专题3.4 一元一次不等式的应用（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式的应用这一核心知识点，承接不等式解法，通过销售、行程、工程等12种实际题型构建学习支架，例题与变式题结合，帮助学生掌握从实际问题中抽象数量关系并建立不等式模型的方法。 该资料特色在于立足现实情境，题型涵盖生活多领域，如销售问题中总费用控制、行程问题中速度提升分析等，培养学生用数学眼光发现问题，通过推理分析（数学思维）和模型构建（数学语言）解决问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

专题3.4 一元一次不等式的应用（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 1 【题型2 行程问题】 4 【题型3 工程问题】 7 【题型4 运输问题】 10 【题型5 比赛问题】 13 【题型6 年龄问题】 17 【题型7 数字问题】 19 【题型8 比例问题】 21 【题型9 形积问题】 24 【题型10 古文问题】 28 【题型11 分段计费问题】 32 【题型12 方案决策问题】 34 考点1 一元一次不等式的应用 【题型1 销售问题】 【例1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．拟定如下表的两种购买方案： 甲品牌毽子/个 乙品牌毽子/个 总价/元 方案一 12 4 152 方案二 15 8 214 (1)求甲品牌毽子和乙品牌毽子的单价； (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，甲品牌毽子最多能买多少个？ 【答案】(1)甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元 (2)甲品牌的毽子最多能买550个 【分析】（1）理解题意，先设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元，结合表格数据列出方程组，最后解得，的值，即可作答． （2）根据购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，列出一元一次不等式，再解得，最后作答即可． 【详解】（1）解：设甲品牌的毽子单价为元，乙品牌的毽子单价为元 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子单价为10元，乙品牌的毽子单价为8元， （2）解：设甲品牌的毽子买了个，则乙品牌的毽子买了个， 依题意，得 解得 答：甲品牌的毽子最多能买550个 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期末）某商店销售一批比赛训练专用足球，第一个月以元/个的价格售出个，第二个月起降价，以元/个的价格将这批剩下的比赛训练专用足球全部售出，销售这批比赛训练专用足球的总销售额超过元．该商店这批比赛训练专用足球至少有多少个？ 【答案】 该商店这批比赛训练专用足球至少有个． 【分析】设这批足球有x个，根据总销售额超过元，建立一元一次不等式，解不等式解决问题． 【详解】解：设这批足球有x个， 根据题意，得 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为． 答：该商店这批比赛训练专用足球至少有个． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 【答案】 要购买的音乐智慧跳绳机最少9台，最多14台. 【分析】根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． ∵， ∴， 所以在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多14台，最少9台． 【变式1-3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）某厂家生产了贴合2026年马年生肖的A、B两款手机壳．某超市从厂家购进A、B两款手机壳，第一批购进A款100个，B款200个，总费用为4000元；第二批购进A款40个，B款60个，总费用为1300元． (1)①嘉淇利用画表格（表格不完整）的方法分析数量关系． 进货批次 A款费用 B款费用 总费用 一 4000 二 1300 代表______； 代表______； “”代表______；“”代表______； ②求和的值； (2)第三批进货用8000元钱购进这两款手机壳，如果每售出一个A款手机壳可获利8元，售出一个B款手机壳可获利6元．设第三批购进A款手机壳个，B款手机壳个． ①用含的代数式表示； ②若第三批购进的A、B两款手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元，求的最小值． 【答案】(1)①A款手机壳进货的单价；B款手机壳进货的单价； ；；②． (2)①；②的最小值为200 【分析】（1）①根据题意并列代数式即可完成填空，②根据题意列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①先根据题意列出方程，再解关于b的方程即可；②根据题意得到售出后所得的利润为，再根据全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：A款手机壳进货的单价；B款手机壳进货的单价； ；； ②由题意可知：， 解得． （2）解：①由题意可得：， ； ②由题意可得：售出后所得的利润为， ∵手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元， ∴， 解得． ∴的最小值为200． 【题型2 行程问题】 【例2】甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时 【分析】（1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，然后根据甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇列出方程组求解即可； （2）设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，然后根据乙车再经过不超过1小时与甲车相遇即乙车再经过1小时两车所走的所有路程之和要大于等于210千米列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时， 根据题意，得 解得． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时， 根据题意，得． 解得． 答：乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）甲步行的速度为，先走后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？ 【答案】乙至少需要才能赶上甲 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设乙需要才能赶上甲，根据路程=速度时间结合乙行走的路程不少于甲的路程，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】设乙需要才能赶上甲， 依题意，得：， 解得：． 答：乙至少需要才能赶上甲． 【变式2-2】甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 【变式2-3】“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【答案】(1)三级路的路程是，二级路的路程是 (2)小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式成为解题的关键． （1）设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是，然后根据等量关系“两段路总长为”列一元一次方程求解即可； （2）设装卸搬运的时间是y小时，然后根据不等式关系“装卸搬运和运送时间不能超过6小时”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，二级路的路程是． （2）解：设装卸搬运的时间是y小时， 根据题意得：，解得：， ∴y的最大值为． 答：装卸搬运最多能用小时． 【题型3 工程问题】 【例3】为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的． (1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？ (2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】(1)临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米； (2)甲工程队后期每天至少施工千米． 【分析】（1）设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟，根据“路程速度时间”、“开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得； （2）设甲工程队后期每天施工x千米，根据“确保整个工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟， 由题意得：， 解得， 则（千米），（千米）， 答：临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米； （2）设甲工程队后期每天施工x千米， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队后期每天至少施工千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确建立方程和不等式是解题关键． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建________米． 【答案】72 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建x米，根据“14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建x米，根据题意得 ， 解得． 即乙工程队平均每天至少要修建72米． 故答案为：72． 【变式3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 【变式3-3】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米 (2)乙工程队至少施工20天 【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，然后根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务建立方程求解即可； （2）设乙工程队施工天，根据时间任务量每天的工作任务列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米． 根据题意得：， 解得： 答：甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米． （2）解：设乙工程队施工天． 根据题意得：， 解得： 答：乙工程队至少施工20天． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 【题型4 运输问题】 【例4】用节火车车厢和节汽车能运输化肥，用节火车车厢和节汽车能运输化肥． (1)求每节火车车厢与每节汽车平均能运输多少吨化肥？ (2)某化肥厂要运输一批超过的化肥，火车站恰好有节火车车厢可以运输．请问至少还需要多少辆汽车？ 【答案】(1)每节火车车厢平均能运输吨化肥，每节汽车平均能运输吨化肥； (2)至少还需要辆汽车． 【分析】（）根据等量关系列出方程组，再解即可； （）列出不等式组，再解即可； 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． 【详解】（1）设每节火车车厢平均能运输，每节汽车平均能运输吨化肥， 依题意得：，解得：， 答：每节火车车厢平均能运输吨化肥，每节汽车平均能运输吨化肥； （2）设还需要辆汽车， 依题意得：，解得：， 答：至少还需要辆汽车． 【变式4-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为2.8吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． (1)求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少吨？（用二元一次方程组求解） (2)2025年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输A、B两种部件共16件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】(1)1个A型部件的质量为吨，1个B型部件的质量为吨； (2)这辆卡车最少要运输11个B型部件. 【分析】（1）根据题干给出的两个质量条件列方程组求解； （2）根据总质量不超过卡车最大额定载重的要求列不等式，结合部件个数为正整数的性质取最小值即可求解． 【详解】（1）解：设1个A型部件的质量为吨，1个B型部件的质量为吨， 根据题意得： 解得： 答：1个A型部件的质量为吨，1个B型部件的质量为吨； （2）设这辆卡车运输个B型部件，则运输个A型部件， 根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 答：这辆卡车最少要运输11个B型部件． 【变式4-2】为保障安全，对某大桥的限重作出规定，载重后总质量超过30 吨的车辆禁止通行．现有一辆自重6吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由3个A部件和1个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个 B 部件的总质量为吨，3个A 部件和2个 B部件的质量相等． (1)1个 A 部件和1个B部件的质量分别是多少？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套？ 【答案】(1)一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨 (2)该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与不等式的应用．熟练掌握总重与每个重和数量的关系列方程组，配比关系与限重，是解决问题的关键． （1）设一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨．根据2个A部件和1个 B 部件的总质量为吨，3个A 部件和2个 B部件的质量相等，列方程组，解方程组即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据大桥限重30吨，一辆卡车自重6吨，每套设备由3个A部件和1个B部件组成，列不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨， 根据题意，得， 解得， 答：一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得， 解得：， 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【变式4-3】现打算将一批生活物资用、两种型号的货车，分两批运往外地．具体运输情况如下（备注：第一批、第二批每辆货车均满载）： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)后续又有62.4吨生活物资需运送同一地点，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这62.4吨生活物资运往目的地？ 【答案】(1)、两种型号货车每辆满载分别能运吨、吨生活物资 (2)至少还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设、两种型号货车每辆满载分别能运，吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）设还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设、两种型号货车每辆满载分别能运，吨生活物资， 由题意得：， 解得：， ∴、两种型号货车每辆满载分别能运吨、吨生活物资． （2）设还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意得， 解得：， ∵为整数， ∴最小取， ∴至少还需联系辆型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地． 【题型5 比赛问题】 【例5】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分达到或超过15分才能获得决赛资格．一支球队现已比赛了5场，得8分． (1)前5场比赛中，这支球队共胜了多少场？ (2)这支球队打满10场比赛，最高能得多少分？ (3)如果这支球队要获得参加决赛资格，那么在初赛阶段至少还要胜多少场？ 【答案】(1)3场 (2)18分 (3)2场 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设前5场，这支球队胜了x场，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意，后5场全胜可得答案； （3）设这支球队在初赛阶段还要胜a场，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设前5场，这支球队胜了x场，则负了场， 根据题意可得：， 解得：， 答：前5场比赛中，这支球队共胜了3场； （2）解：若要得最高分，剩余5场必须全胜，最高分即为：（分） 答：这支球队打满10场比赛，最高能得18分； （3）解：设这支球队在初赛阶段还要胜a场， 根据题意可得：， 解得：， ∴最小整数 答：支球队在初赛阶段至少还要胜2场． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 【答案】(1)七（一）班前场胜的场数是8 (2)七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是准确列出方程或不等式求解． （1）设七（一）班前场胜的场数是x，先用表示出负的场数， 再列出方程求解； （2）设七（一）班还要胜y场，先用y表示出负的场数， 根据题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设七（一）班前场胜的场数是x，则负的场数是， 根据题意列方程得：， 解得， 答：七（一）班前场胜的场数是8； （2）设七（一）班还要胜y场，则负场， 根据题意列不等式：， 解不等式得， 根据题意，y取正整数， ∴y的最小正整数解为． 答：七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场． 【变式5-2】某市高中篮球联赛前三名的积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 14 11 3 36 B 14 8 6 30 C 14 7 7 28 据表格提供的信息解答下列问题： (1)胜一场、负一场各积多少分？ (2)该市高中篮球联赛每个队均需进行20场比赛．A队由于主力受伤，后面的6场比赛仅取得2胜4负的成绩，获得第二名．B队积分超过A队，取得了联赛的冠军，则后面6场比赛B队的赛果如何，请加以分析说明． 【答案】(1)胜一场积3分，负一场积1分； (2)后面6场比赛B队胜6场，负0场． 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设后面6场比赛B队获胜m场，负（6−m）场，其中（0≤m≤6），求出A队进行20场比赛的总积分为46（分），B队进行20场比赛的总积分为（36＋2m）（分），再由题意：A队获得第二名，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意：， 解得：， 答：胜一场积3分，负一场积1分； （2）后面6场比赛B队胜6场，负0场．理由如下： 设后面6场比赛B队获胜m场，负（6−m）场，其中（0≤m≤6）， 由题意得：A队前14场的积分为36分， 则A队进行20场比赛的总积分为：36＋2×3＋4×1＝46（分）， B队进行20场比赛的总积分为：30＋3m＋6−m＝（36＋2m）（分）， 由题意得：36＋2m＞46， 解得：m＞5， ∴m＝6， 则6−m＝0， 答：后面6场比赛B队胜6场，负0场． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【变式5-3】为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场； (2)该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【分析】（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可． （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案． 【详解】（1）解：设胜了场，负了场， 根据题意得：， 解得， 答：该班级胜负场数分别是场和场； （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球， 根据题意得：， 解得， 答：该班级这场比赛中至少投中了个分球． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 【题型6 年龄问题】 【例6】（25-26七年级上·重庆·自主招生）世界上最长寿的动物之一就是北极帘蛤，一般北极帘蛤都可以活到几百岁．现在有一只大北极帘蛤，今年70岁，4只小北极帘蛤的年龄分别是3岁、4岁、5岁、6岁，再过______年，4只小北极帘蛤的年龄之和首次超过大北极帘蛤的年龄． 【答案】18 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出不等式是做题的关键．先设经过年，小北极帘蛤年龄之和超过大北极帘蛤的年龄，再根据题意可得不等式，求解不等式即可． 【详解】解：设经过年，小北极帘蛤年龄之和超过大北极帘蛤的年龄， 则根据题意得，， 解得，， 故的最小整数解为18． 因为经过17年，小北极帘蛤年龄之和为（岁），大北极帘蛤年龄为（岁），； 经过18年，小北极帘蛤年龄之和为（岁），大北极帘蛤年龄为（岁），， 因此，再过18年，4只小北极帘蛤的年龄之和首次超过大北极帘蛤的年龄． 故答案为：18． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【答案】17 【分析】本题考查列不等式的应用．设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】解：设小海x岁时，小海的年龄超过他爸爸年龄的， 根据题意，得 ， 解得， 答：小海至少17岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 故答案为：17． 【变式6-2】小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过______岁． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设现在距离小明4岁那年已经过了年，根据“现在枫树已经比山毛榉高了”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设现在距离小明4岁那年已经过了年， 由题意得：， 解得， 则， 即小明现在的年龄应该超过12岁， 故答案为：12． 【变式6-3】日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄x(岁) x≤60 60<x<80 x≥80该人的“老人系数” 该人的“老人系数” 0 1 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于0.7时，该人年龄至少为__________. 【答案】74 【详解】设此人年龄为x岁. 由此人的“老人系数”不小于0.7时，得≥0.7，解得x≥74. 故此人至少74岁. 故答案为74. 点睛：不等式的应用时，要求一个未知量至少、至多、不小于多少时，应设这个未知量为x，再根据题中的不等关系列不等式求解. 【题型7 数字问题】 【例7】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是________. 【答案】31或20 【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x+2，即可以列出不等式求解. 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x+2，由题意得 10（x+2）+x＜40 解得： 因为x是非负整数， 所以x=1或0，该数的个位数字为1或0，则十位数字是3或2，故这个两位数为31或20． 故答案为31或20． 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等关系列出不等式即可求解． 【变式7-1】将，，，，，，，，，这个个自然数填到图中的个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的个格子中所填数字之和都等于．则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，一元一次不等式的应用，图形中有个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为、，则与均被加了两次，根据田字形的个格子中所填数字之和都等于，其总和为，根据个“田”字形所填数的总和为，列出不等式，求整数解即可． 【详解】解：设每个“田”字格四个数的和为m， 共个数的和为， 有两数重复， 设这两数分别为，， 所以个“田”字形所填数的总和为： ， 则有， 要最大，必须、最大， 而最大值为， 则， 则， 则最大整数值为． 【变式7-2】有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是________． 【答案】87或98/98或87 【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，就可以表示出这个两位数为，根据这个两位数不小于80建立不等式求出其解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得 ， 解得：， 为整数，， ，9， 个位上的数字为：或8， 这个两位数为：87或98． 故答案为：87或98． 【点睛】本题考查了数字问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立不等式是关键． 【变式7-3】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【答案】72或81 【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 []解不等式即可． 【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 [] 解这个不等式，得 ， ∵十位上数字与个位上数字都不为0， ∴ ∴整的整数值为5、6、7、8 当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意； 当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意； 当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意； 当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意． ∴这个两位数是72或81． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【题型8 比例问题】 【例8】（25-26七年级下·广东汕尾·期末）为践行劳动教育，七年级（3）班在劳动课上组织“包饺子·享劳动”主题活动．已知购买1千克饺子馅和2千克饺子皮，需要付50元；购买2千克饺子馅和1千克饺子皮，需要付70元． (1)饺子馅和饺子皮每千克的售价分别是多少元？ (2)已知包饺子时饺子馅和饺子皮的比例为，家委会众筹了240元活动经费，最多能买多少千克饺子馅？ 【答案】(1)饺子馅每千克的售价是30元，饺子皮每千克的售价是10元 (2)最多能买6千克饺子馅 【分析】（1）设饺子馅每千克的售价是元，饺子皮每千克的售价是元，根据购买1千克饺子馅和2千克饺子皮，需要付50元；购买2千克饺子馅和1千克饺子皮，需要付70元建立方程组求解即可； （2）设购进饺子馅千克，根据活动经费不超过240元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设饺子馅每千克的售价是元，饺子皮每千克的售价是元， 由题意，得， 解得， 答：饺子馅每千克的售价是30元，饺子皮每千克的售价是10元； （2）解：设购进饺子馅千克， 由题意，得， 解得， ∴m的最大值为6， 答：最多能买6千克饺子馅． 【变式8-1】某企业生产的一种果汁饮料由A、B两种水果配制而成，其比例与成本如下方表格所示，已知该饮料的成本价为8元/千克，按现价售出后可获利润50%，每个月可出售27500瓶．    （1）求m的值； （2）由于物价上涨，A水果成本提高了25%，B水果成本提高了20%，在不改变售价的情况下，若要保持每个月的利润不减少，则现在至少需要售出多少瓶饮料？ 【答案】（1）20；（2）50000瓶 【分析】（1）利用表格中的数据，根据“A种水果的成本+B种水果的成本=8”列方程求解即可； （2）首先求出原售价以及调价后的成本价，再根据“保持每个月的利润不减少”列出不等式求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得，； （2）需要售出x瓶， 原售价：（元/千克） 调价后的成本价为：（元/千克） 则 解得， 则最小值为 答：现在至少需要售出50000瓶饮料． 【点睛】此题考查一元一次方程与一元一次不等式的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 【变式8-2】去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比达，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加______天．（结果取整数） 【答案】37 【分析】设明年空气质量良好的天数要比去年增加天，根据题意列不等式，即可得到答案． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数要比去年增加天， 由题意得：， 解得：， 为整数， 明年空气质量良好的天数要比去年至少增加37天， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意正确列不等式是解题关键． 【变式8-3】为了防控新冠病毒，学校积极对校园环境进行消毒，购买了A、B两种消毒液共100升，其中A消毒液每升6元，B消毒液每升9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，那么A、B两种消毒液各买多少升？ (2)学校在使用消毒液的时候发现，如果将A消毒液与B消毒液以的比例混合使用效果最佳，所以这次购买的消毒液按此法使用后，还会剩_______种消毒液_____升． (3)如果学校再次去购买这两种消毒液，预算不超过1500元，依旧按混合使用，则最多再购买多少升A种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余？ 【答案】(1)、两种消毒液各买40升和60升 (2)，10 (3)55升 【分析】（1）设种消毒液买升，则种消毒液买升，由题意得：，即可求出答案； （2）根据消毒液与消毒液以的比例混合，即可计算出答案； （3）设再购买升种消毒液，则需购买升种消毒液，由题意得：，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设种消毒液买升，则种消毒液买升， 由题意得：， 解得， ， 答：、两种消毒液各买40升和60升； （2）， （升）， 会剩种消毒液10升； 故答案为：，10； （3）设再购买升种消毒液，则需购买升种消毒液， 由题意得：， 解得， 答：最多再购买55升种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键． 【题型9 形积问题】 【例9】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）统计资料表明，到2021年年底，A城市的城市建成区面积达，B城市的城市建成区面积比C城市的城市建成区面积大，且B城市与C城市的城市建成区面积之和比A城市的城市建成区面积还少． (1)求2021年B、C两城市的城市建成区面积分别是多少？ (2)2021年A城市的建成区绿地总面积为，若从2022年年初到2025年年底这四年期间，A城市的城市建成区面积平均每年都增加，建成区绿地面积平均每年都增加，要使到2025年年底，A城市的建城区园林绿地率超过（，简称绿地率），求a应超过多少？ 【答案】(1)B市建成区面积为，C市的城市建成区面积为． (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设B市的城市建成区面积为，C市的城市建成区面积为，依题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）平均每年增加城市建成区绿地面积应超过，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设B市的城市建成区面积为，C市的城市建成区面积为， 依题意得：， 解得：． 答：B市建成区面积为，C市的城市建成区面积为． （2）解：依题意得：． 解得：． 答：平均每年增加城市建成区绿地面积应超过． 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个容量为的杯子中装有一些水，将5颗体积均为的玻璃球放入这个杯中，水没有溢出来，则杯子中原有水的体积最多是______． 【答案】275 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意可知五个小球的体积加上水的体积小于杯子的容量，据此列出不等式即可解答． 【详解】解：设杯子中原有水的体积为， 根据题意得，水的体积和5颗玻璃球的体积之和小于等于， 可列不等式为， 解得． 即杯子中原有水的体积最多是， 故答案为：275． 【变式9-3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，开水的温度为（整个接水的过程不计热量损失）． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)同学如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，请求出温水的流速和开水的流速分别为多少； (2)小甘同学要接一杯的温水和开水混合的水，先接温水，再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求小甘同学接温水的时间； (3)李老师想要接一杯的开水和温水混合的水，他先接秒的开水，再接温水，智能杯盖显示此时的温度为t度，你能用含有的式子表示t吗？若水杯中水的温度不低于60度，李老师接开水的时间至少需要多长时间？ 【答案】(1)温水的流速为，开水的流速为 (2) (3)；李老师接开水的时间至少是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确建立方程组是解题关键． （1）设温水的流速为，开水的流速为，根据水的体积公式建立方程组，解方程组即可得； （2）设小甘同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据水的体积公式、开水放出的热量等于温水吸收的热量建立方程组，解方程组即可得； （3）先求出开水的体积为，温水的体积为，再根据开水放出的热量等于温水吸收的热量建立等式，化简即可得；然后根据水杯中水的温度不低于60度建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：设温水的流速为，开水的流速为， 由题意得：， 解得：， 答：温水的流速为，开水的流速为． （2）解：设小甘同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得：， 解得：， 答：小甘同学接温水的时间为． （3）解：由题意得：开水的体积为，则温水的体积为， 由题意得：， 化简得：， ∵水杯中水的温度不低于60度， ∴，即， 解得， 答：李老师接开水的时间至少是． 【题型10 古文问题】 【例10】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【答案】(1)绳长48尺，井深11尺 (2) 【分析】（1）设绳长尺，井深尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可； （2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而离井口的距离为尺，然后列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设绳长尺，井深尺， 根据题意，得： 解得：， 答：绳长48尺，井深11尺； （2）解：因为要求的是的最小值， 所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）． 把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺， 根据题意，得： ， 解得：≥． 答：的最小值为尺． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键． 【变式10-1】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，请解决以下问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子? (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法； (3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛． 【答案】(1)每头牛值3两银子、每只羊值2两银子； (2)①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊； (3)12 【分析】（1）设每头牛值两银子、每只羊值两银子，根据题意列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）设购买头牛，只羊，根据题意列方程，得到，再根据、都是正整数，逐一计算验证，即可得到答案； （3）设商人购买头牛，则购买头羊，根据题意列不等式并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子、每只羊值两银子， 由题意得：， 解得：， 答：每头牛值3两银子、每只羊值2两银子； （2）解：设购买头牛，只羊， 由题意得：， ， 、都是正整数， 满足条件的解有，，， 商人可能的购买方法有3种：①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊； （3）解：设商人购买头牛，则购买头羊， 由题意得：， 解得：， 最多可以购买12头牛， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程并求解是解题关键． 【变式10-2】我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一方面学生了解了古代的数学知识，另一方面也考察了学生的思维能力．根据题意，类比我们现在的十进制满十进一，各个数位上的和不小于46，列不等式求解即可． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数至少是个． 根据题意可知，从右到左的数分别为3，，，所以有 解得： 因为打结数为整数，所以最少为4个． 故选：C 【变式10-3】（25-26七年级下·河北唐山·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，书中记载：粮仓中储存了黍、稷、稻三种粮食，总重量为石．已知稷的重量是黍的倍；为了应对荒年，规定“备荒用的稻粮，必须多于黍、稷两种粮食的总和”，才能保证灾年供应．设黍的重量为石，下列说法中错误的是（     ） A．稷的重量是石 B．为满足备荒要求，可列不等式 C．当石时，稻粮与黍、稷两种粮食的总和相等 D．当石时，满足备荒要求 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出稷和稻的重量，再结合备荒要求列出不等式，求解后逐一判断选项正误即可． 【详解】解：设黍的重量为石， 稷的重量是黍的倍， 稷的重量为石， 故选项A正确； 黍和稷的总重量为， 三种粮食总重量为石， 稻的重量为石， 要求稻的重量多于黍、稷两种粮食的总和， 可列不等式， 故选项B正确； 解不等式得：，即时满足备荒要求， 当时，稻的重量为，黍稷总重量为，二者相等， 故选项C正确； 当时，可得，即稻的重量小于黍稷总重量，不满足备荒要求， 故选项D错误． 【题型11 分段计费问题】 【例11】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 【答案】该科技馆购买了40个人形机器人模型 【分析】设科技馆购买了x个人形机器人模型，根据一次性支付28000元购买该模型，列出方程，解方程得出答案，再根据每个单价不低于500元/个，得出，即可得出答案． 【详解】解：， 超过30个， 设科技馆购买了x个人形机器人模型， ， 解得：，， ∵不低于500元/个， ， ， 该科技馆购买了40个人形机器人模型． 答：该科技馆购买了40个人形机器人模型． 【变式11-1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方式全部安装天然气后，平均每户支付不足1000元，则这个小区的住户数至少是______户． 【答案】21 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据“x户居民按1000元计算总费用整体初装费”列不等式求解即可． 【详解】解：设这个小区的住户数为x户， 则， 解得， ∵x是整数， ∴这个小区的住户数至少21户． 故答案为：21． 【变式11-2】美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费________元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足_________时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少． 【答案】 14 或 【分析】（1）根据题意列出算式求解即可； （2）小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，根据题意列出两种收费方式，列出不等式，根据甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费，分别讨论当时，当时，甲乙的费用，进而求得也符合题意，也可采用表格的方式求得时间段内的缴费，作比较即可求解． 【详解】（1）乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）． 则小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费，则（元） （2）当时，租用甲种电动车需缴费15元，租用乙种电动车需缴费5元，不符题意， 当时，租用甲种电动车需缴费15元，由（1）可知租用乙种电动车需缴费最多元，不符题意， 当时， 解得. 甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费， 当时，租用甲种电动车缴费元， 租用乙种电动车缴费5+元，此时费用相等， 当时，租用乙种电动车仍为20元，而甲种电动车需要19元，符合题意， 当时，甲的费用比乙高，不符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 【变式11-3】从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内（含3分钟）收费2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元（不足1分钟的通话时间按1分钟计费），某人如果有12元话费打一次电话最多可以通话____分钟． 【答案】12. 【详解】试题分析：设最多可以打x分钟的电话，则可得不等式：2.4+1×（x-3）≤12，解出即可． 试题解析：设最多可以打x分钟的电话， 由题意，得：2.4+1×（x-3）≤12， 解得：x≤12.6． 故如果有12元话费打一次电话最多可以通话12分钟． 考点：一元一次不等式的应用． 【题型12 方案决策问题】 【例12】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【答案】(1)方案一：10000元，方案二：10800元 (2)当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据已知条件列出不等式是解题的关键． （1）根据方案一，买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，计算总价；方案二所有商品打九折，计算总价即可； （2）分别列出方案一和方案二的付款表达式，比较大小，确定省钱的方案即可． 【详解】（1）解：购买洗衣机10台，电磁炉20台， 方案一：买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，付款为 （元） 方案二：所有商品按付款，付款为 （元） 因此，方案一需付款10000元，方案二需付款10800元； （2）解：设购买电磁炉x台（）， 方案一付款为：， 方案二付款为：， ， 当，即时，，则方案一省钱； 当，即时，，则方案二省钱； 当，即时，，则两种方案付款相同， 因此，当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可 【分析】（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答； （2）根据题意分别列出不等式和方程求解． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时，解得：， 当时，选择方案二； 当时，解得：， 当时，选择方案一； 当时，解得， 当时，选择两种方案都可． 【变式12-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【答案】(1)选择线上方案更省钱，省了元 (2)当时，线下方案比线上方案更省钱 (3)原价的最大值为元 【分析】（1）分别计算两种方案对应的花费，即可解得； （2）先根据两种优惠规则计算不同情况下的实际花费，再列不等式求解即可； （3）分类讨论求x的最大值即可解答． 【详解】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 【变式12-3】（25-26八年级下·河南郑州·期末）【问题提出】某大型超市计划从生产基地购进一批水果，经质检鉴定该批次水果中大果占，小果占，果农给出以下两种提货方案： 方案一：不分大、小果，统一按a元提货； 方案二：大果按m元，小果按n元提货． 问题：超市应如何选择方案才能拿到最合算的提货价？ 【问题解决】设超市要购进水果，按方案一进货需付元，按方案二进货需付元． (1)若，，分别求出，与x之间的关系式，并写出当a满足什么条件时，超市选择方案一更合算； (2)猜想：当a，m，n满足什么关系时，超市选择方案一更合算，请说明理由； (3)若超市选择了方案一，但在运输过程中，大果损耗了，小果损耗了，而超市必须获得不少于的利润才能维持正常经营，则至少应在提货价的基础上提价百分之几？（结果保留百分号前的整数） 【答案】(1)，，当时，超市选择方案一更合算 (2)当时，超市选择方案一更合算 (3)至少应在提货价的基础上提价 【分析】（1）由方案一：统一按a元提货，可得，由方案二：大果按m元，小果按n元提货，且，，可得，由，可得a需要满足的条件； （2）同理（1）可得，，由，可得a，m，n需满足的关系； （3）设应在提货价的基础上提价，根据超市必须获得不少于的利润，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，超市选择方案一更合算． （2）解：由题意得，，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，超市选择方案一更合算． （3）解：设应在提货价的基础上提价， 由题意得，， 解得，其中， ∵保留百分号前的整数， ∴取最小整数为47， ∴至少应在提货价的基础上提价． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 一元一次不等式的应用（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 销售问题】 1 【题型2 行程问题】 2 【题型3 工程问题】 3 【题型4 运输问题】 4 【题型5 比赛问题】 5 【题型6 年龄问题】 6 【题型7 数字问题】 6 【题型8 比例问题】 7 【题型9 形积问题】 8 【题型10 古文问题】 9 【题型11 分段计费问题】 10 【题型12 方案决策问题】 11 考点1 一元一次不等式的应用 【题型1 销售问题】 【例1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．拟定如下表的两种购买方案： 甲品牌毽子/个 乙品牌毽子/个 总价/元 方案一 12 4 152 方案二 15 8 214 (1)求甲品牌毽子和乙品牌毽子的单价； (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共1000个，且总费用不超过9100元，甲品牌毽子最多能买多少个？ 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期末）某商店销售一批比赛训练专用足球，第一个月以元/个的价格售出个，第二个月起降价，以元/个的价格将这批剩下的比赛训练专用足球全部售出，销售这批比赛训练专用足球的总销售额超过元．该商店这批比赛训练专用足球至少有多少个？ 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 【变式1-3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）某厂家生产了贴合2026年马年生肖的A、B两款手机壳．某超市从厂家购进A、B两款手机壳，第一批购进A款100个，B款200个，总费用为4000元；第二批购进A款40个，B款60个，总费用为1300元． (1)①嘉淇利用画表格（表格不完整）的方法分析数量关系． 进货批次 A款费用 B款费用 总费用 一 4000 二 1300 代表______； 代表______； “”代表______；“”代表______； ②求和的值； (2)第三批进货用8000元钱购进这两款手机壳，如果每售出一个A款手机壳可获利8元，售出一个B款手机壳可获利6元．设第三批购进A款手机壳个，B款手机壳个． ①用含的代数式表示； ②若第三批购进的A、B两款手机壳全部售出，且售出后所得的利润不低于4000元，求的最小值． 【题型2 行程问题】 【例2】甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇． (1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？ 【变式2-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）甲步行的速度为，先走后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？ 【变式2-2】甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【变式2-3】“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【题型3 工程问题】 【例3】为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的． (1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？ (2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建________米． 【变式3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【变式3-3】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【题型4 运输问题】 【例4】用节火车车厢和节汽车能运输化肥，用节火车车厢和节汽车能运输化肥． (1)求每节火车车厢与每节汽车平均能运输多少吨化肥？ (2)某化肥厂要运输一批超过的化肥，火车站恰好有节火车车厢可以运输．请问至少还需要多少辆汽车？ 【变式4-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件和2个B型部件的总质量为2.8吨，2个A型部件和3个B型部件的质量刚好相等． (1)求1个A型部件和1个B型部件的质量各是多少吨？（用二元一次方程组求解） (2)2025年我国汽车出口首次跃居全球第一．现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输A、B两种部件共16件去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【变式4-2】为保障安全，对某大桥的限重作出规定，载重后总质量超过30 吨的车辆禁止通行．现有一辆自重6吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由3个A部件和1个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个 B 部件的总质量为吨，3个A 部件和2个 B部件的质量相等． (1)1个 A 部件和1个B部件的质量分别是多少？ (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套？ 【变式4-3】现打算将一批生活物资用、两种型号的货车，分两批运往外地．具体运输情况如下（备注：第一批、第二批每辆货车均满载）： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ (2)后续又有62.4吨生活物资需运送同一地点，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这62.4吨生活物资运往目的地？ 【题型5 比赛问题】 【例5】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分达到或超过15分才能获得决赛资格．一支球队现已比赛了5场，得8分． (1)前5场比赛中，这支球队共胜了多少场？ (2)这支球队打满10场比赛，最高能得多少分？ (3)如果这支球队要获得参加决赛资格，那么在初赛阶段至少还要胜多少场？ 【变式5-1】（24-25七年级下·河南新乡·期末）学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 【变式5-2】某市高中篮球联赛前三名的积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 14 11 3 36 B 14 8 6 30 C 14 7 7 28 据表格提供的信息解答下列问题： (1)胜一场、负一场各积多少分？ (2)该市高中篮球联赛每个队均需进行20场比赛．A队由于主力受伤，后面的6场比赛仅取得2胜4负的成绩，获得第二名．B队积分超过A队，取得了联赛的冠军，则后面6场比赛B队的赛果如何，请加以分析说明． 【变式5-3】为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【题型6 年龄问题】 【例6】（25-26七年级上·重庆·自主招生）世界上最长寿的动物之一就是北极帘蛤，一般北极帘蛤都可以活到几百岁．现在有一只大北极帘蛤，今年70岁，4只小北极帘蛤的年龄分别是3岁、4岁、5岁、6岁，再过______年，4只小北极帘蛤的年龄之和首次超过大北极帘蛤的年龄． 【变式6-1】（24-25七年级下·上海·期中）小海今年13岁，他的爸爸45岁，那么小海至少_______岁时，他的年龄才能超过爸爸年龄的． 【变式6-2】小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高，枫树高．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高，枫树的平均生长速度是每年长高．请问小明现在的年龄应该超过______岁． 【变式6-3】日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄x(岁) x≤60 60<x<80 x≥80该人的“老人系数” 该人的“老人系数” 0 1 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于0.7时，该人年龄至少为__________. 【题型7 数字问题】 【例7】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是________. 【变式7-1】将，，，，，，，，，这个个自然数填到图中的个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的个格子中所填数字之和都等于．则的最大值是______． 【变式7-2】有一个不小于的两位数，个位上的数比十位上的数字小，则这个两位数是________． 【变式7-3】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【题型8 比例问题】 【例8】（25-26七年级下·广东汕尾·期末）为践行劳动教育，七年级（3）班在劳动课上组织“包饺子·享劳动”主题活动．已知购买1千克饺子馅和2千克饺子皮，需要付50元；购买2千克饺子馅和1千克饺子皮，需要付70元． (1)饺子馅和饺子皮每千克的售价分别是多少元？ (2)已知包饺子时饺子馅和饺子皮的比例为，家委会众筹了240元活动经费，最多能买多少千克饺子馅？ 【变式8-1】某企业生产的一种果汁饮料由A、B两种水果配制而成，其比例与成本如下方表格所示，已知该饮料的成本价为8元/千克，按现价售出后可获利润50%，每个月可出售27500瓶．    （1）求m的值； （2）由于物价上涨，A水果成本提高了25%，B水果成本提高了20%，在不改变售价的情况下，若要保持每个月的利润不减少，则现在至少需要售出多少瓶饮料？ 【变式8-2】去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365天）之比达，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加______天．（结果取整数） 【变式8-3】为了防控新冠病毒，学校积极对校园环境进行消毒，购买了A、B两种消毒液共100升，其中A消毒液每升6元，B消毒液每升9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，那么A、B两种消毒液各买多少升？ (2)学校在使用消毒液的时候发现，如果将A消毒液与B消毒液以的比例混合使用效果最佳，所以这次购买的消毒液按此法使用后，还会剩_______种消毒液_____升． (3)如果学校再次去购买这两种消毒液，预算不超过1500元，依旧按混合使用，则最多再购买多少升A种消毒液能把之前的剩余消毒液一起用完不剩余？ 【题型9 形积问题】 【例9】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）统计资料表明，到2021年年底，A城市的城市建成区面积达，B城市的城市建成区面积比C城市的城市建成区面积大，且B城市与C城市的城市建成区面积之和比A城市的城市建成区面积还少． (1)求2021年B、C两城市的城市建成区面积分别是多少？ (2)2021年A城市的建成区绿地总面积为，若从2022年年初到2025年年底这四年期间，A城市的城市建成区面积平均每年都增加，建成区绿地面积平均每年都增加，要使到2025年年底，A城市的建城区园林绿地率超过（，简称绿地率），求a应超过多少？ 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知一个容量为的杯子中装有一些水，将5颗体积均为的玻璃球放入这个杯中，水没有溢出来，则杯子中原有水的体积最多是______． 【变式9-3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，开水的温度为（整个接水的过程不计热量损失）． 物理知识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （注：水的体积水的流速时间） 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)同学如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果先接温水，再接开水，得到一杯的水，请求出温水的流速和开水的流速分别为多少； (2)小甘同学要接一杯的温水和开水混合的水，先接温水，再接开水，如果最后水杯中水的温度为，求小甘同学接温水的时间； (3)李老师想要接一杯的开水和温水混合的水，他先接秒的开水，再接温水，智能杯盖显示此时的温度为t度，你能用含有的式子表示t吗？若水杯中水的温度不低于60度，李老师接开水的时间至少需要多长时间？ 【题型10 古文问题】 【例10】程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【变式10-1】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，请解决以下问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子? (2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法； (3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛． 【变式10-2】我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-3】（25-26七年级下·河北唐山·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，书中记载：粮仓中储存了黍、稷、稻三种粮食，总重量为石．已知稷的重量是黍的倍；为了应对荒年，规定“备荒用的稻粮，必须多于黍、稷两种粮食的总和”，才能保证灾年供应．设黍的重量为石，下列说法中错误的是（     ） A．稷的重量是石 B．为满足备荒要求，可列不等式 C．当石时，稻粮与黍、稷两种粮食的总和相等 D．当石时，满足备荒要求 【题型11 分段计费问题】 【例11】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）科技之光点亮华夏，智造强国铸就辉煌．2026年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目，成为全球热议焦点．某科技公司抓住机会，推出春晚同款人形机器人模型，其销售价格按购买数量实行分段收费，具体标准如下表： 购买数量 价格标准 不超过30个 800元/个 超过30个 每增加1个，每个售价降低10元，但不低于500元/个 为了让更多青少年体验科技魅力，某青少年科技馆一次性支付28000元购买该模型，请问该科技馆购买了多少个人形机器人模型？ 【变式11-1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方式全部安装天然气后，平均每户支付不足1000元，则这个小区的住户数至少是______户． 【变式11-2】美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费________元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足_________时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少． 【变式11-3】从A地向B地打长途电话，通话3分钟以内（含3分钟）收费2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元（不足1分钟的通话时间按1分钟计费），某人如果有12元话费打一次电话最多可以通话____分钟． 【题型12 方案决策问题】 【例12】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东济南·期中）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案： 方案一：每本可享受八折优惠． 方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折． 学校预计共需购买本读物，方案一购买书本所需要的费用为，方案二购买书本所需要的费用为，请根据要求回答下列问题： (1)请用含的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用： (2)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？ 【变式12-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【变式12-3】（25-26八年级下·河南郑州·期末）【问题提出】某大型超市计划从生产基地购进一批水果，经质检鉴定该批次水果中大果占，小果占，果农给出以下两种提货方案： 方案一：不分大、小果，统一按a元提货； 方案二：大果按m元，小果按n元提货． 问题：超市应如何选择方案才能拿到最合算的提货价？ 【问题解决】设超市要购进水果，按方案一进货需付元，按方案二进货需付元． (1)若，，分别求出，与x之间的关系式，并写出当a满足什么条件时，超市选择方案一更合算； (2)猜想：当a，m，n满足什么关系时，超市选择方案一更合算，请说明理由； (3)若超市选择了方案一，但在运输过程中，大果损耗了，小果损耗了，而超市必须获得不少于的利润才能维持正常经营，则至少应在提货价的基础上提价百分之几？（结果保留百分号前的整数） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $