第八单元 可能性【导图知识卡片+知识梳理+5个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共60题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理构建“可能性”单元体系，涵盖事件的确定性与不确定性、可能性大小及应用等核心知识点，以框架图呈现“概念-关系-应用”递进脉络，明确必然事件、随机事件等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，高频考点讲练结合名校易错题（如判断抛硬币游戏公平性），奥数拓展提升逻辑推理能力（如设计转盘获奖区域），真题分基础与能力层。通过实际问题培养数学思维与应用意识，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第八单元 可能性『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 事件的确定性与不确定性 3 知识点二 可能性大小 3 知识点的应用 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 事件的确定性与不确定性 3 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 5 高频考点三 游戏规则的公平性 5 高频考点四 可能性大小的应用 6 高频考点五 简单事件发生的可能性求解 7 难点突破 奥数拓展 7 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 7 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 8 奥数拓展三 游戏规则的公平性 9 奥数拓展四 可能性大小的应用 9 奥数拓展五 简单事件发生的可能性求解 10 优选真题 实战演练 10 【基础通关】 10 【能力提升】 13 知识点一 事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能” 。比如，今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二 可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白球多。 知识点的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%，就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 高频考点一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级下·北京朝阳·期末）近年来，北京市的空气质量得到明显改善。王红借助人工智能了解到影响空气质量的因素，并选取公园绿地面积这个因素收集数据，制作折线统计图（如下图）。根据统计图提供的信息，以下结论中错误的是（    ）。 A．2016－2024年，北京市公园绿地面积呈增长趋势。 B．2018－2019年，北京市公园绿地面积增长最多。 C．2019－2024年，北京市公园绿地面积增长趋势变缓。 D．2025年北京市公园绿地面积一定会继续增长。 【变式训练1】（24-25五年级上·重庆开州·期末）下面的现象中，一定会发生的在括号里画“”，有可能发生的在括号里画“”，不可能发生的在括号里画“×”。 （1）2023年的2月份有29天。( ) （2）循环小数是无限小数。( ) （3）聪聪数学期末考试得100分。( ) 【变式训练2】（25-26五年级上·河北保定·期末）如图；两枚骰子的点数相加，和最小是( )，最大是( )，一共有( )种不同的和；在掷骰子游戏中，和为( )的可能性最大；和为2与和为12的可能性( )（填“相等”或“不相等”）。 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面的游戏规则公平吗？在括号里填上“公平”或“不公平”。 (1)抛硬币，正面朝上，小红赢；反面朝上，小枫赢。( ) (2)选出扑克牌中同一花色的13张牌，反扣在桌面上，任意摸一张，点数大于6，小红赢；点数小于6，小枫赢。( ) 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把10张大小、形状都相同的卡片放入箱子里，随意摸一张，可能摸出数字“1” “2” “3”或“4”，并且摸出数字“1”的可能性比摸出数字“2”的可能性大，卡片上可以填什么数字？请你填一填。 【变式训练2】（26-27五年级上·全国·课后作业）在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 高频考点三 游戏规则的公平性 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明和小华用黑桃2～9做游戏，任意摸一张牌，下列玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 【变式训练1】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）奇思和妙想在玩数字卡片游戏。从1、2、3三张卡片中抽取两张组成一个两位数，若这个两位数是奇数奇思赢，如果是偶数妙想赢。这个游戏公平吗？说明理由。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东清远·期末）下面有四个游戏，（    ）游戏对小刚和小红是公平的。 A．摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B．转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C．掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D．抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 高频考点四 可能性大小的应用 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）根据下列要求给转盘涂上颜色。 ①任意转动转盘，指针停在不同颜色的区域有4种可能。 ②任意转动转盘，指针可能停在红色区域。 ③任意转动转盘，指针可能停在绿色区域。 ④任意转动转盘，指针不可能停在白色区域。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）不少小学周边有文具店、小卖店，店里除了零食、文具外，还有一些印着精美的卡通形象用来抽奖的商品。记者发现，在某店的66枚金蛋里，只有7枚设置了现金奖，其中5枚金蛋1元、2枚金蛋5元。请结合数据与生活实际，尝试劝说想要参与抽奖的同学。 【变式训练2】（25-26五年级上·河南郑州·期末）淘淘和乐乐做小数乘、除法的计算游戏，乐乐每次从下面的卡片中任意拿出一张（卡片向下，看不到卡片上的算式），用淘淘手上的2.8去乘或除以乐乐拿出的卡片，得数大于2.8就算乐乐赢，得数小于2.8就算淘淘赢。 (1)认为这个游戏公平吗？请说明理由。 这个游戏( )。我是这样想的：( )。 (2)如果不公平，我把上面的卡片( )改成( )，这个游戏就公平了。（提示：任意选取一张卡片，改变卡片上的运算符号或者数字） 高频考点五 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（25-26五年级下·上海杨浦·阶段检测）盒子里装有一些形状和大小完全相同的红球和绿球，欢欢连续摸了三次，摸到的都是红球，下列说法正确的有（    ）。 A．欢欢再摸一次，摸到的一定是绿球 B．红球的个数一定比绿球多 C．欢欢再摸一次，摸到的可能还是红球 D．绿球的个数不可能和红球相等 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南永州·期末）一个袋子里有6个红球和4个白球，从中任意摸出1个球，摸到红球的可能性是( )；如果摸到红球的可能性是，需要再放入( )个白球。 【变式训练2】（25-26五年级上·浙江湖州·期末）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色朝上的可能性最大，黄色朝上的可能性最小，那么红色的面需要涂（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【变式训练1】（小学奥数7-1-2加法原理之分类枚举（二）专项训练卷）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能。 【变式训练2】（25-26六年级下·广东佛山·期末）有6张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着：1、2、3、6、9、13，请小华随机抽取1张。以下说法不正确的是（    ）。 A．小华可能抽到9 B．小华不可能抽到0 C．小华抽到的不是奇数就是偶数 D．小华抽到的不是质数就是合数 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【变式训练1】（2026·重庆渝北·小升初真题）一副扑克包括大小王在内共54张，其中，红桃、黑桃、梅花、方块4种花色的牌各13张，点数分别从1到13（A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13）。明明在一副扑克中任意抽取2张牌（若抽到大小王，大小王牌可以变身从1到13的任意点数），恰好抽到点数之和为8的倍数的概率（可能性）为多少？ 【变式训练2】（24-25四年级上·江苏·单元测试）爸爸往三个箱子里分别各装10个红球、10个白球、5个红球和5个白球，但是爸爸将箱子外面的标签全贴错了。爸爸要求小明只能从其中一个箱子里拿出一个球就能说出三个箱子里分别装的是什么球。小明要怎样拿球？请你说明判断理由。 奥数拓展三 游戏规则的公平性 【典例精讲】（2025五年级上·全国·专题练习）小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡片。每人出1张，若差为奇数，则小宇胜；若差为偶数（不为0），则小恒胜；若差为0，则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 【变式训练1】（23-24五年级上·福建福州·期末）李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比，（    ）。 A．李涵胜算大 B．王萱胜算大 C．同样多 D．无法确定 【变式训练2】竞选班长演讲比赛，赵强、张明两位同学进入决赛，抽签决定出场顺序。箱子里的10张数字卡片上分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数字，约定任抽1张确定出场顺序。 下面是三名同学制定的抽签规则： 王洁：抽出的数小于5，则赵强先出场；若抽出的数大于5，则张明先出场。 李玲：抽出的数小于6，则赵强先出场；若抽出的数大于5，则张明先出场。 赵林：抽出的数小于4，则赵强先出场；若抽出的数大于7，则张明先出场。 （1）___________的方法既简单又公平合理。 （2）请你对这三名同学制定的抽签规则是否公平合理做一个简要评价。 （3）请你再设计一个公平的抽签规则。 奥数拓展四 可能性大小的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期中）随着“双十一”的来临，商场计划推出一项转盘抽奖活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的商品，二等奖是价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖的区域，并说一说你这样设计的理由。 【变式训练1】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期中）乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个，其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入（    ）个红球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（    ）的可能性大。 A．6 B．7 C．8 D．9 奥数拓展五 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25五年级上·山东菏泽·期中）在一个装有2个红球、1个蓝球和1个黄球（除了颜色不同，其他均相同）的纸箱里，任意摸出2个球，有3种可能的结果。( )（判断对错） 【变式训练1】在1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是，不是质数的可能性用分数表示是。 【变式训练2】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上（如图）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 【基础通关】 1．（2026五年级上·辽宁·专题练习）五（6）班用积分可以转“转盘”，转盘上有4种不同的奖励，20名同学每人转1次，转出来的结果统计如下表。再转一次，是（    ）的可能性最大。 免作业一次 棒棒糖一根 饮料一瓶 发表扬信 4人 9人 2人 5人 A．免作业一次 B．棒棒糖一根 C．饮料一瓶 D．发表扬信 2．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面说法中，哪个是正确的？（    ） A．两个盒子里都装有4个红球，则从这两个盒子里摸出红球的可能性相等。 B．袋子里装有白棋、黑棋各10枚，每次任意摸出1枚，摸后放回摇匀，如果摸10次，那么一定有5次摸到白棋，5次摸到黑棋。 C．从3支铅笔和3块橡皮中摸出1个，摸到铅笔淘气胜，否则笑笑胜，这个规则不公平。 D．盒子里装了一些小球，摸了30次，每次都是红球，所以盒子里都是红球。 3．（2026五年级上·辽宁·专题练习）一个三角形的最小内角是55°，这个三角形（    ）。 A．一定是锐角三角形 B．可能是钝角三角形 C．可能是直角三角形 D．可能是等边三角形 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个不透明袋子里装有数量不同、包装相同的果味糖和奶味糖，小红一共摸了20次，每次摸出后记下种类，再放回袋子里摇匀，下面是她摸糖的记录。 种类 果味糖 奶味糖 次数 4 16 (1)袋子里可能( )糖多，( )糖少。 (2)再摸一次，最有可能摸到( )糖。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然后放回去，摸到两张牌上点数的和有( )种可能，摸到和为( )的可能性最大；摸到和大于6，一方赢，小于6，另一方赢，这个游戏是( )的。 6．（25-26五年级下·陕西安康·阶段检测）从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性不相等。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）同时掷出两个数点块，掷出的点数都是双数的可能性比掷出的点数是一单一双的可能性小。( )（判断对错） 8．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）国庆节当天，某商场举行摸球赢大奖的活动，购物满99元可摸奖1次（摸1次集1个字），只要集齐“国庆节快乐”5个字，就可赢得一部手机。乐乐在摸奖箱旁边随机观察了90人，这90人为了得到大奖，每人都摸了5次，共450次。情况如下。 摸到的字 国 庆 节 快 乐 摸到的次数 165 85 92 2 106 根据调查结果推测，容易赢得大奖吗？请写出你的理由。 9．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小丽和小明玩转盘游戏。同时转动如图的两个转盘，若转到的两个数的积是2的倍数，则小丽赢；若不是2的倍数，则小明赢。你认为这样的游戏规则公平吗？请说明理由。若不公平，请你设计一个公平的游戏规则。 10．（2026五年级上·辽宁·专题练习）某文具店开展促销活动，他们在店门口设计了一个转盘，顾客只要消费满10元就可以转动转盘一次，已知转盘上共有5个区域，它们分别是：谢谢参与、书包、钢笔、格尺、橡皮。如果“谢谢参与”出现的可能性最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮。请你在下面的转盘上标出它们的位置。 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）口袋里有大小、质地完全相同的红、白、黄球若干个，每次摸一个，摸后放回摇匀。重复20次的结果依次是黄、黄、白、红、白、红、黄、红、红、红、白、黄、白、红、黄、红、红、红、红、红。对第21次的结果猜测错误的是（    ）。 A．一定是红球 B．可能是白球 C．红球可能性最大 D．红、白、黄球都有可能 2．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）小明和小红在下围棋，为了决定谁先走，以下四种方案（    ）是公平的。 A．抛掷一枚瓶盖，正面朝上则小明先走，反之小红先走。 B．一副扑克牌中抽取一张牌，若花色是红桃则小明先走，若不是红桃则小红先走。 C．投掷一颗骰子，如果点数小于3则小明先走，若大于3则小红先走。 D．箱子里有3个黄球、3个红球（除颜色外完全相同），从中随机摸一个球，如果是黄球则小明先走，如果是红球小红先走。 3．（25-26五年级上·山东烟台·期末）盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第（    ）次能摸到黄球，摸（    ）次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上（    ）个黄球。 A．4；11；9 B．5；11；4 C．9；4；11 D．11；9；4 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）盒子里有红、白、蓝三种颜色的小球，它们的大小、材质都相同，华华摸了30次，情况如下。 颜色 红色 白色 蓝色 次数 2 10 18 根据数据推测，盒子里( )色球可能最多，( )色球可能最少。 5．选出点数为1和2的扑克牌各两张，花色均不相同，反扣在桌面上。甲、乙两人摸牌，每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸，两张牌的点数和等于3的有( )种可能。请根据两张牌点数和的所有可能，设计一个“决定谁赢”的公平的游戏规则：( )。 6．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·广东江门·期中）盒子中有白色、黄色乒乓球，任意摸出一个乒乓球，摸了3次都是白色乒乓球，可以说盒中白色乒乓球比黄色乒乓球多。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）小林和小军两人玩掷骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点数）游戏，掷到的点数大于3点小林赢，掷到的点数小于3点小军赢，掷到3点重来一次。你认为这个规则公平吗？如何修改，才能使这个规则对他俩都公平呢？ 9．（25-26五年级上·湖北黄石·期中）某商场国庆节举行促销活动。步骤一：顾客首先需要玩一个抽卡享受折扣的游戏：从写有数字1（代表1折）到10（代表10折，即原价）的10张卡片中，随机抽取两张。商场规定，抽卡享受的折扣是这两张卡片数字的乘积（单位：折）。例如，抽到3和5，即享受三折与五折的乘积，0.3×0.5＝0.15。即享受一五折。步骤二：“幸运大转盘”游戏：转盘被平均分成8个扇形区域，分别写着：1、2、3、4、5、6、7、8。顾客可以去转动一次幸运大转盘。转盘停止后，指针所指的数字再和他步骤一抽到的折扣相乘，得到一个新的最终折扣。国庆节小明到该商场购物，如果小明第一次抽卡游戏得到的折扣是6折，那么他转动转盘后得到的数字与抽卡游戏得到的折扣相乘，最终折扣恰好是5折的可能性是多少？ 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第八单元 可能性『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共60题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 事件的确定性与不确定性 3 知识点二 可能性大小 3 知识点的应用 3 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 事件的确定性与不确定性 3 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 6 高频考点三 游戏规则的公平性 7 高频考点四 可能性大小的应用 9 高频考点五 简单事件发生的可能性求解 11 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 13 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 14 奥数拓展三 游戏规则的公平性 16 奥数拓展四 可能性大小的应用 19 奥数拓展五 简单事件发生的可能性求解 21 优选真题 实战演练 23 【基础通关】 23 【能力提升】 28 知识点一 事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能” 。比如，今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二 可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白球多。 知识点的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%，就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 高频考点一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级下·北京朝阳·期末）近年来，北京市的空气质量得到明显改善。王红借助人工智能了解到影响空气质量的因素，并选取公园绿地面积这个因素收集数据，制作折线统计图（如下图）。根据统计图提供的信息，以下结论中错误的是（    ）。 A．2016－2024年，北京市公园绿地面积呈增长趋势。 B．2018－2019年，北京市公园绿地面积增长最多。 C．2019－2024年，北京市公园绿地面积增长趋势变缓。 D．2025年北京市公园绿地面积一定会继续增长。 【答案】D 【思路引导】观察折线统计图，从折线的变化获取信息，折线向上则表示呈上升趋势，折线向下则表示呈下降趋势；折线变化最陡峭的一段说明这段时间内数据变化量最大。 【规范解答】A．观察折线统计图，折线呈上升变化趋势，说明2016－2024年，北京市公园绿地面积呈增长趋势，原说法正确； B．观察折线统计图，2018－2019年这一段的折线最陡峭，说明2018－2019年，北京市公园绿地面积增长最多，原说法正确； C．观察折线统计图，2019年之后的折线相比之前的折线向上趋势变平缓，说明2019－2024年，北京市公园绿地面积增长趋势变缓，原说法正确； D．预测具有不确定性，所以2025年北京市公园绿地面积可能会继续增长，原说法错误。 【变式训练1】（24-25五年级上·重庆开州·期末）下面的现象中，一定会发生的在括号里画“”，有可能发生的在括号里画“”，不可能发生的在括号里画“×”。 （1）2023年的2月份有29天。( ) （2）循环小数是无限小数。( ) （3）聪聪数学期末考试得100分。( ) 【答案】 × 【思路引导】一定会发生的事件（必然事件）：在一定条件下，每次都必然会发生的事件；可能发生的事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能发生的事件（不可能事件）：在一定条件下，一定不会发生的事件，据此解答。 【规范解答】2023年是平年，2月只有28天，不可能有29天，属于不可能事件，画×。 循环小数的定义就是无限小数，属于必然事件，画○。 聪聪数学期末考试可能得100分，也可能不得，属于随机事件，画△。 【变式训练2】（25-26五年级上·河北保定·期末）如图；两枚骰子的点数相加，和最小是( )，最大是( )，一共有( )种不同的和；在掷骰子游戏中，和为( )的可能性最大；和为2与和为12的可能性( )（填“相等”或“不相等”）。 【答案】 2 12 11 7 相等 【思路引导】骰子的最小点数是1，最大点数是6，所以两枚骰子点数相加时，最小和为两个最小点数相加，最大和为两个最大点数相加。 和的取值范围是2至12，分别数出该范围内不同和的数量即可。 统计每个和出现的次数，次数最多的和就是可能性最大的。 对比和为2与和为12的出现次数，若次数相同，则可能性相等。 【规范解答】两枚骰子最小点数都是1，因此和最小为1＋1＝2；最大点数都是6，因此和最大为6＋6＝12。 从2到12的整数依次为：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，共11种不同的和。 和为2有1次，和为3有2次，和为4有3次，和为5有4次，和为6有5次，和为7有6次，和为8有5次，和为9有4次，和为10有3次，和为11有2次，和为12有1次，出现次数最多的是7，因此和为7的可能性最大。 和为2仅出现1次，和为12也仅出现1次，出现次数相同，所以可能性相等。 高频考点二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面的游戏规则公平吗？在括号里填上“公平”或“不公平”。 (1)抛硬币，正面朝上，小红赢；反面朝上，小枫赢。( ) (2)选出扑克牌中同一花色的13张牌，反扣在桌面上，任意摸一张，点数大于6，小红赢；点数小于6，小枫赢。( ) 【答案】(1)公平 (2)不公平 【思路引导】（1）判断游戏规则是否公平，关键比较双方获胜可能性。获胜可能性相等，游戏公平；反之则不公平。抛硬币有正面朝上、反面朝上两种等可能结果； （2）分别找出扑克牌中同一花色的13张牌中点数大于6和点数小于6的张数，比较摸到的可能性是否相等。 【规范解答】（1）抛硬币有正面朝上、反面朝上两种等可能结果，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以游戏规则公平。 （2）同一花色13张扑克牌点数：A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。 大于6：7、8、9、10、J、Q、K，共7张； 小于6：A、2、3、4、5，共5张。 7＞5 摸到大于6和小于6的牌的可能性不相等，所以游戏规则不公平。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把10张大小、形状都相同的卡片放入箱子里，随意摸一张，可能摸出数字“1” “2” “3”或“4”，并且摸出数字“1”的可能性比摸出数字“2”的可能性大，卡片上可以填什么数字？请你填一填。 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】可能性的大小和对应物体的数量有关，数量越多，摸到的可能性越大；要保证能摸到1、2、3、4，卡片上必须四个数字都存在，同时要让摸到数字1的可能性大于数字2，就要让写数字1的卡片数量比数字2的卡片数量多。 【变式训练2】（26-27五年级上·全国·课后作业）在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 【答案】(1)游戏规则公平。写“1”和“2”的面各有3个，“1”朝上与“2”朝上的可能性相等。 (2)游戏规则不公平。写“1”的面有4个，写“2”的面有2个，“1”朝上的可能性更大，甲赢的可能性大。 (3)游戏规则公平。小于或等于3的数有3个，大于3的数有3个，两种情况朝上的可能性相等。 【思路引导】判断游戏是否公平，需比较甲、乙两人获胜的可能性是否相等。正方体6个面朝上的可能性相同，因此只需比较两人获胜对应的面数，面数相等则可能性相等，游戏公平；面数不等则可能性不等，游戏不公平。 【规范解答】（1）写“1”的面数为3，写“2”的面数为3。3＝3，两人获胜的可能性相等，游戏公平。 （2）写“1”的面数为4，写“2”的面数为2。4＞2，甲获胜的可能性更大，游戏不公平。 （3）小于或等于3的数有1、2、3，共3个；大于3的数有4、5、6，共3个。3＝3，两人获胜的可能性相等，游戏公平。 高频考点三 游戏规则的公平性 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明和小华用黑桃2～9做游戏，任意摸一张牌，下列玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 【答案】玩法三不公平，因为在2～9的数字中，大于5的牌有4张，小于5的牌有3张，摸到大于5的可能性大，摸到小于5的可能性小，所以这种玩法不公平。 【思路引导】判断游戏是否公平，要看双方赢的可能性是否相等，即对应牌的数量是否相同。先列出2～9的所有牌，再分别统计每种玩法中两人对应的牌的数量，数量相等则公平，不等则不公平。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】黑桃2～9的牌为：2、3、4、5、6、7、8、9，共8张。 玩法一：奇数牌有3、5、7、9，共4张；偶数牌有2、4、6、8，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 玩法二：质数牌有2、3、5、7，共4张；合数牌有4、6、8、9，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 玩法三：大于5的牌有6、7、8、9，共4张；小于5的牌有2、3、4，共3张。4＞3，小明赢的可能性更大，双方赢的可能性不相等，玩法不公平。 玩法四：3或5的倍数的牌有3、5、6、9，共4张；其余牌有2、4、7、8，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 【变式训练1】（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）奇思和妙想在玩数字卡片游戏。从1、2、3三张卡片中抽取两张组成一个两位数，若这个两位数是奇数奇思赢，如果是偶数妙想赢。这个游戏公平吗？说明理由。 【答案】不公平。理由：一共可以组成6个两位数，其中奇数有4个，偶数只有2个，两人赢的可能性不相等，所以游戏不公平。 【思路引导】判断游戏公不公平，需要看奇数和偶数出现的可能性是否相等。先把1、2、3中抽取两张能组成的所有两位数列举出来，再分别统计奇数和偶数的数量，比较数量多少，数量不相等则游戏不公平。 【规范解答】可以组成的两位数：12、13、21、23、31、32。 奇数：13、21、23、31，共4个。 偶数：12、32，共2个。 奇数的数量多于偶数，奇思赢的可能性大，妙想赢的可能性小。 答：这个游戏不公平。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东清远·期末）下面有四个游戏，（    ）游戏对小刚和小红是公平的。 A．摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B．转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C．掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D．抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 【答案】D 【思路引导】判断游戏公平性的依据是双方获胜的可能性是否相等。如果双方获胜的可能性相等，游戏公平；否则，游戏不公平。需要分别分析四个选项中双方获胜的情况数量进行比较。 【规范解答】A．袋子里有3个红球和2个白球，3≠2，摸到红球和摸到白球的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； B．转盘上4块红色，2块蓝色，4≠2，指向红色和指向蓝色的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； C．掷骰子，点数大于3的有 4、5、6，共3种情况；点数小于3的有 1、2，共2种情况。3≠2，双方获胜的可能性不相等，游戏对小刚和小红是不公平的； D．抛硬币，正面朝上和反面朝上各只有1种情况，1＝1，双方获胜的可能性相等，此选项正确。 所以D选项游戏对小刚和小红是公平的。 高频考点四 可能性大小的应用 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）根据下列要求给转盘涂上颜色。 ①任意转动转盘，指针停在不同颜色的区域有4种可能。 ②任意转动转盘，指针可能停在红色区域。 ③任意转动转盘，指针可能停在绿色区域。 ④任意转动转盘，指针不可能停在白色区域。 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】先根据要求①，确定需要选择4种不同的颜色来涂转盘的4个区域，保证指针停在不同颜色的区域有4种可能；根据要求②和③，在4种颜色中必须包含红色和绿色，各对应至少一个区域；根据要求④，排除白色作为涂色的可选颜色，所有区域都不使用白色涂抹；最后将选好的4种包含红、绿且不含白的颜色，分别涂在转盘的4个区域即可（其余两种颜色不唯一，涂色如图所示）。 【规范解答】略 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）不少小学周边有文具店、小卖店，店里除了零食、文具外，还有一些印着精美的卡通形象用来抽奖的商品。记者发现，在某店的66枚金蛋里，只有7枚设置了现金奖，其中5枚金蛋1元、2枚金蛋5元。请结合数据与生活实际，尝试劝说想要参与抽奖的同学。 【答案】 示例：同学们别参与这个抽奖啦：66枚金蛋里只有7枚有奖，剩下59枚都没奖，中奖机会特别小；就算中奖，大部分也只能中1元，最多才中5元，我们花的抽奖钱大概率比拿到的奖金多，完全不划算，还不如把钱用来买需要的文具或者存起来更实在。 【思路引导】首先计算中奖的总概率，因为总共有66枚金蛋，其中有奖的只有7枚，所以可以先明确参与抽奖时能中奖的概率水平。 计算如果参与抽奖，获得奖金的期望，因为有5枚1元奖、2枚5元奖，所以可以结合不同奖项的金额和对应的概率，算出单次抽奖的平均收益。 结合抽奖的参与成本，对比平均收益和参与成本的差距，再联系生活实际说明这类抽奖的收益特征，完成劝说逻辑的搭建。 【规范解答】没奖的金蛋数量：枚，没奖的蛋比有奖的多很多，中奖概率很低； 再看奖金设置：7个奖里5个都是1元小奖，大奖只有2个，很难抽到； 结合生活实际，抽奖肯定要先花钱买抽奖资格，最后基本都是店家赚钱，我们很容易白白浪费零花钱。 【变式训练2】（25-26五年级上·河南郑州·期末）淘淘和乐乐做小数乘、除法的计算游戏，乐乐每次从下面的卡片中任意拿出一张（卡片向下，看不到卡片上的算式），用淘淘手上的2.8去乘或除以乐乐拿出的卡片，得数大于2.8就算乐乐赢，得数小于2.8就算淘淘赢。 (1)认为这个游戏公平吗？请说明理由。 这个游戏( )。我是这样想的：( )。 (2)如果不公平，我把上面的卡片( )改成( )，这个游戏就公平了。（提示：任意选取一张卡片，改变卡片上的运算符号或者数字） 【答案】(1) 不公平 乐乐赢的情况有5种，淘淘赢的情况有3种，数量不同，游戏不公平。 (2) ÷0.1 ÷2.0 【思路引导】（1）根据因数和积、商和除数的关系，分别判断8张卡片运算后结果与2.8的大小关系，统计乐乐赢和淘淘赢的情况数量，数量不同则游戏不公平； （2）调整卡片，使乐乐赢和淘淘赢的情况数量相等，游戏就公平。 【规范解答】（1）÷0.1：2.8÷0.1＝28＞2.8（乐乐赢）； ×3.5：2.8×3.5＞2.8（乐乐赢）； ×0.58：2.8×0.58＜2.8（淘淘赢）； ÷1.2：2.8÷1.2＜2.8（淘淘赢）； ÷2.7：2.8÷2.7＜2.8（淘淘赢）； ×1.3：2.8×1.3＞2.8（乐乐赢）； ×4.7：2.8×4.7＞2.8（乐乐赢）； ÷0.7：2.8÷0.7＞2.8（乐乐赢）。 乐乐赢的情况有5种，淘淘赢的情况有3种，数量不同，游戏不公平。 （2）例如：把÷0.1改成÷2.0，这个游戏就公平了。（答案不唯一） 高频考点五 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（25-26五年级下·上海杨浦·阶段检测）盒子里装有一些形状和大小完全相同的红球和绿球，欢欢连续摸了三次，摸到的都是红球，下列说法正确的有（    ）。 A．欢欢再摸一次，摸到的一定是绿球 B．红球的个数一定比绿球多 C．欢欢再摸一次，摸到的可能还是红球 D．绿球的个数不可能和红球相等 【答案】C 【思路引导】根据盒子中摸球的不确定性，分析每次摸球结果的可能性，以及各选项说法的合理性。 【规范解答】A．每次摸球结果具有不确定性，前三次结果不影响下一次的可能结果，下一次摸球时，仍可能摸到红球，并非一定摸到绿球，因此说法错误。 B．仅通过三次摸到红球的结果，无法确定红球和绿球个数的大小关系，因此说法错误。 C．由于每次摸球的结果不受之前结果的影响，再摸一次时，摸到红球是有可能的，因此正确。 D．绿球个数与红球个数可能相等，只是前三次恰好摸到红球，不能排除两者个数相等的情况，说法错误。 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南永州·期末）一个袋子里有6个红球和4个白球，从中任意摸出1个球，摸到红球的可能性是( )；如果摸到红球的可能性是，需要再放入( )个白球。 【答案】 /60% 8 【思路引导】将总个数看作单位“1”，红球个数÷总个数＝红球个数是总个数的几分之几或百分之几，即可能性；红球个数÷对应分率＝新总个数，新总个数－原总个数＝再放入的白球个数。 【规范解答】6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝ ＝ 6÷－（6＋4） ＝6×3－10 ＝18－10 ＝8（个） 【变式训练2】（25-26五年级上·浙江湖州·期末）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意掷一次，要使红色朝上的可能性最大，黄色朝上的可能性最小，那么红色的面需要涂（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】这道题考查可能性大小与数量多少的关系。正方体有 6 个面，要涂红、黄、蓝三种颜色，且每种颜色至少涂 1 个面。 红色朝上可能性最大 → 红色面数最多 黄色朝上可能性最小 → 黄色面数最少 蓝色面数介于两者之间 【规范解答】逐一分析选项： A．（红色 1 个）：红色面数只有 1 个，是最少的，不可能可能性最大，排除。 B．（红色 2 个）：剩下 4 个面分给黄、蓝。要黄色最少，黄色至少 1 个，蓝色就是 3 个。此时蓝色（3 个）＞红色（2 个），红色不是最多，排除。 C．（红色 3 个）：剩下 3 个面分给黄、蓝。可以分配为黄色 1 个、蓝色 2 个。此时： 红色（3 个）＞蓝色（2 个）＞黄色（1 个） 完全满足 “红色最多、黄色最少” 的条件，符合题意。 D．（红色 4 个）：剩下 2 个面分给黄、蓝。因为每种颜色至少 1 个，所以黄色 1 个、蓝色 1 个。此时： 红色（4 个）＞黄色（1 个）＝ 蓝色（1 个） 黄色和蓝色面数一样多，可能性相同，不满足 “黄色可能性最小” 的要求，排除。 红色的面需要涂3个。 奥数拓展一 事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【答案】 3 2 1 【思路引导】盒子里有3个不同数字的小球（1、3、5），任意摸一个，有3种可能性。 最开始时，标注数字1、3、5的小球各1个，要让摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，即标注5的小球数量​＞标注3的小球数量​＞标注1的小球，现标注1的小球有1个，要使标注3的小球数量比标注1的小球数量多，还得最少，所以标注3的小球数量应该有2个，现有1个，所以需要再放入2－1＝1个；同理标注5的小球数量比标注3的小球数量多，还得最少，那么标注5的小球数量应该有3个，现有1个，所以需要再放入3－1＝2个。 【规范解答】要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，所以标注3的小球最少有2个，标注5的小球最少有3个。 2－1＝1（个） 3－1＝2（个） 因此，盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有3种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入2个标有5的小球，至少再放入1个标有3的小球。 【考点剖析】从最少数量的球（本题为1个）出发，推导其他球需要满足的最少数量，然后用目标数量减去现有数量，得到每种球需要添加的最少个数。 【变式训练1】（小学奥数7-1-2加法原理之分类枚举（二）专项训练卷）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能。 【答案】18 【思路引导】红球的个数最少，可以从红球入手分析，加上拿到0个、1个、2个、3个红球，然后列出其它颜色的球的个数，找出所有的可能。 【规范解答】如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4种。 如果拿1个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5种。 如果拿2个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5种 如果拿3个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4种。 可见他拿出球的情况共有：4＋5＋5＋4＝18（种）。 所以他拿出球的情况共有18种。 【考点剖析】采用枚举法求解计数问题的时候，也要考虑如何方便解题，如果从黄球或白球入手，进行枚举的话，情况就比较多了。 【变式训练2】（25-26六年级下·广东佛山·期末）有6张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着：1、2、3、6、9、13，请小华随机抽取1张。以下说法不正确的是（    ）。 A．小华可能抽到9 B．小华不可能抽到0 C．小华抽到的不是奇数就是偶数 D．小华抽到的不是质数就是合数 【答案】D 【思路引导】在随机抽取事件中，卡片上存在的数字就有可能抽到，卡片上没有的数字不可能抽到。自然数按照能否被2整除划分，能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数。一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这个数是质数；除了1和它本身还有其他因数，这个数是合数。注意1既不是质数，也不是合数。结合卡片数字1、2、3、6、9、13，依次判断四个选项对错。 【规范解答】A．卡片中有数字9，所以随机抽取有可能抽到9，说法正确。 B．卡片上数字为1、2、3、6、9、13，没有数字0，因此不可能抽到0，说法正确。 C．卡片上的数字都是自然数，自然数按照奇偶划分，不是奇数就是偶数，说法正确。 D．卡片中有数字1，1既不是质数也不是合数，所以抽到的数不一定是质数或者合数，该说法错误。 奥数拓展二 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【答案】甲有获胜的可能；方案见详解 【思路引导】根据题意，两人每次一共要拿走7枚棋子，可知在最后一次拿棋子之前，甲一定要拿到第52枚、第45枚、第38枚……第3枚棋子。所以甲先拿棋子时，可以先拿3枚棋子，使余下的棋子数是7的倍数，之后甲每次拿走的棋子数和乙拿走的棋子数凑成7，也就是说，乙拿走3枚棋子，甲就要拿走4枚棋子；乙拿走4枚棋子，甲就要拿走3枚棋子。两人每次一共拿走7枚棋子，才能保证甲获胜，据此解答。 【规范解答】59÷（3＋4） ＝59÷7 ＝8（次）……3（枚） 只要甲初次拿走3枚棋子，之后甲每次拿走的棋子数和乙每次拿走的棋子数凑成7就能保证甲获胜。 【考点剖析】甲要想获胜就一定要拿到第59枚棋子，所以甲先拿走多少枚棋子是解题关键。 【变式训练1】（2026·重庆渝北·小升初真题）一副扑克包括大小王在内共54张，其中，红桃、黑桃、梅花、方块4种花色的牌各13张，点数分别从1到13（A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13）。明明在一副扑克中任意抽取2张牌（若抽到大小王，大小王牌可以变身从1到13的任意点数），恰好抽到点数之和为8的倍数的概率（可能性）为多少？ 【答案】 【思路引导】先计算从54张牌中抽取2张的总情况数，再分两张都是普通牌、一张普通牌一张王（任意点数的普通牌都可通过王的变身，使点数和为8的倍数）、两张都是王三类，分别计算满足点数和为8的倍数的情况数，最后用符合条件的总情况数除以总情况数得到结果。 【规范解答】（1）总抽取情况数：从54张牌中任意抽2张（不考虑顺序），先第一张有54种选择，第二张剩53种，这是分先后、有顺序的抽法；而题目不考虑两张牌抽出的先后，比如先抽红桃A再抽黑桃5，和先抽黑桃5再抽红桃A算同一种，所以每一组牌被重复算了2次，要除以2；总情况数为：（种） （2）两张都是普通牌的符合条件的情况数：普通牌点数分别从1到13，则普通牌点数和的范围是2到26，其中8的倍数有8、16、24。 ①和为8的组合：1＋7、2＋6、3＋5、4＋4 前3组中，每张牌都有不同的花色4张，配对则每组有（种），共（种） 4＋4一共有4张不同的花色牌，不分顺序的情况有（种） 合计：（种） ②和为16的组合：3＋13、4＋12、5＋11、6＋10、7＋9、8＋8 前5组每组有（种），共（种） 8＋8的情况有（种） 合计：（种） ③和为24的组合：11＋13、12＋12 11＋13有（种） 12＋12有（种） 合计：（种） 两张普通牌符合条件的总情况数：（种） （3）抽1张普通牌和1张王，从52张普通牌抽一张有52种，从2张王抽一张有2种，共有（种）选法 （4）两张都是王的符合条件的情况数：两张王只有1种选法，可通过变身凑出和为8的倍数，因此符合条件的有1种。 （5）总符合条件的情况数：（种） （6）概率： 【变式训练2】（24-25四年级上·江苏·单元测试）爸爸往三个箱子里分别各装10个红球、10个白球、5个红球和5个白球，但是爸爸将箱子外面的标签全贴错了。爸爸要求小明只能从其中一个箱子里拿出一个球就能说出三个箱子里分别装的是什么球。小明要怎样拿球？请你说明判断理由。 【答案】见详解 【思路引导】三个盒子上的标签全贴错了，从标有5个红球和5个白球的盒子里摸出一个球，摸出的球可能是红球，也可能是白球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是10个红球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是10个白球。最后根据“标签全贴错了” 从5个红球和5个白球的箱子里拿球。因为全部贴错，所以不会出现只有2种互相贴错的可能，因为那样剩下的一个箱子肯定是对的。所以贴着5个红球和5个白球的箱子中只有一种颜色的球。根据拿出的球的颜色确定剩下两个盒子里的球即可。 【规范解答】因为标签全贴错了，所以5个红球和5个白球的箱子里面肯定是同一种颜色的球，从这个箱子里面拿一个球。如果是红球，那么这一箱都是红球，贴着红球的箱子里就是白球，贴着白球的箱子里一定是5个红球和5个白球；如果是白球，那么这一箱都是白球，贴着白球的箱子里就是红球，贴着红球的箱子里就是5个红球和5个白球。 【考点剖析】本题关键是明确5个红球和5个白球的箱子里面肯定是同一种颜色的球，从这个箱子里面拿一个球。 奥数拓展三 游戏规则的公平性 【典例精讲】（2025五年级上·全国·专题练习）小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡片。每人出1张，若差为奇数，则小宇胜；若差为偶数（不为0），则小恒胜；若差为0，则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 【答案】这个游戏规则不公平。因为两个数的差为偶数（不为0）的情况有4种，两个数的差为奇数的情况有8种，所以小宇胜的可能性大；将卡片7换成卡片4。 【思路引导】根据题意，四张卡片两人各出一张，第一问根据每一种出的情况一一罗列来判断游戏的公平性；第二问调整（1）出现不公平情况即可，见详解。 【规范解答】两人的卡片均为0、2、7、9（含2个偶数：0、2；2个奇数：7、9）。所有出卡组合共种，其中差为0的情况有4种（需重新开始），剩余12种有效情况。 根据奇偶性规则：差奇数的条件：一个数是奇数、另一个是偶数（奇数－偶数或偶数－奇数）。小宇出偶数（2种）、小恒出奇数（2种）有种，小宇出奇数（2种）、小恒出偶数（2种）有种，共8种。差为偶数（非零）的条件： 两个数同奇偶（奇数－奇数或偶数－偶数）。同偶数组合有种（差0的2种，剩余2种），同奇数组合有种（差为0的2种，剩余2种），共4种。因小宇胜（差为奇数）的情况（8种）多于小恒胜（差为偶数非零）的情况（4种），故游戏不公平。 调整方法：将卡片7（奇数）换成4（偶数），此时卡片为0、2、4、9（3个偶数、1个奇数）。此时差为奇数的情况为“偶数×奇数”＋“奇数×偶数”＝种，差为偶数（非0）的情况为种，双方获胜可能性相等，游戏公平。 答：这个游戏规则不公平。因为两个数的差为偶数（不为0）的情况有4种，两个数的差为奇数的情况有8种，所以小宇胜的可能性大；将卡片7换成卡片4。（换卡答案不唯一，只要调整后卡片奇偶数量为3和1即可。） 【考点剖析】注意罗列时做到不重复不遗漏。 【变式训练1】（23-24五年级上·福建福州·期末）李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比，（    ）。 A．李涵胜算大 B．王萱胜算大 C．同样多 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】每个骰子同时投掷，点数和是5的可能性有5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，合计有4种可能；点数和是6的可能性有6＝1＋5＝2＋4＝3＋3＝4＋2＝5＋1，合计有5种可能；点数和是7的可能性有7＝1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，合计有6种可能。即李涵赢的可能性有4＋5＋6＝15（种）。点数和是9的可能性有9＝3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，合计有4种可能；点数和是10的可能性有10＝4＋6＝5＋5＝6＋5，合计有3种可能；点数和是11的可能性有11＝5＋6＝6＋5，合计有2种可能。即王萱赢的可能性有4＋3＋2＝9（种）可能，出现多的赢的可能性大，据此判断。 【规范解答】点数和是5的可能性有5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，合计有4种可能； 点数和是6的可能性有6＝1＋5＝2＋4＝3＋3＝4＋2＝5＋1，合计有5种可能； 点数和是7的可能性有7＝1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，合计有6种可能。 李涵赢的可能性有：4＋5＋6＝15（种） 点数和是9的可能性有9＝3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，合计有4种可能； 点数和是10的可能性有10＝4＋6＝5＋5＝6＋5，合计有3种可能； 点数和是11的可能性有11＝5＋6＝6＋5，合计有2种可能。 即王萱赢的可能性有：4＋3＋2＝9（种） 15＞9，即李涵胜算大。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查可能性的大小，数量多的赢的可能性就大，根据日常生活经验判断。 【变式训练2】竞选班长演讲比赛，赵强、张明两位同学进入决赛，抽签决定出场顺序。箱子里的10张数字卡片上分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数字，约定任抽1张确定出场顺序。 下面是三名同学制定的抽签规则： 王洁：抽出的数小于5，则赵强先出场；若抽出的数大于5，则张明先出场。 李玲：抽出的数小于6，则赵强先出场；若抽出的数大于5，则张明先出场。 赵林：抽出的数小于4，则赵强先出场；若抽出的数大于7，则张明先出场。 （1）___________的方法既简单又公平合理。 （2）请你对这三名同学制定的抽签规则是否公平合理做一个简要评价。 （3）请你再设计一个公平的抽签规则。 【答案】见详解 【思路引导】王洁：抽出的数小于5的数有1、2、3、4，有4个数；抽出的数大于5的数有6、7、8、9、10有5个数，不公平； 李玲：抽出的数小于6，有1、2、3、4、5，有5个数字；抽出的数大于5，有6、7、8、9、10，有5个数，公平； 赵林：抽出的数小于4，有1、2、3，有3个数，抽出的数大于7，有8、9、10，有3个，是公平的，但是还会抽到4、5、6、7有4个无效数字，不简便。 综上分析，既简单又公平合理的方案是容易判断的，并且抽签时抽中的可能性是相同的； 分别计算每个方案中抽出的可能性，再进行比较； 设计的方案只要符合公平原则即可，可以有多种不同方案，比如按奇偶数来抽取。 【规范解答】根据分析可知： （1）李玲的方法既简单又公平合理。 （2）王洁制定的抽签规则不合理，因为小于5的有4个，大于5的有5个。李玲制定的抽签规则合理，因小于6和大于5的张数相等。赵林制定的抽签规则合理但不够简便，因为小于4和大于7的张数相等，还有4个无效数字。 （3）如：抽出的数是单数则赵强先出场；抽出的数是偶数，则张明先出场。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查可能性的实际应用。 奥数拓展四 可能性大小的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期中）随着“双十一”的来临，商场计划推出一项转盘抽奖活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的商品，二等奖是价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖的区域，并说一说你这样设计的理由。 【答案】； 一等奖价值最高，应让其中奖概率最低，所以只占1份；二等奖价值次之，中奖概率适中，占2份；三等奖价值最低，为了吸引更多顾客参与，所以占7份。这样的设计既保证所有顾客都能获奖，又能通过概率差异平衡奖项价值与商场成本，有效吸引顾客参与 “双十一” 活动。（答案不唯一） 【思路引导】要解决这道题，需结合概率与奖项价值的关系来设计转盘区域。核心思路是：奖项价值越高，中奖概率应越低（对应转盘区域越小）；奖项价值越低，中奖概率应越高（对应转盘区域越大），这样既吸引顾客参与，又能控制商场成本。首先确定转盘的总份数（图中转盘被分为10份），然后为一等奖、二等奖、三等奖分配合理的份数，再说明设计理由。 【规范解答】 一等奖（500元）：分配1份 二等奖（100元）：分配2份 三等奖（10元）：分配7份 因为一等奖价值最高，为了控制成本，应让其中奖概率最低，所以只占1份；二等奖价值次之，中奖概率适中，占2份；三等奖价值最低，为了吸引更多顾客参与（让大家大概率能中奖），所以占7份。这样的设计既保证所有顾客都能获奖，又能通过概率差异平衡奖项价值与商场成本，有效吸引顾客参与 “双十一” 活动。（答案不唯一） 【考点剖析】解题关键：把握 “概率与奖项价值成反比” 的关系，确保高价值奖项区域小、低价值奖项区域大，同时保证所有区域之和为转盘总份数。 【变式训练1】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期中）乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个，其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入（    ）个红球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】黄球比白球多1个，要使红球的可能性最大，而且还要保证放入的红球数量是最少的，白球如果是1个的话，放入红球的数量不是最少的，白球如果是3个的话，摸到红球的可能性不是最大的，所以白球应该有2个,黄球的数量就是比2多1，用一共的球数减去白球数再减去黄球数即可求出至少应放入的红球数。 【规范解答】（个） (个） 则至少应放入5个红球。 故答案为：B 【考点剖析】要解决这个问题，需明确可能性大小与数量多少的关系：在总数一定时，哪种球的数量越多，摸到的可能性越大；反之越小。已知三种球共10个，要使摸到红球可能性最大，需确定白球最多能放入几个，才能保证摸到红球的可能性最大并且红球放入的数量还要是最少的。 【变式训练2】（2025·湖北十堰·小升初真题）一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是（    ）的可能性大。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】可以把选项中的几种情况列出来是由几加几构成的，第一个加数是第一个骰子，第二个加数是第二个骰子，据此分析：数字和是6的情况有：1＋5；2＋4；3＋3；4＋2；5＋1；有5种情况；数字和是7的情况有：1＋6；2＋5；3＋4；4＋3；5＋2；6＋1；有6种情况；数字和是8的情况有2＋6；3＋5；4＋4；5＋3；6＋2；有5种情况；数字和是9的情况有3＋6；4＋5；5＋4；6＋3；有4种情况；所以出现数字和是7的可能性大，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个骰子六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，任意抛两次，上面的数字和是7的可能性大。 故答案为：B 【考点剖析】解答本题的关键是明确数字出现的次数多少。 奥数拓展五 简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（24-25五年级上·山东菏泽·期中）在一个装有2个红球、1个蓝球和1个黄球（除了颜色不同，其他均相同）的纸箱里，任意摸出2个球，有3种可能的结果。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据组合问题，考虑所有可能的颜色组合。纸箱中有2红、1蓝、1黄球，任意摸出2个球的不同颜色组合共有4种：两红、红蓝、红黄、蓝黄。题目中认为有3种可能的结果，与实际不符。 【规范解答】可能的颜色组合为： 1. 两红（R1和R2）； 2. 红蓝（R1和B或R2和B）； 3. 红黄（R1和Y或R2和Y）； 4. 蓝黄（B和Y）。 共有4种不同的结果，因此题目说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题重点是需要考虑到所有组合情况，不能遗漏。 【变式训练1】在1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是，不是质数的可能性用分数表示是。 【答案】； 【思路引导】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，可以组成的两位数有4×3＝12（种）情况，其中组成的两位数是奇数的有3＋3＝6（种）情况，据此求出其中组成的两位数是奇数的可能性；是质数的有13、23、31、41、43共5种情况，那么不是质数的有12－5＝7（种）情况，据此求出不是质数的可能性。 【规范解答】（3＋3）÷（4×3） ＝6÷12 ＝ 其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是； 7÷12＝ 不是质数的可能性用分数表示是。 【考点剖析】此题考查了概率问题，掌握奇数、偶数以及质数的概念并能不重不漏地找出是解题关键。 【变式训练2】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上（如图）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 【答案】 【思路引导】同时摸2个球，那么获10元奖品只能是摸出两个黄色的球，从50个球里面摸出2个球有1225种方法，从2个黄球中摸出2个只有1种方法，1除以1225得到获10元奖品的概率。 【规范解答】（种） 【考点剖析】本题也可以分别求出第一次摸出黄球的概率，再求出第二次摸出黄球的概率，相乘得到一次摸出2个黄球的概率。 【基础通关】 1．（2026五年级上·辽宁·专题练习）五（6）班用积分可以转“转盘”，转盘上有4种不同的奖励，20名同学每人转1次，转出来的结果统计如下表。再转一次，是（    ）的可能性最大。 免作业一次 棒棒糖一根 饮料一瓶 发表扬信 4人 9人 2人 5人 A．免作业一次 B．棒棒糖一根 C．饮料一瓶 D．发表扬信 【答案】B 【思路引导】在转盘抽奖中，某一奖励出现的次数越多，说明该奖励在转盘中所占的区域可能越大。所以我们需要比较各种奖励出现的次数，找出出现次数最多的奖励，其对应的区域可能最大。 【规范解答】已知免作业一次4人，棒棒糖一根9人，饮料一瓶2人，发表扬信5人。 ，棒棒糖一根的转出次数最多，因此再转一次转到棒棒糖一根的可能性最大。 2．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面说法中，哪个是正确的？（    ） A．两个盒子里都装有4个红球，则从这两个盒子里摸出红球的可能性相等。 B．袋子里装有白棋、黑棋各10枚，每次任意摸出1枚，摸后放回摇匀，如果摸10次，那么一定有5次摸到白棋，5次摸到黑棋。 C．从3支铅笔和3块橡皮中摸出1个，摸到铅笔淘气胜，否则笑笑胜，这个规则不公平。 D．盒子里装了一些小球，摸了30次，每次都是红球，所以盒子里都是红球。 【答案】A 【思路引导】可能性大小主要看：符合条件的数量占总数量的多少。数量越多，可能性越大，数量越少，可能性越小。 【规范解答】A．两个盒子里都只有4个红球，任意摸一个，摸出红球的可能性都是1，二者相等，说法正确。 B．摸棋子是随机事件，摸10次只是可能有5次摸到白棋、5次摸到黑棋，不是“一定”，说法错误。 C．铅笔和橡皮的数量都是3，摸到铅笔和橡皮的可能性相等，游戏规则公平，说法错误。 D．摸30次都是红球只能说明红球数量多、摸到红球的可能性大，不能确定盒子里全是红球，说法错误。 3．（2026五年级上·辽宁·专题练习）一个三角形的最小内角是55°，这个三角形（    ）。 A．一定是锐角三角形 B．可能是钝角三角形 C．可能是直角三角形 D．可能是等边三角形 【答案】A 【思路引导】三角形的三个内角之和为180°，已知最小角为55°，因此另外两个角都必须大于或等于55°，另外两个内角的和为三个内角之和减去最小角；最大内角的最大值也就是另外两个内角的和减去最小内角，锐角是小于直角的角，钝角是小于平角大于直角的角，判断这个三角形的类型。 【规范解答】180°－55°＝125°，另外两个角都必须大于或等于55°。 A．125°－55°＝70°，假设另外两个角分别为55°和70°，则三个角为55°、55°、70°，均为锐角，此时三角形为锐角三角形。 B．假设另外两个角中有一个角为钝角，则另一个角会小于55°，同样与最小角为55°矛盾，因此不可能存在钝角三角形。 C．假设另外两个角中有一个角为90°，则另一个角为125°－90°＝35°，但35°小于55°，与最小角为55°矛盾，因此不可能存在直角三角形。 D．等边三角形的三个角都相等，另外两个内角的和：55°＋55°＝110°，不等于125°，错误。因此不可能存在等边三角形。 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个不透明袋子里装有数量不同、包装相同的果味糖和奶味糖，小红一共摸了20次，每次摸出后记下种类，再放回袋子里摇匀，下面是她摸糖的记录。 种类 果味糖 奶味糖 次数 4 16 (1)袋子里可能( )糖多，( )糖少。 (2)再摸一次，最有可能摸到( )糖。 【答案】(1) 奶味 果味 (2)奶味 【思路引导】（1）小红一共摸了20次，4次果味糖，16次奶味糖，袋子里可能奶味糖多，果味糖少； （2）奶味糖的数量多，所以再摸一次，最有可能摸到奶味糖。 【规范解答】（1）16＞4 袋子里可能奶味糖多，果味糖少。 （2）再摸一次，最有可能摸到奶味糖。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）把点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然后放回去，摸到两张牌上点数的和有( )种可能，摸到和为( )的可能性最大；摸到和大于6，一方赢，小于6，另一方赢，这个游戏是( )的。 【答案】 3 6 公平 【思路引导】先列举出点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然后放回去，抽两张有多少种组合，再算出和，数出不同的和的个数即是和有几种可能，从所有和中数出每种和出现次数，出现次数多的和可能性最大，比较大于6的和出现次数与小于6的和出现的次数，次数相等就公平，不相等就不公平。 【规范解答】点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然后放回去，摸到的情况如下： （2，2）、（2，4）、（2，4）； （2，2）、（2，4）、（2，4）； （4，2）、（4，4）、（4，2）； （4，2）、（4，2）、（4，4）， 对应和是： 、、； 、、； 、、； 、、； 共3种和分别是4、6、8。所以和有3种可能。 其中4出现了2次、6出现了8次、8出现了2次 所以摸到6的可能性最大， 和大于6的是8出现了2次，和小于6的是4出现了2次 所以摸到和大于6，一方赢，小于6，另一方赢，这个游戏是公平的。 综上所述：把点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然后放回去，摸到两张牌上点数的和有3种可能，摸到和为6的可能性最大；摸到和大于6，一方赢，小于6，另一方赢，这个游戏是公平的。 6．（25-26五年级下·陕西安康·阶段检测）从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可能性不相等。( ) 【答案】√ 【思路引导】质数指只有1和它本身两个因数的数，合数指除了1和它本身之外还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。出现的数量越多，可能性越大，数量相等则可能性相等，数量不等则可能性不相等，先找出数字里质数、合数，对比二者数量即可判断。 【规范解答】1、2、3、4里，质数为2、3，一共2个；合数为4，一共1个，二者数量不相等，因此选出质数与合数的可能性不相等，原题说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）同时掷出两个数点块，掷出的点数都是双数的可能性比掷出的点数是一单一双的可能性小。( ) 【答案】√ 【思路引导】先分别求出两个点数都是双数、一单一双的情况数，比较两种情况数的大小即可判断。 【规范解答】每个数点块的点数为1，2，3，4，5，6，其中单数有1，3，5共3种；双数有2，4，6共3种。 第一个数点块掷出双数有3种可能，第二个数点块掷出双数也有3种可能，总数为3×3＝9（种） 点数一单一双的情况： 分两种情况： 第一种是第一个数点块为单数，第二个为双数，有3×3＝9（种）； 第二种是第一个数点块为双数，第二个为单数，有3×3＝9（种）； 9＋9＝18（种） 9＜18，所以同时掷出两个数点块，掷出的点数都是双数的可能性比掷出的点数是一单一双的可能性小。 故答案为：√ 8．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）国庆节当天，某商场举行摸球赢大奖的活动，购物满99元可摸奖1次（摸1次集1个字），只要集齐“国庆节快乐”5个字，就可赢得一部手机。乐乐在摸奖箱旁边随机观察了90人，这90人为了得到大奖，每人都摸了5次，共450次。情况如下。 摸到的字 国 庆 节 快 乐 摸到的次数 165 85 92 2 106 根据调查结果推测，容易赢得大奖吗？请写出你的理由。 【答案】不容易赢得大奖。根据调查结果可知，摸到“快”字的次数最少，可以推测：在摸奖箱中，“快”字奖券有可能最少，被摸到的可能性也很小。所以不容易凑齐“国庆节快乐”这5个字，即不容易赢得大奖。（理由合理即可） 【思路引导】要判断是否容易赢大奖，需看集齐5个字的难度。赢大奖必须集齐5个字，摸到次数最少的字最难获得，是集齐的关键。据此分析。“快”字摸到次数极少，因此很难集齐。 【规范解答】根据题意可知，5个字的总摸到次数是450次，对比每个字的摸到次数：“国”“庆”“节”“乐”被摸到的次数都很多，只有“快”字总共只被摸到2次，出现的次数特别少，大家很难摸到“快”字，自然很难集齐“国庆节快乐”5个字，所以不容易赢大奖。 9．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小丽和小明玩转盘游戏。同时转动如图的两个转盘，若转到的两个数的积是2的倍数，则小丽赢；若不是2的倍数，则小明赢。你认为这样的游戏规则公平吗？请说明理由。若不公平，请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】这样的游戏规则不公平。转到的两个数的组合一共有9种可能，其中积是2的倍数的有7种，不是2的倍数的只有2种，因此不公平。 公平的游戏规则：同时转动两个转盘，若转到的两个数的积大于10，则小丽赢；若两个数的积小于10，则小明赢；若两个数的积等于10，重新转动两个转盘。 【思路引导】判断游戏规则是否公平，需要列出两个转盘所有数字组合，算出乘积，分别统计双方获胜情况的数量，对比获胜可能性大小；可能性不相等则游戏不公平。 设计公平规则时，要让两人获胜的可能情况数量相同，出现分界值可约定重新转动转盘。 【规范解答】左转盘数字：1、2、3；右转盘数字：4、5、6。所有组合对应的乘积共9种： 1×4＝4，1×5＝5，1×6＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12，3×4＝12，3×5＝15，3×6＝18。 积是2的倍数的数有：4，6，8，10，12，12，18，共7个； 积不是2的倍数的数有：5，15，共2个。 小丽与小明获胜对应的情况数量不同，获胜可能性不相等，因此这个游戏规则不公平。 公平的游戏规则略（答案不唯一）。 10．（2026五年级上·辽宁·专题练习）某文具店开展促销活动，他们在店门口设计了一个转盘，顾客只要消费满10元就可以转动转盘一次，已知转盘上共有5个区域，它们分别是：谢谢参与、书包、钢笔、格尺、橡皮。如果“谢谢参与”出现的可能性最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮。请你在下面的转盘上标出它们的位置。 【答案】 【思路引导】转盘上区域面积越大，转到的可能性就越大。“谢谢参与”的可能性最大，它占的扇形面积最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮，对应的扇形面积从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮，据此标出位置。 【规范解答】略 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）口袋里有大小、质地完全相同的红、白、黄球若干个，每次摸一个，摸后放回摇匀。重复20次的结果依次是黄、黄、白、红、白、红、黄、红、红、红、白、黄、白、红、黄、红、红、红、红、红。对第21次的结果猜测错误的是（    ）。 A．一定是红球 B．可能是白球 C．红球可能性最大 D．红、白、黄球都有可能 【答案】A 【思路引导】摸球后放回摇匀，每次摸球时红、白、黄三种颜色的球都有可能被摸到，仅能根据之前的摸球结果判断摸到红球的可能性最大，无法确定下一次的具体结果。 【规范解答】统计20次摸球结果：黄球出现5次，白球出现4次，红球出现次。可知摸到红球的可能性最大，但每次摸球三种颜色的球都有可能出现，不存在“一定是红球”的情况，因此A的猜测错误。 2．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）小明和小红在下围棋，为了决定谁先走，以下四种方案（    ）是公平的。 A．抛掷一枚瓶盖，正面朝上则小明先走，反之小红先走。 B．一副扑克牌中抽取一张牌，若花色是红桃则小明先走，若不是红桃则小红先走。 C．投掷一颗骰子，如果点数小于3则小明先走，若大于3则小红先走。 D．箱子里有3个黄球、3个红球（除颜色外完全相同），从中随机摸一个球，如果是黄球则小明先走，如果是红球小红先走。 【答案】D 【思路引导】要判断方案是否公平，就要看小明、小红两个人先走的可能性是不是相等。如果可能性一样大，方案就公平；如果可能性不一样大，方案就不公平。 【规范解答】A．瓶盖的正反两面重量不一样，正面、反面朝上的机会不相同。可能性不相等，不公平。 B．扑克牌有4种花色，红桃1种，不是红桃有3种。两人先走的可能性不相等，不公平。 C．骰子点数小于3有1、2两种；点数大于3有4、5、6三种。两人先走的可能性不相等，不公平。 D．黄球3个，红球3个，两种球数量一样多，摸到黄球和红球的可能性相等，公平。 3．（25-26五年级上·山东烟台·期末）盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第（    ）次能摸到黄球，摸（    ）次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上（    ）个黄球。 A．4；11；9 B．5；11；4 C．9；4；11 D．11；9；4 【答案】B 【思路引导】已经摸了4次，最快下一次一定摸到，那么摸出次数加一即可；一定能摸到，把红球都莫出去后，才能摸到，则摸红球次数加1次即可；对于“摸到黄球的可能性为”，相当于黄球占总数的，则红球占总数的1－，单位“1”是球的总数，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，再减去现有数量即可求解。 【规范解答】最快的次数：4＋1＝5（次） 最坏情况是把所有红球摸完，共需要10次红球，第11次一定能摸到黄球。 10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝15（个） 15－10－1＝4（个） 最快第5次摸到黄球，摸11次一定能摸到黄球.要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上4个黄球。 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）盒子里有红、白、蓝三种颜色的小球，它们的大小、材质都相同，华华摸了30次，情况如下。 颜色 红色 白色 蓝色 次数 2 10 18 根据数据推测，盒子里( )色球可能最多，( )色球可能最少。 【答案】 蓝 红 【思路引导】结合“数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小”分析。 【规范解答】18＞10＞2 盒子里蓝色球可能最多，红色球可能最少。 5．选出点数为1和2的扑克牌各两张，花色均不相同，反扣在桌面上。甲、乙两人摸牌，每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸，两张牌的点数和等于3的有( )种可能。请根据两张牌点数和的所有可能，设计一个“决定谁赢”的公平的游戏规则：( )。 【答案】 1 两张牌的点数和小于3时甲（或乙）赢，大于3时，乙（甲）赢。 【思路引导】当甲摸出其中一种花色的1时，乙摸到的2有2种花色，即2种情况，当甲摸到另一种花色的1时，乙摸到的2还有2种花色的情况，即一共有2＋2＝4种；可以根据点数和：可能摸到的点数和有：1＋1＝2；1＋2＝3；2＋2＝4，既然两张牌的点数和等于3的有一种可能，规则可设为和小于3一人赢，大于3的另一个人赢，（答案不唯一）据此解答。 【规范解答】由分析可知： 1＋1＝2；1＋2＝3；2＋2＝4 两张牌的点数和等于3的有一种可能；可设计为：两张牌的点数和小于3时甲（或乙）赢，大于3时，乙（或甲）赢。 【考点剖析】判断游戏规则是否公平的关键是看参与游戏的各方出现的可能性是否相同，相同，规则公平，否则，游戏不公平。 6．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】依据质数和合数的定义，分别统计1－10中质数和合数的个数，数量相等，则抽到的可能性也相等。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除，还能被其他数（0除外）整除的数。注意1既不是质数也不是合数。 【规范解答】在1~10中，质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6、8、9、10，共5个。 因为5＞4，即合数的个数比质数的个数多。数量越多，抽到的可能性越大，所以抽到合数的可能性更大。两者可能性不相等。故原题说法错误。 故答案为：× 7．（25-26五年级上·广东江门·期中）盒子中有白色、黄色乒乓球，任意摸出一个乒乓球，摸了3次都是白色乒乓球，可以说盒中白色乒乓球比黄色乒乓球多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在随机摸球试验中，少量试验的结果不能准确反映总体分布。本题中摸了3次都是白色乒乓球，并不能证明白色乒乓球数量一定多于黄色乒乓球，因为如果黄色乒乓球较多，或者两种乒乓球数量一样，也会出现连续摸到白色乒乓球的情况，虽然可能性较小，但仍然存在。例如，当盒中有1个白色乒乓球和1个黄色乒乓球时，连续三次摸到白色乒乓球是可能发生的。 【规范解答】结合分析知：盒子中有白色、黄色乒乓球，任意摸出一个乒乓球，摸了3次都是白色乒乓球，可以说盒中白色乒乓球比黄色乒乓球多，说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】在随机摸球试验中，少量试验的结果不能准确反映总体分布。 8．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）小林和小军两人玩掷骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点数）游戏，掷到的点数大于3点小林赢，掷到的点数小于3点小军赢，掷到3点重来一次。你认为这个规则公平吗？如何修改，才能使这个规则对他俩都公平呢？ 【答案】不公平；掷到的点数大于3小林赢，掷到的点数小于或等于3小军赢。（方案不唯一） 【思路引导】判断游戏是否公平，关键看双方获胜的可能性是否相等。通过比较小林和小军获胜点数数量多少。若可能性不等，则规则不公平，需要修改规则使双方获胜的可能性相等。（规则有多种组合方式，修改时只需要把两个人的获胜点数调整一样即可，答案不唯一） 【规范解答】骰子的点数为1、2、3、4、5、6。 小林赢：点数大于3，有4、5、6，共3种情况。 小军赢：点数小于3，有1、2，共2种情况。 重来：点数为3，共1种情况。 3＞2，说明小林赢的可能性大，是不公平的 修改方案：掷到的点数大于3小林赢，掷到的点数小于或等于3小军赢。 答：这个规则不公平，可以将方案调整为“掷到的点数大于3小林赢，掷到的点数小于或等于3小军赢”，调整后这个规则对他俩都公平。（方案不唯一） 【考点剖析】关键点是通过寻找双方获胜的点数的数量多少来判断游戏是否公平，修改规则时要使双方获胜的点数的数量相等即可。 9．（25-26五年级上·湖北黄石·期中）某商场国庆节举行促销活动。步骤一：顾客首先需要玩一个抽卡享受折扣的游戏：从写有数字1（代表1折）到10（代表10折，即原价）的10张卡片中，随机抽取两张。商场规定，抽卡享受的折扣是这两张卡片数字的乘积（单位：折）。例如，抽到3和5，即享受三折与五折的乘积，0.3×0.5＝0.15。即享受一五折。步骤二：“幸运大转盘”游戏：转盘被平均分成8个扇形区域，分别写着：1、2、3、4、5、6、7、8。顾客可以去转动一次幸运大转盘。转盘停止后，指针所指的数字再和他步骤一抽到的折扣相乘，得到一个新的最终折扣。国庆节小明到该商场购物，如果小明第一次抽卡游戏得到的折扣是6折，那么他转动转盘后得到的数字与抽卡游戏得到的折扣相乘，最终折扣恰好是5折的可能性是多少？ 【答案】0 【思路引导】根据计算折扣的步骤，小明第一次抽卡游戏得到的折扣是6折，最终折扣需要用6折乘转盘上8个数字中的某一个，可以先用6分别乘8个数字，会得到8种最终折扣的数字，在这8种数字中找出恰好是5折的可能性。据此解答。 【规范解答】6×1＝6（折），6×2＝12（折），6×3＝18（折），6×4＝24（折），6×5＝30（折），6×6＝36（折），6×7＝42（折），6×8＝48（折），所得折扣没有5折，即最终折扣没有5折，可能性为0。 答：最终折扣恰好是5折的可能性是0。 【考点剖析】先用6折分别乘转盘上8个数字，会得到8种最终折扣的数字，在这8种数字中找出恰好是5折的可能性。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）不公平，理由见解析。 （2）示例：小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【思路引导】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的可能性是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可。 （2）要想使游戏公平，就要使他们两人获胜的可能性同样大，根据题意设计公平的游戏规则即可（答案不唯一）。 【规范解答】（1）不公平，理由如下： 因为奇数＋奇数的和是偶数，偶数＋偶数的和也是偶数，所以不论指针指到几，按顺时针方向数相应的格数，得到的都是偶数，所以不论小宇转到几都是小恒赢。 所以不公平。 （2）一共有30个数，其中15个奇数，15个偶数，可以设计如下： 小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【考点剖析】此题考查奇数和偶数的认识，可能性大小的比较，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第八单元可能性『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+5个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练共60题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络。 2 知识梳理温故知新 3 知识点一事件的确定性与不确定性.... 3 知识点二可能性大小… …3 知识点的应用… …3 考点讲练真题汇总· 高频考点一事件的确定性与不确定性 高频考点二判断事件发生的可能性的大小· ..5 高频考点三游戏规则的公平性............ ..5 高频考点四可能性大小的应用.…6 第1页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点五简单事件发生的可能性求解. 难点突破奥数拓展… 7 奥数拓展一事件的确定性与不确定性.... > 奥数拓展二判断事件发生的可能性的大小· 8 奥数拓展三游戏规则的公平性.· 9 奥数拓展四可能性大小的应用 奥数拓展五简单事件发生的可能性求解... 10 优选真题实战演练.· 10 【基础通关】 10 【能力提升】 13 导图指引梳理脉络 转动转盘（指针指向蓝色的可能性大小一样吗？） 你能替他们翅个办法。决定谁先走吗？ 抛硬市正面幅上，强强先走 点数大于3，强强先走 反面编上，小伟先走 掷股子 点数小于3，小华先走 ① 不确定性 谁先走 指针指向蓝色的可能性：①=②=⑧=④ 你认为他们的方法公平码？ 猜硬币实验(10次) 抛硬币时，正面铜上与反面明上的可 那粗子时，点数大干3有3种可魔 ”气把将透巴资要。先场高厚上 推相倒。 点致小于3有2种可能， 两种结果出现的可性相同： 两种结果出现的可最性不同。 第几次12345678910 第的站果 请你修改笑笑的方法，使它对双方都公平。 可能是正面朝上，也可能是反面上。 第八单元 可能性 设计游戏方案，使它对双方都公平。 不确定现象 不能提前确定结果，可能发生也可能不发生， 试一试 五年级上册北师大版 也可以让他们 领强先走，到白球 答决宽。 小华先走 可能性的大小 小 限大 与同件做20次游，并记录结果●。 摸球游戏 比校司能性的大小 两种可能。 点该景公单的吧， 不打开盒子看。如何知道盒子里 红球多还是黄球多 授球后记下颜色 要再放回去， 使助摇一摇 1有两个正方体积木。如图。下面是淘气0友积木的情况统计表 可能性大小比较的关键：看事件发生的机会有多大。 滋色面解上黄色面醇， ①号3次 要多少次，才能判断出 描述可能性的常用词语 惠种球较多昵？5次可以码 表中的数银 00计 上出了和g两种图装 很小 较小 较大银大 一定 不可能 小合作进行球活动，在下表中记录每次提到的球的藤色。并整理数 奇转了40次，果如下表 29次1次 第几次1234567891011121314151617181920 根题表中的敬据。享规级没计的转盘，最有可能的是()， 下可能的屋《)。与同伴说一说你是怎么想的。 极色 提出红球的次数： 頓出餐球的次数： 推测： 球多 根据大家的数据，可以用摸球的方法推测盘子里哪种色的球多。 3,在速望上所做的横球游戏中，你能推断出盘子更有几个红球。几个黄球吗了 本单元我们开展了掷硬币、摸球游戏等活动，你有哪些收获？ ⑦还有馄些问题想研究？与同伴交流。 第2页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点一事件的确定性与不确定性 确定事件：在一定条件下，结果可以预知的事件。它又分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下必定会发生的事件。例如，太阳从东边升起，水在0°C以下会结冰等。 不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。例如，太阳从西边升起，地球上人不需要氧气能存 活等。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如，明天会下雨，抛一 枚硬币正面朝上，从一个装有不同颜色球的袋子里摸出一个球等。 描述方法：描述确定性事件通常用“一定”“不可能”；描述不确定性事件通常用“可能”。比如， 今天是星期二，明天不可能是星期四；早上艳阳高照，下午可能下雨。 知识点二可能性大小 可能性大小与数量的关系：可能性的大小与数量有关，在总数量中所占数量越多，发生的可能性就越 大；所占数量越少，发生的可能性就越小。例如，一个不透明的袋子里装有5个红球和1个白球，那 么从袋子中摸出红球的可能性比摸出白球的可能性大。 应用：可以根据数量的多少来判断事件发生可能性的大小，也可以根据可能性的大小推测数量的多少。 比如，在多次摸球实验中，如果摸到红球的次数比白球多，那么可以推测袋子里红球的数量可能比白 球多。 知识点的应用 生活中的应用：在日常生活中，可能性的知识有广泛的应用，如天气预报中说明天降水的可能性是80%， 就是对天气情况发生可能性的一种描述；抽奖活动中，不同奖项的中奖可能性不同等。 解决实际问题：能够运用“一定”“可能”“不可能”等词语对生活中的一些现象进行准确判断和描 述，还能根据可能性大小的知识解决一些简单的实际问题，如设计游戏规则，使游戏公平等。 考点讲练真题汇总 eaae811目a8e8e08a目8e1aga8 高频考点一事件的确定性与不确定性 【典例精讲】(25-26五年级下·北京朝阳·期末)近年来，北京市的空气质量得到明显改善。王红借助 人工智能了解到影响空气质量的因素，并选取公园绿地面积这个因素收集数据，制作折线统计图（如下图）。 第3页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 根据统计图提供的信息，以下结论中错误的是( )。 2016一2024年北京市公园绿地面积 本 面积/公项 2026.6 38000 37238 37000 36397 +37305 36000 35157 36900 35000 35720 34000 32619 33000 32000 30569 31000 31019 30000 0 201620172018201920202021202220232024年份 A.2016一2024年，北京市公园绿地面积呈增长趋势。 B.2018一2019年，北京市公园绿地面积增长最多。 C.2019-2024年，北京市公园绿地面积增长趋势变缓。 D.2025年北京市公园绿地面积一定会继续增长。 【变式训练1】(24-25五年级上·重庆开州·期末)下面的现象中，一定会发生的在括号里画 有可能发生的在括号里画“人”，不可能发生的在括号里画“×”。 (1)2023年的2月份有29天。( (2)循环小数是无限小数。( (3)聪聪数学期末考试得100分。( 【变式训练2】(25-26五年级上·河北保定·期末)如图：两枚骰子的点数相加，和最小是( ), 最大是( ),一共有( )种不同的和；在掷骰子游戏中，和为( )的可能性最大：和为2与 和为12的可能性( )(填“相等”或“不相等”)。 和 出 2 3 4 5 6 1 3 5 6 1 8 4 5 67 8 9 6 7 8 10 6 8 9 7 89101112 第4页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点二判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下面的游戏规则公平吗？在括号里填上“公平”或 “不公平”。 (1)抛硬币，正面朝上，小红赢；反面朝上，小枫赢。( (2)选出扑克牌中同一花色的13张牌，反扣在桌面上，任意摸一张，点数大于6，小红赢；点数小于6，小 枫赢。（ 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)把10张大小、形状都相同的卡片放入箱子里，随意 摸一张，可能摸出数字“1”“2”“3”或“4”，并且摸出数字“1”的可能性比摸出数字“2”的可能 性大，卡片上可以填什么数字？请你填一填。 【变式训练2】(26-27五年级上·全国·课后作业)在一个小正方体的六个面上分别写上数字，甲、乙两 人各抛20次。你觉得下面哪些游戏规则是公平的？为什么？ (1)三个面写“1”，三个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (2)四个面写“1”，两个面写“2”。“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢。 (3)六个面分别写1至6这6个数字，朝上的数小于或等于3甲赢，大于3则乙赢。 高频考点三游戏规则的公平性 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小明和小华用黑桃2~9做游戏，任意摸一张牌，下列 玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 第5页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级上·广东深圳·阶段检测)奇思和妙想在玩数字卡片游戏。从1、2、3三张 卡片中抽取两张组成一个两位数，若这个两位数是奇数奇思赢，如果是偶数妙想赢。这个游戏公平吗？说 明理由。 【变式训练2】(25-26五年级上·广东清远·期末)下面有四个游戏，( )游戏对小刚和小红是 公平的。 A.摸球：袋子里有3个红球和2个白球，摸到红球小刚赢，摸到白球小红赢。 B.转盘：转盘上4块红色，2块蓝色，指向红色小刚赢，指向蓝色小红赢。 C.掷骰子：点数大于3小刚赢，点数小于3小红赢。 D.抛硬币：正面朝上小刚赢，反面朝上小红赢。 高频考点四可能性大小的应用 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)根据下列要求给转盘涂上颜色。 ①任意转动转盘，指针停在不同颜色的区域有4种可能。 ②任意转动转盘，指针可能停在红色区域。 ③任意转动转盘，指针可能停在绿色区域。 ④任意转动转盘，指针不可能停在白色区域。 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)不少小学周边有文具店、小卖店，店里除了零食、文 具外，还有一些印着精美的卡通形象用来抽奖的商品。记者发现，在某店的66枚金蛋里，只有7枚设置了 现金奖，其中5枚金蛋1元、2枚金蛋5元。请结合数据与生活实际，尝试劝说想要参与抽奖的同学。 第6页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(（25-26五年级上·河南郑州·期末)淘淘和乐乐做小数乘、除法的计算游戏，乐乐每次从 下面的卡片中任意拿出一张（卡片向下，看不到卡片上的算式），用淘淘手上的2.8去乘或除以乐乐拿出 的卡片，得数大于2.8就算乐乐赢，得数小于2.8就算淘淘赢。 ÷0.1 ×3.5 ×0.58 ÷1.2 2.8 ÷2.7 ×1.3 ×4.7 ÷0.7 乐乐 淘淘 (1)认为这个游戏公平吗？请说明理由。 这个游戏( )。我是这样想的：( )。 (2)如果不公平，我把上面的卡片( )改成( ),这个游戏就公平了。（提示：任意选取一张卡片， 改变卡片上的运算符号或者数字) 高频考点五简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】(25-26五年级下·上海杨浦·阶段检测)盒子里装有一些形状和大小完全相同的红球和绿 球，欢欢连续摸了三次，摸到的都是红球，下列说法正确的有( ）。 A.欢欢再摸一次，摸到的一定是绿球B.红球的个数一定比绿球多 C.欢欢再摸一次，摸到的可能还是红球D.绿球的个数不可能和红球相等 【变式训练1】(25-26五年级上·湖南永州·期末)一个袋子里有6个红球和4个白球，从中任意摸出1 个球，摸到红球的可能性是( )；如果摸到红球的可能性是，需要再放入( )个白球。 【变式训练2】(25-26五年级上·浙江湖州·期末)给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意 掷一次，要使红色朝上的可能性最大，黄色朝上的可能性最小，那么红色的面需要涂( )个。 A.1 B.2 C.3 D.4 难点突破奥数拓展 奥数拓展一事件的确定性与不确定性 【典例精讲】(25-26五年级上·河北邢台·期末)盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、 3、5,任意摸一个，有__种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能 第7页共14页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 性与它们不同，至少往盒子里再放入一一个标有5的小球，至少再放入一一个标有3的小球。 【变式训练1】（小学奥数7-1-2加法原理之分类枚举（二）专项训练卷)袋中有3个红球，4个黄球和5 个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有种可能。 【变式训练2】(25-26六年级下·广东佛山·期末)有6张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着：1、 2、3、6、9、13,请小华随机抽取1张。以下说法不正确的是( )。 A.小华可能抽到9 B.小华不可能抽到0 C.小华抽到的不是奇数就是偶数 D.小华抽到的不是质数就是合数 奥数拓展二判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】(23-24五年级上·辽宁·课后作业)桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚 或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚)，规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜 的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【变式训练1】(2026·重庆渝北·小升初真题)一副扑克包括大小王在内共54张，其中，红桃、黑桃、 梅花、方块4种花色的牌各13张，点数分别从1到13(A=1,J=11,Q=12,K=13)。明明在一副扑克 中任意抽取2张牌（若抽到大小王，大小王牌可以变身从1到13的任意点数），恰好抽到点数之和为8的 倍数的概率（可能性）为多少？ 【变式训练2】(24-25四年级上·江苏·单元测试)爸爸往三个箱子里分别各装10个红球、10个白球、 5个红球和5个白球，但是爸爸将箱子外面的标签全贴错了。爸爸要求小明只能从其中一个箱子里拿出一个 球就能说出三个箱子里分别装的是什么球。小明要怎样拿球？请你说明判断理由。 第8页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展三游戏规则的公平性 【典例精讲】(2025五年级上·全国·专题练习)小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡片 0279 。每人出1张，若差为奇数，则小宇胜：若差为偶数（不为0），则小恒胜：若差为0， 则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 【变式训川练1】(23-24五年级上·福建福州·期末)李涵和王萱玩骰子游戏。游戏规则如下：同时投两个 骰子，如果两个骰子的和是5、6、7，那么李涵赢；如果和是9、10、11，那么王萱赢。两人的胜算相比， ）。 A.李涵胜算大 B.王萱胜算大 C.同样多 D.无法确定 【变式训练2】竞选班长演讲比赛，赵强、张明两位同学进入决赛，抽签决定出场顺序。箱子里的10张数 字卡片上分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数字，约定任抽1张确定出场顺序。 下面是三名同学制定的抽签规则： 王洁：抽出的数小于5，则赵强先出场；若抽出的数大于5，则张明先出场。 李玲：抽出的数小于6，则赵强先出场：若抽出的数大于5，则张明先出场。 赵林：抽出的数小于4，则赵强先出场；若抽出的数大于7，则张明先出场。 (1) 的方法既简单又公平合理。 (2)请你对这三名同学制定的抽签规则是否公平合理做一个简要评价。 (3)请你再设计一个公平的抽签规则。 奥数拓展四可能性大小的应用 【典例精讲】(24-25五年级上·山西晋中·期中)随着“双十一”的来临，商场计划推出一项转盘抽奖 活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的商品，二等奖是 价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖的区域，并说一说你 这样设计的理由。 第9页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级上·重庆九龙坡·期中)乐乐在一个盒子里放入黄球、红球和白球共10个， 其中黄球比白球多1个，任意从盒子里摸出一个球，要使摸到红球的可能性最大，盒子里至少应放入 )个红球。 A.4 B.5 C.6 D.7 【变式训练2】(2025·湖北十堰·小升初真题)一个骰子六个面上分别有数字1,2,3,4,5,6，任意 抛两次，上面的数字和是( )的可能性大。 A.6 B.7 C.8 D.9 奥数拓展五简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】(24-25五年级上·山东菏泽·期中)在一个装有2个红球、1个蓝球和1个黄球（除了颜色 不同，其他均相同)的纸箱里，任意摸出2个球，有3种可能的结果。(）（判断对错） 【变式训练1】在1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是 弓不是质数的可能性用分数表示是 【变式训练2】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其 中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上 (如图)。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为一一一。 8元奖品 5元奖品 1元奖品 无奖品 红球 黄球 绿球 白球 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(2026五年级上·辽宁·专题练习)五(6)班用积分可以转“转盘”，转盘上有4种不同的奖励，20 名同学每人转1次，转出来的结果统计如下表。再转一次，是( ）的可能性最大。 第10页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 免作业一次 棒棒糖一根 饮料一瓶 发表扬信 4人 9人 2人 5人 A.免作业一次 B.棒棒糖一根 C.饮料一瓶 D.发表扬信 2.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下面说法中，哪个是正确的？( ) A.两个盒子里都装有4个红球，则从这两个盒子里摸出红球的可能性相等。 B.袋子里装有白棋、黑棋各10枚，每次任意摸出1枚，摸后放回摇匀，如果摸10次，那么一定有5 次摸到白棋，5次摸到黑棋。 C.从3支铅笔和3块橡皮中摸出1个，摸到铅笔淘气胜，否则笑笑胜，这个规则不公平。 D.盒子里装了一些小球，摸了30次，每次都是红球，所以盒子里都是红球。 3.(2026五年级上·辽宁·专题练习)一个三角形的最小内角是55°，这个三角形( )。 A.一定是锐角三角形 B.可能是钝角三角形 C.可能是直角三角形 D.可能是等边三角形 4.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)一个不透明袋子里装有数量不同、包装相同的果味糖和奶味糖， 小红一共摸了20次，每次摸出后记下种类，再放回袋子里摇匀，下面是她摸糖的记录。 种类 果味糖 奶味糖 次数 4 16 (1)袋子里可能( )糖多，（ )糖少。 (2)再摸一次，最有可能摸到( ）糖。 5.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)把点数为2和4的扑克牌各两张反扣在桌面上，每次摸两张，然 后放回去，摸到两张牌上点数的和有( )种可能，摸到和为( )的可能性最大；摸到和大于6， 一方赢，小于6，另一方赢，这个游戏是( )的。 6.(25-26五年级下·陕西安康·阶段检测)从1、2、3、4中任选一个数字，选出的数是质数和合数的可 能性不相等。( ）(判断对错) 7.(24-25五年级下·上海杨浦·期末)同时掷出两个数点块，掷出的点数都是双数的可能性比掷出的点 数是一单一双的可能性小。( ）(判断对错) 8.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)国庆节当天，某商场举行摸球赢大奖的活动，购物满99元可摸奖 1次（摸1次集1个字），只要集齐“国庆节快乐”5个字，就可赢得一部手机。乐乐在摸奖箱旁边随机观 察了90人，这90人为了得到大奖，每人都摸了5次，共450次。情况如下。 第11页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 摸到的字 国 庆 节 快 乐 摸到的次数 165 85 92 2 106 根据调查结果推测，容易赢得大奖吗？请写出你的理由。 9.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小丽和小明玩转盘游戏。同时转动如图的两个转盘，若转到的两 个数的积是2的倍数，则小丽赢；若不是2的倍数，则小明赢。你认为这样的游戏规则公平吗？请说明理 由。若不公平，请你设计一个公平的游戏规则。 3 2 10.(2026五年级上·辽宁·专题练习)某文具店开展促销话动，他们在店门口设计了一个转盘，顾客只 要消费满10元就可以转动转盘一次，已知转盘上共有5个区域，它们分别是：谢谢参与、书包、钢笔、格 尺、橡皮。如果“谢谢参与”出现的可能性最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格 尺、橡皮。请你在下面的转盘上标出它们的位置。 第12页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 1.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)口袋里有大小、质地完全相同的红、白、黄球若干个，每次摸一 个，摸后放回摇匀。重复20次的结果依次是黄、黄、白、红、白、红、黄、红、红、红、白、黄、白、红、 黄、红、红、红、红、红。对第21次的结果猜测错误的是( )。 A.一定是红球 B.可能是白球 C.红球可能性最大 D.红、白、黄球都有可能 2.（25-26五年级上广东深圳阶段检测)小明和小红在下围棋，为了决定准先走，以下四种方案( 是公平的。 A.抛掷一枚瓶盖，正面朝上则小明先走，反之小红先走。 B.一副扑克牌中抽取一张牌，若花色是红桃则小明先走，若不是红桃则小红先走。 C.投掷一颗骰子，如果点数小于3则小明先走，若大于3则小红先走。 D.箱子里有3个黄球、3个红球（除颜色外完全相同），从中随机摸一个球，如果是黄球则小明先走， 如果是红球小红先走。 3.(25-26五年级上·山东烟台·期末)盒子里有10个红色小球，1个黄色小球，每次摸一个球，摸出球 后不放回盒子。小明连续摸了4次都摸出了红球，那么最快第( )次能摸到黄球，摸( 次一定能摸到黄球。要想摸到黄球的可能性为，那么在一开始的盒子里应该再加上( )个黄球。 A.4:11;9 B.5;11:4 C.9;4:11 D.11:9:4 4.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)盒子里有红、白、蓝三种颜色的小球，它们的大小、材质都相同， 华华摸了30次，情况如下。 颜色 红色 白色 蓝色 次数 2 10 18 根据数据推测，盒子里( )色球可能最多，( )色球可能最少。 5.选出点数为1和2的扑克牌各两张，花色均不相同，反扣在桌面上。甲、乙两人摸牌，每次摸两张，然 后放回去，另一个人再摸，两张牌的点数和等于3的有( )种可能。请根据两张牌点数和的所 有可能，设计一个“决定谁赢”的公平的游戏规则：( )。 6.(25-26五年级上·河北保定·期末)从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽 到合数的可能性相等。( ）(判断对错) 第13页共14页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 7.(25-26五年级上·广东江门·期中)盒子中有白色、黄色乒乓球，任意摸出一个乒乓球，摸了3次都 是白色乒乓球，可以说盒中白色乒乓球比黄色乒乓球多。( ）(判断对错) 8.(25-26五年级上·河南驻马店·期末)小林和小军两人玩掷骰子（六个面上分别标有1,2,3,4,5， 6个点数)游戏，掷到的点数大于3点小林赢，掷到的点数小于3点小军赢，掷到3点重来一次。你认为这 个规则公平吗？如何修改，才能使这个规则对他俩都公平呢？ 9.(25-26五年级上·湖北黄石·期中)某商场国庆节举行促销活动。步骤一：顾客首先需要玩一个抽卡 享受折扣的游戏：从写有数字1（代表1折）到10（代表10折，即原价）的10张卡片中，随机抽取两张。 商场规定，抽卡享受的折扣是这两张卡片数字的乘积（单位：折）。例如，抽到3和5，即享受三折与五折 的乘积，0.3×0.5=0.15。即享受一五折。步骤二：“幸运大转盘”游戏：转盘被平均分成8个扇形区域， 分别写着：1、2、3、4、5、6、7、8。顾客可以去转动一次幸运大转盘。转盘停止后，指针所指的数字再 和他步骤一抽到的折扣相乘，得到一个新的最终折扣。国庆节小明到该商场购物，如果小明第一次抽卡游 戏得到的折扣是6折，那么他转动转盘后得到的数字与抽卡游戏得到的折扣相乘，最终折扣恰好是5折的 可能性是多少？ 10.(24-25五年级下·全国·课后作业)小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： 901 小宇转转盘，指针指到几，就按顺时针方向数 相应的格数，如果得到的是奇数，则小宇赢； 大转盘 如果得到的是偶数，则小恒赢 (1)小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ (2)请你设计一个公平的游戏规则。 第14页共14页null