.30 (3)0.036，0.063，0.306，0.603，0.360，0.630，3.006，3.060，3.600，6.003，6.030，6.300 【思路引导】依据小数的读法规则：整数部分每级末尾的0不读，小数部分的0需依次读出；结合各小题的小数位数要求，有序排列数字，注意整数部分位数大于1时，最高位不能为0。 【规范解答】（1）要一个零都不读，小数部分不能有0（小数部分的0必须读出），且两个0需放在整数部分的末尾（整数部分末尾的0不读）。 整数部分最高位为3时，小数部分为6，得； 整数部分最高位为6时，小数部分为3，得。 （2）只读一个零，即1个0读出、1个0不读。小数部分的0都要读出，整数部分末尾的0不读，因此1个0放在整数部分个位（不读），1个0放在小数部分（读）。 整数部分十位为3、个位为0时，小数部分由0和6排列，得、； 整数部分十位为6、个位为0时，小数部分由0和3排列，得、。 （3）读出两个零即两个0都要读出。整数部分只有1位，0在整数部分时需读出，0在小数部分时也需读出，因此所有符合数字要求的三位小数都满足条件。 有序枚举所有可能： ①整数部分为3时，小数部分由0、0、6排列，得、、； ②整数部分为6时，小数部分由0、0、3排列，得、、； ③整数部分为0时，小数部分由0、3、6排列，得、、、、、。 16．（26-27五年级上·辽宁·周测）两个数的差是10.52，如果被减数增加4.2，减数增加2.3，那么差是多少？如果被减数减少4.2，减数减少2.3，那么差是多少？如果被减数减少4.2，减数增加2.3，那么差又是多少？如果被减数增加4.2，减数减少2.3，那么差又是多少？ 【答案】12.42；8.62；4.02；17.02 【思路引导】被减数减数＝差；被减数增加几，差就增加几；被减数减少几，差就减少几；减数增加几，差反而减少几；减数减少几，差反而增加几。据此解答。 【规范解答】 答：两个数的差是10.52，如果被减数增加4.2，减数增加2.3，那么差是12.42。如果被减数减少4.2，减数减少2.3，那么差是8.62。如果被减数减少4.2，减数增加2.3，那么差又是4.02。如果被减数增加4.2，减数减少2.3，那么差又是17.02。 17．（26-27五年级上·辽宁·周测）一个等腰三角形的周长是54厘米。 (1)如果腰比底短3厘米，它的底是多少厘米？ (2)如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是多少厘米呢？ 【答案】(1)20厘米 (2)10厘米 【思路引导】（1）等腰三角形周长＝腰长×2＋底边长，当三条边长相等时，腰长为，腰比底短3厘米，用此时的腰长加上3即它的底边长度。 （2）因为腰长底，且腰底，代入求出底即可。 【规范解答】（1） （厘米） 答：如果腰比底短3厘米，它的底是20厘米。 （2） （厘米） 答：如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是厘米。 18．（26-27五年级上·辽宁·周测）将一根18厘米长的铁丝剪成3段，每段的长度都是整厘米数，把它们焊接成一个三角形（接头处忽略不计）。其中一段的长度是8厘米，另外两段的长度可能是多少厘米？ 【答案】另外两段的长度可能是2厘米和8厘米，可能是3厘米和7厘米，可能是4厘米和6厘米，可能是5厘米和5厘米。 【思路引导】用总长度减去8厘米，算出另外两段的长度之和；再根据三角形任意两边的和大于第三边，判断能否围成三角形。 【规范解答】（厘米） （1）当另外两段是1厘米和9厘米时：（厘米），9＝9，不能围成三角形。 （2）当另外两段是2厘米和8厘米时：2＋8＝10（厘米），10＞8，能围成三角形。 （3）当另外两段是3厘米和7厘米时：3＋7＝10（厘米），10＞8，能围成三角形。 （4）当另外两段是4厘米和6厘米时：4＋6＝10（厘米），10＞8，能围成三角形。 （5）当另外两段是5厘米和5厘米时：5＋5＝10（厘米），10＞8，能围成三角形。 答：另外两段的长度可能是2厘米和8厘米，可能是3厘米和7厘米，可能是4厘米和6厘米，可能是5厘米和5厘米。 19．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 【答案】 （1）360度；180×3－180＝360（度） （2）；360度；360度 （3）任意多边形的外角和都是360°。 【思路引导】（1）三角形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，这样的平角一共有3个，平角度数180度，平角度数×3＝三个平角的度数和，三角形的内角和是180度，则三角形的外角和＝三个平角的度数和－三角形内角和。 （2）观察三角形外角与内角的关系，可以发现每个外角都与它所附的内角“成一直线”，即外角 ＋ 内角 ＝180°。由于三角形内角和是180°，那么当我们依次“转过”三角形的各个顶点时，三个外角一共就转了一整圈（360°）。因此，三角形的三个外角和是360°。 同上，画一画、四边形或五边形的每个外角，再将这些外角相加，你会发现四边形的四个外角和、五边形的五个外角和都一样是360°。 四边形可以分成2个三角形，四边形的内角和＝180度×（4－2），据此计算出四边形的内角和，四边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的4个平角，四边形的外角和＝四个平角度数的和－四边形的内角和。 五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和＝180度×（5－2），据此计算出五边形的内角和，五边形一个外角与它相邻的内角组成了一个平角，有这样的5个平角，五边形的外角和＝五个平角度数的和－五边形的内角和。 （3）根据以上计算出的三角形、四边形和五边形的外角和进行猜想即可。 【规范解答】（1）180×3－180 ＝540－180 ＝360（度） 答：三角形三个外角的和是360度。 （2）画图略。 180×4－180×（4－2） ＝720－180×2 ＝720－360 ＝360（度） 180×5－180×（5－2） ＝900－180×3 ＝900－540 ＝360（度） 答：四边形四个外角的和是360度，五边形五个外角的和是360度。 （3）三角形、四边形和五边形的外角和都是360°。 根据结论得到的猜想是：任意多边形的外角和都是360°。 【考点剖析】关键是掌握多边形内角和的计算方法，明确平角的度数。 20．（26-27五年级上·辽宁·周测）王老师和李老师一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。王老师差37.2元，李老师差28元，两人现金凑在一起合买这本书就多出13.6元，这本书多少元？ 【答案】78.8元 【思路引导】两人单独买，王老师缺37.2元，说明王老师的钱＋37.2＝书价；李老师缺28元，说明李老师的钱＋28＝书价；据此可得：王老师的钱＋李老师的钱＋37.2＋28＝2本书的价钱。两人合买，还多出13.6元，说明王老师的钱＋李老师的钱＝书价＋13.6。综上可得：书价＋13.6＋37.2＋28＝2本书的价钱，所以13.6＋37.2＋28＝书价，据此列式解答。 【规范解答】37.2＋28＋13.6＝78.8（元） 答：这本书78.8元。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版数学五年级上册第一次月考知识点培优讲义「新教材」 第一、二单元 小数的再认识和加减法、三角形的再认识 （思维导图+知识清单+18个重难点考点讲练+实战演练 共56题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算 7 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识 7 【重难点考点三】小数的读法和写法 8 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题 8 【重难点考点五】小数的性质 9 【重难点考点六】多位小数的大小比较 9 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法 10 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法 10 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题 11 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算 11 【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 12 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数 13 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算 13 【重难点考点十四】三角形的内角和 14 【重难点考点十五】用尺规画线段 14 【重难点考点十六】三角形三边关系 15 【重难点考点十七】多边形的内角和 16 【重难点考点十八】图形的密铺 17 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 知识清单 温故知新 【第一单元 小数的再认识和加减法】 知识点一 小数的意义 1. 小数的产生 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。 2. 小数的意义 小数是分数的另一种表现形式，分母为10、100、1000……的分数可用小数表示为0.1、0.01、0.001…… 3. 小数的数位 小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位，没有最低位，而整数部分的最低位是个位，没有最高位。 4. 小数的计数单位 小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……，每相邻两个计数单位间的进率是10。 5. 小数的数位顺序表 整数部分 小数点 小数部分 数位 … 万位 千位 百位 十位 个位 · 十分位 百分位 千分位 万分位 … 计数单位 … 万 千 百 十 一（个）   十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 … 知识点二 小数的读法和写法 1. 小数的读法 先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。 2. 小数的写法 先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。 知识点三 小数的性质 1. 小数的性质 小数的末尾添上“0”或去掉“0"，小数的大小不变。 2. 小数的化简 （1）化简小数时，只能去掉小数末尾的“0”，其他数位上的“0”不能去掉，否则会改变小数的大小。 （2）把整数改写成小数，先在整数的右下方点上小数点，再根据要求添上相应个数的“0”。 注意：小数中间的“0”不能去掉，在取近似数时，有一些末尾的“0”也不能去掉。 知识点四 小数的大小比较 1. 先比较整数部分； 2. 如果整数部分相同，就比较十分位； 3. 十分位相同，就比较百分位； 4. 以此类推，直到比较出大小。 知识点五 小数的加法 1. 位数相同的小数加法的笔算 （1）相同数位对齐，也就是小数点对齐； （2）从末位算起，计算加法时，哪一位相加满十，要向前一位进1； （3）得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2. 位数不同的小数加法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数加法计算。 注意：如果得数的小数末尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点六 小数的减法 1. 位数相同的小数减法的笔算 （1）相同数位对齐，也就是小数点对齐； （2）哪一位不够减，就从前一位借1当10，在本位上加10再减； （3）得数的小数点要与竖式中横线上的小数点对齐。 2. 位数不同的小数减法的笔算 位数不同时，先在位数小的小数后添上“0”变成位数相同，然后再根据位数相同的小数减法计算。 注意：如果得数的小数末尾有0，一般要去掉，例如5.00化简为5。 知识点七 小数加减法混合运算 小数加减法混合运算与整数加减法运算相同，同级运算，从左往右依次计算，有括号的，先算括号里面的，再算外面的。 知识点八 小数加减法简便计算 （一）整数加法运算律同样适用于小数加法。 1. 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a+b=b+a。 2. 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示：a+b+c=a+(b+c)。 3. 拆分凑整和分组计算仍是加法简便计算的核心思路 （二）整数减法运算性质同样适用于小数减法。 1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，用字母表示为a-b-c=a-(b＋c)。 2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为a-b-c=a-c-b。 【第二单元 三角形的再认识】 知识点一 三角形内角和 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 知识点二 三角形三边关系 1.判断三条线段是否能围出三角形 （1）判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）判断方法：只需判断较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。如果大于，则这三条线段能围成三角形；否则，不能围成三角形。 2.求第三边长度 已知三角形的两条边，设这两条边分别为a、b（a≥b），第三边为c，则根据三边关系可得a−b＜c＜a+b，第三边c的长度取值范围就在a−b与a+b之间（不包括端点值）。 3.求第三边最长（最短）长度剪绳问题 如果要求第三边的最长长度，那么第三边的长度应小于a+b，同时要考虑到实际问题中的取值要求，通常取小于a+b的最大整数。 4.剪绳问题 在解决这类问题时，要全面考虑各种剪法。根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。分别考虑剪开以后得三段线段长度是否符合三角形三边关系，从而判断是否能围成三角形。 知识点三 多边形内角和 1.多边形的定义与性质 多边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。例如，三角形、四边形、五边形等都是多边形。 多边形的性质： 边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两边的交点叫做多边形的顶点。 内角：相邻两边的夹角叫做多边形的内角。 外角：多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做多边形的外角。 2.多边形内角和的计算公式 公式推导：由于多边形可以分解成若干个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此，一个有n个顶点的多边形可以分解成n-2个三角形。所以，多边形的内角和可以用如下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180 度。 实例讲解：例如，一个正六边形，它有6个顶点，可以分解成4个三角形，因此其内角和为 (6 - 2) × 180 度 = 720 度。 3.多边形内角和的计算方法 直接计算法：直接利用公式 (n - 2) × 180 度 计算多边形的内角和。 分割法：将多边形分割成若干个三角形，然后计算这些三角形的内角和之和。这种方法有助于理解多边形内角和公式的推导过程。 4.多边形内角和的应用 多边形内角和的知识点在实际生活中有广泛的应用，例如在设计多边形图案、计算多边形面积等方面都需要用到多边形内角和的知识。此外，多边形内角和的知识点还与几何学的其他领域密切相关，如相似多边形、全等多边形等。 模块三 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】根据小数的意义进行单位换算 【典型例题】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）福清玉融公园环山栈道全长3.6千米。周末刘叔叔和胡叔叔分别从该步道的两端同时出发，刘叔叔每分钟跑85米，胡叔叔每分钟跑95米，两人___________分钟能相遇。 【举一反三练习】（25-26五年级上·陕西安康·阶段检测）图书馆和博物馆相距5.5km。周日上午9：00小莉和小娟分别从图书馆和博物馆骑电动车同时出发，相向而行，小莉每分钟骑300m，小娟每分钟骑250m，两人( )时( )分相遇。 【重难点考点二】小数的数位和计数单位的认识 【典型例题】（26-27五年级上·山东·单元测试）先阅读下面的文字，再按要求填空。 一度电，用处大 一度电可以炼钢约一点六一千克；一度电可以供电车行驶约零点八五千米； 一度电可以供洗衣机工作约2.7小时；一度电可以灌溉农田约0.033公顷。 电的用处非常大，我们应该节约用电！ (1)横线上的小数分别写作：( )、( )。 (2)波浪线上的小数分别读作：( )、( )。 (3)0.033中的两个“3”分别表示3个( )和3个( )。 【举一反三练习】（25-26五年级上·江苏南通·期中）用0、0、4、6和小数点这五张卡片，组成的两位小数中读出“零”的一共有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【重难点考点三】小数的读法和写法 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）用2，5，9这三个数和小数点组成小数，最多能写几个小数？请分别写出这些小数。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·周测）小华在读一个小数时，没看到小数点，读成了三十六万零五。 (1)如果原来的小数只读出一个零，原来的小数是多少？ (2)如果原来的小数读出两个零，原来的小数是多少？ 【重难点考点四】小数的组数和猜数问题 【典型例题】（26-27五年级上·全国·课后作业）用1、5、8、0这四个数字和小数点按要求组数（每个数字都用且只能用一次）。 (1)组成一个最小的三位小数：( )。 (2)组成一个最大的两位小数：( )。 (3)组成一个最大的一位小数：( )。 (4)组成读出一个零的最小的两位小数：( )。 (5)组成一个不需要读出零的最大的两位小数：( )。 【举一反三练习】（25-26五年级上·山西临汾·期中）亮亮和他的朋友们用5、2、0、0这4张卡片和小数点玩组小数游戏。根据下面的要求看谁组得又对又快。（每次卡片全部用完，各写出2个符合要求的小数） （1）整数部分是0的三位小数。 （2）只读一个“零”的两位小数。 （3）一个“零”都不读的一位小数。 【重难点考点五】小数的性质 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）下列说法正确的有（    ）。 ①小数部分最大的计数单位是0.1。②小数的位数越多，小数越大。③0.78和0.780大小相等，但所表示的意义不同。④6元比4.2元多2.8元。 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）用数字“8，8，0，0”和小数点“.”，按要求写出所有小数。（每小题中每个数字和小数点都需用到且只能用一次） (1)只能去掉一个“0”且大小不变的小数。( ) (2)一个“0”也不能去掉的小数。( ) (3)去掉两个“0”且大小不变的小数。( ) 【重难点考点六】多位小数的大小比较 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）有四个同学的体重分别是35.5kg、37.8kg、38.5kg和42kg。其中，小杨比小明重，但比小文轻，小明比小华轻，小杨比小华重。这四个人的体重各是多少千克？ 【举一反三练习】（26-27五年级上·山东·周测）用4、5、6、0和小数点按要求写数。（每个数字都要用上并且只能用一次） (1)小于1且小数部分是三位的小数。 (2)大于6且小数部分是三位的小数。 (3)0可以不读出来且小数部分是两位的小数。 【重难点考点七】多位小数的不进位加法、不退位减法 【典型例题】（25-26四年级下·广东江门·期末）下列说法，正确的是（    ）。 A．小数部分的最高位是十分位 B．0.90与0.900的计数单位相同 C．去掉小数1.070中的2个“0”，小数大小不变 D．计算小数加减法时，小数的末位要对齐 【举一反三练习】（25-26五年级下·山西晋中·期末）在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 【重难点考点八】多位小数的进位加法、退位减法 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）丽丽在做加法时，把一个加数个位上的9看成了4，把另一个加数百分位上的1看成了7，她计算的结果是17.42，与正确的结果相差多少？ 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·周测）小华在计算2.89加一个一位小数时，错误地把数的末尾对齐，结果得到5.48，正确的结果应该是多少？ 【重难点考点九】利用小数加减法解决实际问题 【典型例题】（2026五年级上·河北·专题练习）中欧班列以其运距短、速度快、安全性高及绿色环保等优势，成为国际物流中陆路运输的骨干方式。去年实现欧盟进出口贸易总额505.2亿元，“一带一路”合作伙伴进出口贸易总额734.2亿元，这两区域进出口贸易总额一共多少亿元？ 【举一反三练习】（26-27五年级上·山东·单元测试）由蕾切尔·卡森撰写的《寂静的春天》描写因过度使用化学药品和肥料而导致环境污染、生态破坏，最终给人类带来不堪重负的灾难，向读者传达了环境保护的重要性及其紧迫性。芳芳和丽丽都想买一本《寂静的春天》，可是芳芳带的钱差16.5元，丽丽差20.3元，她俩的钱合起来正好够买一本。一本《寂静的春天》多少元？ 【重难点考点十】小数的加、减法混合运算 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）小玲和小敏共重90.8千克，小玲和小红共重88.5千克，小红和小敏共重90.7千克，她们三人的体重各是多少千克？ 【举一反三练习】26-27五年级上·山东·单元测试）计算下面各题。（能简算的要简算）                         【重难点考点十一】利用小数的加、减法混合运算解决实际问题 【典型例题】（2026五年级上·辽宁·专题练习）西安文创产品丰富多样，以唐代团花、宝相花为核心纹样，融入城墙元素等，让传统纹样从博物馆壁画走进手机壳、手提袋、雨伞等日用品，把“唐潮”变成可触摸的生活质感。 (1)小梦有50元，买1个手机壳和1个手提袋，够吗？ (2)买1个手提袋和1把雨伞，付100元，找回24.73元，对吗？ 【举一反三练习】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）在实验小学冬季校运会上，五年（1）班运动员的实心球成绩如下： ①小军掷了10.32米；②小磊掷了9.56米； ③小丽比小磊少掷了0.63米；④奇奇比小丽多掷了0.65米。 (1)小军选择了其中一些信息，列出了算式9.56－0.63＋0.65。这个算式解决的是什么问题？请你写下来并计算结果。 (2)根据以上信息，请你提出一个至少需要两步计算的数学问题并解答。 【重难点考点十二】整数加法运算律推广到小数 【典型例题】（26-27五年级上·山东·周测）计算下面各题，怎样简便就怎样算。     83.49＋99.9         12.95－1.43－2.57＋1.05    42.38－（2.38＋4.9） 【举一反三练习】（2026五年级上·河北·专题练习）怎样简便怎样算。 1.94＋2.85＋0.15    2.6＋12.34＋0.66＋7.4    15.09＋21.3＋4.91＋7.7 【重难点考点十三】与小数减法相关的简便运算 【典型例题】（26-27五年级上·江苏·课后作业）计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 32×48＋68×48    384－（1200÷60＋75）      101×98－98    10.65－（10.65－8.33） 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）计算下面各题。 23.5－2.76＋13.24        64.45－14.3－32.45        11.89－（4.89－2.11） 3.75＋0.69＋23.95        5.9－1.62＋2.05           50－22.6－4.8 【重难点考点十四】三角形的内角和 【典型例题】（25-26四年级下·陕西渭南·期末）在建设城市高架路中，工程师需要测算匝道的倾斜角度、高架路支柱的各个角度。如图是匝道的横截面示意图，工程师测量示意图三角形外的一个角为160°，右侧直角三角形的一个锐角为44°，请你根据这两个数据，用你学的知识算一算∠1、∠2、∠3的度数。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图，将堆压的长方形地毯拿出来后发现其中的一角被折叠且无法复原，所以需要了解相关的信息，方便裁剪制作其他物品，已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【重难点考点十五】用尺规画线段 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·周测）用圆规和直尺把如图的三角形的三条边依次画到一条直线上（请保留作图痕迹）。 【举一反三练习】（2026五年级上·辽宁·专题练习）把如图左框中的3条线段用尺规作图围成一个三角形，请在方格图中已有边基础上作图，保留作图痕迹，并标注三角形的第三个顶点“”。 【重难点考点十六】三角形三边关系 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）通过本单元的学习，我们知道：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可以判断一组小棒能否摆成一个三角形。 (1)猜想：实际判断时，只要较短的两边之和大于第三边，就能摆成三角形。举例如下。（单位：厘米） (2)验证： (3)结论：________________________________________________________________。 【举一反三练习】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）聪聪自制了一个电脑支架，支架底部每相邻两个卡扣间隔1cm，则这个支架底端最多可以移动到第（    ）个卡扣。 A．6 B．7 C．8 D．9 【重难点考点十七】多边形的内角和 【典型例题】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下列根据三角形或四边形内角和探索六边形内角和的方法正确的是（    ）。 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丙 【举一反三练习】（24-25四年级下·浙江丽水·期末）阅读说理题。 利用三角形的内角和是180°的性质，可以推导出四边形的内角和，下面是三位同学的思考过程（如图）。 淘气是这样想的： 将四边形的两个顶点相连，把四边形分割成两个三角形。 四边形的内角和： 笑笑是这样想的： 在四边形里面任取一点0，点0分别与四个顶点相连，把四边形分割成四个三角形。 四边形的内角和： (1)笑笑的方法中，求的是( )。 (2)“”中的360°在图中的哪个位置？请你标出来。 妙想是这样想的： 在四边形一条边上任取一点0，点0分别与两个顶点相连，把四边形分割成三个三角形。 (3)你能看懂妙想的方法吗？把她的想法写出来。 【重难点考点十八】图形的密铺 【典型例题】（25-26四年级下·山东青岛·期末）学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【举一反三练习】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27五年级上·广东汕尾·开学考试）下面算式中，计算结果最接近5的是（    ）。 A．5.12－0.9 B．10－4.85 C．2.8＋2.15 2．（2026五年级上·河北·专题练习）芳芳在用计算器计算19.45－8.61时，她错误地输入了19.45－8.91，要改正这个错误，她应该将计算结果再（    ）。 A．加上30 B．加上0.3 C．减去0.3 3．（2026五年级上·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是 ②1.2和1.4之间只有1个小数 ③等腰三角形中有一个角是，这个角只能是顶角 A．1个 B．2个 C．3个 4．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（26-27五年级上·辽宁·周测）有2cm，3cm，4cm，5cm，6cm木棒各一根，选用其中三根，首尾相连围成三角形，共可以围成( )种不同的三角形。如果围成的是直角三角形，它的三条边分别是( )，( )，( )。 6．（26-27五年级上·辽宁·周测）爷爷要给他的小狗搭一个房子（如图），房顶的框架是三角形，其中一根木条是3dm，另一根木条是5dm，那么第三根木条是( )dm，“人”字梁的高度不大于( )dm。（取整分米数） 7．（26-27五年级上·河北·单元测试）根据要求用0，0，1，2，3和小数点写数。（各写1个） (1)组成最小的小数。( ) (2)组成个位、十分位都是0的三位小数。( ) (3)组成两个0都不读出来的两位小数。( ) 8．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）要使□9.□8最接近20，这个数是( )。 9．（2026五年级上·河北·专题练习）魏堌（gù）堆遗址重点保护面积约九点二八万平方米，横线上的数写作9.028。( )（判断对错） 10．（26-27五年级上·山东·单元测试）小数和小数相加、减，所得的结果不一定是小数。( )（判断对错） 11．（25-26四年级下·河南南阳·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，如果它的一条边是10厘米，那么它的另外两条边可能是10厘米和4厘米，也可能是7厘米和7厘米。( )（判断对错） 12．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）一个三角形中，有一个角是56°，另外两个角可能是24°和100°。( )（判断对错） 13．（26-27五年级上·辽宁·周测）如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于多少度？ 14．（26-27五年级上·广东汕尾·开学考试）竖式计算，带★的要验算。 18.56＋9.74＝      ★30－12.68＝      408×25＝ 15．（26-27五年级上·辽宁·周测）用0，0，3，6和小数点组成符合要求的小数。（数字全要用上） (1)一个零都不读的一位小数。 (2)只读一个零的两位小数。 (3)读出两个零的三位小数。 16．（26-27五年级上·辽宁·周测）两个数的差是10.52，如果被减数增加4.2，减数增加2.3，那么差是多少？如果被减数减少4.2，减数减少2.3，那么差是多少？如果被减数减少4.2，减数增加2.3，那么差又是多少？如果被减数增加4.2，减数减少2.3，那么差又是多少？ 17．（26-27五年级上·辽宁·周测）一个等腰三角形的周长是54厘米。 (1)如果腰比底短3厘米，它的底是多少厘米？ (2)如果腰是底的2倍还长2厘米，它的底又是多少厘米呢？ 18．（26-27五年级上·辽宁·周测）将一根18厘米长的铁丝剪成3段，每段的长度都是整厘米数，把它们焊接成一个三角形（接头处忽略不计）。其中一段的长度是8厘米，另外两段的长度可能是多少厘米？ 19．（24-25五年级上·北京通州·期末）同学们，你们认识多边形的外角吗？多边形的边与邻边的延长线组成的角就是多边形的外角。如图所示，∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7是四边形的四个外角。 （1）我们知道了三角形的内角和是180度，请你仔细观察图中三角形内角与外角的关系，你能想办法推算出三角形三个外角的和是多少度吗？写出你的思考过程。 （2）画一画、算一算，四边形四个外角的和是多少度？五边形五个外角的和是多少度？ （3）根据上面的发现，你有什么猜想？ 20．（26-27五年级上·辽宁·周测）王老师和李老师一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。王老师差37.2元，李老师差28元，两人现金凑在一起合买这本书就多出13.6元，这本书多少元？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $