专题25.3 实际问题与一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，前承一元二次方程解法，后启综合应用，通过“审设列解验答”步骤梳理、几何图形等六大问题类型归纳及公式总结搭建学习支架。 该资料特色在于融入《九章算术》等数学文化实例，分层设计A/B/C组练习，通过即学即练与变式训练，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理建模的能力。课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

专题25.3 实际问题与一元二次方程 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤； 2.能够熟练的从各种实际问题中抽象出一元二次方程并解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤； （2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式； 2.难点 （1）从数学文化和实际数学问题的表达中抽象出一元二次方程； （2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题； （3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。 知识点01 根据实际问题列一元二次方程的步骤 1.一元二次方程解决实际问题的基本步骤 ①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：根据题中的 ，用含所设未知数的 表示其他未知量，从而列出方程； ④解：选择适当的方法，准确求出方程的解； ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； ⑥答：写出答案。 【即学即练】 1．列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3）_____________； （4）_____________； （5）检验根的合理性； （6）作答． 2．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 知识点02 运用一元二次方程解决常见实际问题 1.与图形有关的静态几何问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2.传播问题 ①传播2次计算公式： 。 ②开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为 。 3.平均增长率问题 若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x，计算公式： ①平均增长类型： 。 ②平均下降类型： 。 4.握手、循环赛问题 ①握手问题（及单循环赛制）：设有x个人互相握手（或x支球队进行单循环赛，即每两队之间只赛一场）；每一个人都要与其他(x−1) 个人握手，每一对组合都被重复计数了两次，因此，实际握手的总次数为 ②双循环赛问题：设有x 支球队进行主客场双循环比赛，一次在主场，一次在客场，所以比赛双方不需要考虑“组合重复”的问题，总场次不需要除以 2。总场次直接为。 5.销售利润问题 计算公式：总利润＝ 现单利＝ 现数量＝ 6.其他实际问题 还有数字问题、动态几何问题、工程问题、行程问题等其他实际问题，均根据题目条件抽象出一元二次方程的等量关系来进行解决。 【即学即练】 3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 4．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 7．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（ ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 9．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有株，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 题型01 由实际问题抽象一元二次方程 【典例1】某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A． B． C． D． （1）考查方向：几何面积问题、平均增长率或下降率问题、传播问题、握手或循环赛问题、数字问题、数学文化背景题等。 （2）核心方法：列方程的关键是抓住题目中的等量关系。解题时先审清题意，明确已知量和未知量；再根据题意设未知数，并用含未知数的代数式表示其他相关量；最后列出方程。 【变式1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A． B． C． D． 【变式2】随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（ ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【中考链接】2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A． B． C． D． 题型02 一元二次方程的实际应用 【典例1】春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查学生能否利用一元二次方程完整解决实际问题，不仅要会列方程，还要会解方程、检验根的合理性并作答。 （2）核心方法：先建模列方程，再解方程，最后结合实际意义取舍答案。​ 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【变式2】某市2010—2012年的国民生产总值（GDP）的年平均增长率为，其中2010—2011年增长率，2011—2012年增长率为，则下列方程成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【中考链接】某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． A组·基础过关 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 2．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 4．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 5．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． B组·能力提升 6．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（ ） A．25 B．26 C．28 D．30 7．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时． A． B． C． D． 9．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ C组·拓展延伸 11．某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 12．2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 13．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 14．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 15．综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 实际问题与一元二次方程 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤； 2.能够熟练的从各种实际问题中抽象出一元二次方程并解决问题。 教学重难点 1.重点 （1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤； （2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式； 2.难点 （1）从数学文化和实际数学问题的表达中抽象出一元二次方程； （2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题； （3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。 知识点01 根据实际问题列一元二次方程的步骤 1.一元二次方程解决实际问题的基本步骤 ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程； ④解：选择适当的方法，准确求出方程的解； ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题； ⑥答：写出答案。 【即学即练】 1．列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3）_____________； （4）_____________； （5）检验根的合理性； （6）作答． 【答案】 列方程 解方程 2．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 知识点02 运用一元二次方程解决常见实际问题 1.与图形有关的静态几何问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2.传播问题 ①传播2次计算公式： 原病例数·（1＋传播数）2=总病例数。 ②开始数量为a,每轮感染的数量为x,经n轮传染后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b。 3.平均增长率问题 若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x，计算公式： ①平均增长类型： 。 ②平均下降类型： 。 4.握手、循环赛问题 ①握手问题（及单循环赛制）：设有x个人互相握手（或x支球队进行单循环赛，即每两队之间只赛一场）；每一个人都要与其他(x−1) 个人握手，每一对组合都被重复计数了两次，因此，实际握手的总次数为 ②双循环赛问题：设有x 支球队进行主客场双循环比赛，一次在主场，一次在客场，所以比赛双方不需要考虑“组合重复”的问题，总场次不需要除以 2。总场次直接为。 5.销售利润问题 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 6.其他实际问题 还有数字问题、动态几何问题、工程问题、行程问题等其他实际问题，均根据题目条件抽象出一元二次方程的等量关系来进行解决。 【即学即练】 3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 4．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 5．为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 6．我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 7．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程． 【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价元， ∴降价后每件的利润为元， ∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价元后每天多售出件， ∴降价后每天的销售量为件， ∵每天总盈利为1400元， ∴可列方程为． 8．在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（ ） A．3秒或5秒 B．5秒 C．3秒 D．8秒 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 9．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有株，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总价和数量求出一株椽的单价，再根据题干给出的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批椽共有株，这批椽的总价钱为文， 则 一株椽的价钱为 文， 依题意有： ． 题型01 由实际问题抽象一元二次方程 【典例1】某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），建立关于面积和边长的等量关系，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， ∴根据矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程：． （1）考查方向：几何面积问题、平均增长率或下降率问题、传播问题、握手或循环赛问题、数字问题、数学文化背景题等。 （2）核心方法：列方程的关键是抓住题目中的等量关系。解题时先审清题意，明确已知量和未知量；再根据题意设未知数，并用含未知数的代数式表示其他相关量；最后列出方程。 【变式1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式2】随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆．设每个月销量的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个月销量的平均增长率为，由题意可得，2月份销量为，3月份销量为，根据3月份的销量比1月份增加了1000辆，即可列出方程． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， ∵1月份销量为辆， ∴2月份销量为，3月份销量为， 又∵3月份的销量比1月份增加了辆，即3月份销量为， ∴可得方程． 【变式3】小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 【变式4】某体育赛事经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛30场，则参加比赛的球队有（ ） A．5支 B．6支 C．7支 D．8支 【答案】B 【分析】设参加比赛的球队数量为，根据双循环赛制的场次规则列出一元二次方程，求解后舍去负根即可得到结果 【详解】解：设参加比赛的球队有支， ∵双循环赛制中，每两队之间进行场比赛， ∴总比赛场次可表示为 根据题意列方程得， 整理得， 解得 ，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去负根， 得，即参加比赛的球队有支 【中考链接】2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 题型02 一元二次方程的实际应用 【典例1】春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（利润问题），正确理解题意是解题的关键．利用“总利润每副春联的利润销售量”的等量关系列方程． 【详解】解：设春联售价定为元，则每副春联的利润为元， 根据题意，得． 故选：C． （1）考查方向：考查学生能否利用一元二次方程完整解决实际问题，不仅要会列方程，还要会解方程、检验根的合理性并作答。 （2）核心方法：先建模列方程，再解方程，最后结合实际意义取舍答案。​ 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 【变式2】某市2010—2012年的国民生产总值（GDP）的年平均增长率为，其中2010—2011年增长率，2011—2012年增长率为，则下列方程成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，解题思路为设初始GDP，分别用分年增长率和年平均增长率表示出两年后的GDP，根据总量相等列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 【变式3】化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 【变式4】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【中考链接】某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． A组·基础过关 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 2．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 3．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 4．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 5．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． B组·能力提升 6．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（ ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人，根据一共有352人建立方程求解即可． 【详解】解：设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴方队每横排的人数为25人， 故选：A． 7．某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 8．甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 9．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 10．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． C组·拓展延伸 11．某城市发生疫情，第x天（1≤x≤12）新增病例y（人）如下表所示： x 1 2 3 4 …… 11 12 y 1 16 33 53 …… 241 276 (1)疫情前12天的人数模型基本符合二次函数，根据图表，求出二次函数解析式； (2)由于政府进行管控，第12天开始新增病例逐渐下降，第x天（x>12）新增病例y（人）近似满足．请预计第几天新增病例清零； (3)为应对本轮疫情，按照每一确诊病例需提供一张病床的要求，政府准备了2100张病床．你认为病床够了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)够用，理由见解析 【分析】（1）从图表中取两组x与y的值，分别代入二次函数求得a与b的值即可； （2）令中y的值等于0，解方程即可求解； （3）求得前12天确诊病例的总人数与2100相比较即可求解． 【详解】（1）由题意得， 当，时，① 当，时，② 解①②组成的方程组得 ， ∴二次函数的解析式为． （2）∵， ∴， 由题意得，则， 解得或(不合题意，舍去)， ∴预计第天新增病例清零． （3）由题意得，到第12天时，新增确诊病例最多， ∴最多确诊病例为： ， ∴政府准备了2100张病床，病床够用． 12．2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)售价应定为50元 【分析】（1）根据“吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个”列函数关系式即可． （2）设售价上涨x元，根据“超市要实现平均每月10000元的销售利润”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵售价在40元至60元范围内， ∴， 则y与x的函数关系式为； （2）解法一：设售价上涨x元． 依题意得：， 解得：，． ∴当时，售价为元； 当时，售价为元， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 解法二：设售价应定为x元． 依题意得：， 解得：，， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 13．某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 14．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】(1)10%， (2)4元． 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 15．综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】(1)29，21 (2)， (3)66米 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【详解】（1）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． （2）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． （3）解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $