专题02 实际问题与一元二次方程 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦实际问题与一元二次方程，系统梳理从审题找等量关系、设元列方程到解方程、双重验根的完整解题流程，重点构建增长降低率、图形面积、传播计数三类典型模型，搭建方程解法到实际应用的学习支架。 资料通过10类题型归纳、详细知识清单及易错提醒，结合传播问题列方程、图形面积平移法等实例，培养学生模型意识与推理能力。课中辅助教师系统授课，课后小练助力学生巩固，有效查漏补缺。

专题02实际问题与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.通用解题流程：利用一元二次方程求解实际问题属于数学建模过程，依次完成审题寻找等量关系、合理设未知数、列方程、解方程，之后对根双重检验，既要验证根是否满足方程，又要判断解是否符合现实情境，舍去不合理解再作答，根的取舍是本节应用题的核心要点。 2.典型应用类型：本节有三类基础模型，包括增长（降低）率问题、图形面积问题、传播与计数问题。各类问题具有对应的数量关系，解题时需要识别题型，选用合适模型建立方程。 ✅本节核心是建模解题，重在找准等量关系、套用对应题型模型，并结合实际情境验根取舍，是一元二次方程知识综合运用的重点内容。 ✺学习目标 1.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤。 2.会建立增长率、图形面积、传播计数三类问题的方程模型。 3.能根据实际意义检验并取舍方程的根。 4.能在复杂情境中识别等量关系，构建方程模型。 5.熟练解决三类题型的变式问题。 ✺题型归纳 题型1.传播问题(一元二次方程的应用) 题型2.增长率问题(一元二次方程的应用) 题型3.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型4.数字问题(一元二次方程的应用) 题型5.营销问题(一元二次方程的应用) 题型6.动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型7.行程问题(一元二次方程的应用) 题型8.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型9.其他问题(一元二次方程的应用) 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：列一元二次方程解应用题的步骤 1.审题：读懂题意，找出已知量、未知量，确定等量关系。 2.设元：设未知数，优先直接设元；复杂问题可间接设元，注意带单位。 3.列方程：用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元二次方程。 4.解方程：选择合适方法解方程，得到方程的两个根。 5.检验：两层检验，一是检验数值是否满足方程；二是检验根是否符合实际意义。 6.作答：写出完整答案，舍去不符合实际的根。 【重点提示】一元二次方程一般存在两个实数根，实际问题需要结合现实条件取舍，验根是必不可少的步骤。 知识点二：三类典型实际问题模型 1.增长（降低）率问题 适用场景：连续两次增长或降低，如产量、销量、价格等百分率变化。 模型：设基础量为a，平均变化率为x，经过两次变化后量为b，则a=b。 说明：增长用“+”，降低用“-”；x>0。 2.图形面积问题 适用场景：矩形场地修路、图片边框、裁剪图形、靠墙围栏等。 解题思路：利用矩形、正方形面积公式；道路、边框类常用平移法，将分散空白区域拼接成新矩形，简化边长表达式，再根据面积列方程。 注意：边长必须为正数。 3.传播与计数问题 （1）传播问题 设每轮平均一人传播x人，初始1个传染源，两轮传播后总数量为n，可得(1+x)2=n。 注意：此模型只适用于两轮传播。 （2）计数问题 握手问题（两两只发生1次,无重复）：x(x-1)=总次数； 互赠礼物问题（双向，有重复）：x(x-1)=总件数。 知识点三：解题思路选用原则 1.连续两次百分率变化，直接使用增减率模型； 2.面积问题优先平移割补，简化图形再列式； 3.计数问题区分传播、握手、互赠，匹配对应模型； 4.所有应用题必须检验根的实际意义。 【易错提醒】 1.缺少验根步骤，保留负数、超出范围等无实际意义的根； 2.增长率模型误用，混淆一次变化与连续两次变化； 3.面积问题中边长代数式表达错误，忽略边长大于0的限制； 4.混淆握手、互赠两类计数模型，造成重复或漏算； 5.设未知数不带单位，解题步骤书写不规范。 ✺题型精讲 题型1.传播问题(一元二次方程的应用) 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 3．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 题型2.增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某市平均房价经过两年由每平方米元下降到每平方米元，设年平均下降率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得平均房价下降一年后为每平方米元，下降两年后为每平方米元，结合题目条件选出可列的方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为，故选A． 2．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 3．今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 【答案】 【分析】设图书角这两个月藏书的平均增长率为x，利用该图书角5月底的藏书量=该图书角3月的藏书量，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论． 【详解】解：设图书角这两个月藏书的平均增长率为，则： 或（不合实际，舍去） 答：图书角这两个月藏书的平均增长率为． 题型3.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 2．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 3．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 题型4.数字问题(一元二次方程的应用) 1．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 2．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【答案】和 【分析】设两数中一个数为，则另一个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 3．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 题型5.营销问题(一元二次方程的应用) 1．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【答案】C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 2．以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 3．某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【答案】 元 【分析】设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件，根据总利润每件的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由题意得 整理得， 解得或， ∵ 尽可能让利于顾客， ∴， 答：每件降价元． 题型6.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 2．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 3．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 题型7.行程问题(一元二次方程的应用) 1．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 题型8.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 2．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 3．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】6支 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． 题型9.其他问题(一元二次方程的应用) 1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， ∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 2．某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 设全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，根据全组共相互赠送标本件列方程即可． 【详解】解：由题意，全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本， ∴． 故答案为：． 3．在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 【答案】解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可． 【详解】略 ✺课堂小练 一、单选题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 2．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 3．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 二、填空题 4．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．若设最小的奇数为x，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在数字问题中的应用. 相邻奇数之间相差，所以三个连续的奇数分别为，，，根据题意得到等量关系列出方程. 【详解】解：最小的奇数为 另外两个连续奇数分别为，． 根据它们的平方和为，可列方程为． 故答案为：． 5．某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________． 【答案】 【分析】已知初始产量和两年后的产量，设平均每年增产百分率为，按增长率规律逐年计算两年后的产量，即可列出方程． 【详解】解：∵初始产量为千克，平均每年增产的百分率为， ∴第一年增产完成后的产量为千克， ∵第二年在第一年产量的基础上继续增产， ∴第二年增产完成后的产量为千克， ∴可列方程为． 6．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 三、解答题 7．我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 8．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 9．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实际问题与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.通用解题流程：利用一元二次方程求解实际问题属于数学建模过程，依次完成审题寻找等量关系、合理设未知数、列方程、解方程，之后对根双重检验，既要验证根是否满足方程，又要判断解是否符合现实情境，舍去不合理解再作答，根的取舍是本节应用题的核心要点。 2.典型应用类型：本节有三类基础模型，包括增长（降低）率问题、图形面积问题、传播与计数问题。各类问题具有对应的数量关系，解题时需要识别题型，选用合适模型建立方程。 ✅本节核心是建模解题，重在找准等量关系、套用对应题型模型，并结合实际情境验根取舍，是一元二次方程知识综合运用的重点内容。 ✺学习目标 1.掌握列一元二次方程解应用题的完整步骤。 2.会建立增长率、图形面积、传播计数三类问题的方程模型。 3.能根据实际意义检验并取舍方程的根。 4.能在复杂情境中识别等量关系，构建方程模型。 5.熟练解决三类题型的变式问题。 ✺题型归纳 题型1.传播问题(一元二次方程的应用) 题型2.增长率问题(一元二次方程的应用) 题型3.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型4.数字问题(一元二次方程的应用) 题型5.营销问题(一元二次方程的应用) 题型6.动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型7.行程问题(一元二次方程的应用) 题型8.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型9.其他问题(一元二次方程的应用) 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：列一元二次方程解应用题的步骤 1.审题：读懂题意，找出已知量、未知量，确定等量关系。 2.设元：设未知数，优先直接设元；复杂问题可间接设元，注意带单位。 3.列方程：用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元二次方程。 4.解方程：选择合适方法解方程，得到方程的两个根。 5.检验：两层检验，一是检验数值是否满足方程；二是检验根是否符合实际意义。 6.作答：写出完整答案，舍去不符合实际的根。 【重点提示】一元二次方程一般存在两个实数根，实际问题需要结合现实条件取舍，验根是必不可少的步骤。 知识点二：三类典型实际问题模型 1.增长（降低）率问题 适用场景：连续两次增长或降低，如产量、销量、价格等百分率变化。 模型：设基础量为a，平均变化率为x，经过两次变化后量为b，则a=b。 说明：增长用“+”，降低用“-”；x>0。 2.图形面积问题 适用场景：矩形场地修路、图片边框、裁剪图形、靠墙围栏等。 解题思路：利用矩形、正方形面积公式；道路、边框类常用平移法，将分散空白区域拼接成新矩形，简化边长表达式，再根据面积列方程。 注意：边长必须为正数。 3.传播与计数问题 （1）传播问题 设每轮平均一人传播x人，初始1个传染源，两轮传播后总数量为n，可得(1+x)2=n。 注意：此模型只适用于两轮传播。 （2）计数问题 握手问题（两两只发生1次，无重复）：x(x-1)=总次数； 互赠礼物问题（双向，有重复）：x(x-1)=总件数。 知识点三：解题思路选用原则 1.连续两次百分率变化，直接使用增减率模型； 2.面积问题优先平移割补，简化图形再列式； 3.计数问题区分传播、握手、互赠，匹配对应模型； 4.所有应用题必须检验根的实际意义。 【易错提醒】 1.缺少验根步骤，保留负数、超出范围等无实际意义的根； 2.增长率模型误用，混淆一次变化与连续两次变化； 3.面积问题中边长代数式表达错误，忽略边长大于0的限制； 4.混淆握手、互赠两类计数模型，造成重复或漏算； 5.设未知数不带单位，解题步骤书写不规范。 ✺题型精讲 题型1.传播问题(一元二次方程的应用) 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 3．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型2.增长率问题(一元二次方程的应用) 1．某市平均房价经过两年由每平方米元下降到每平方米元，设年平均下降率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 3．今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 题型3.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 3．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 题型4.数字问题(一元二次方程的应用) 1．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 2．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 3．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 题型5.营销问题(一元二次方程的应用) 1．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 2．以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 3．某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 题型6.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 2．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 3．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 题型7.行程问题(一元二次方程的应用) 1．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 3．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 题型8.握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 1．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 3．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 题型9.其他问题(一元二次方程的应用) 1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 3．在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． ✺课堂小练 一、单选题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 二、填空题 4．三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．若设最小的奇数为x，则可列方程为________． 5．某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________． 6．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 三、解答题 7．我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 8．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 9．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $