26.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕二次函数图象求一元二次方程近似根展开，通过“温故知新”表格回顾二次函数与x轴交点、方程根及判别式的关系，搭建旧知到新知的学习支架，为近似根求解奠定基础。 其亮点在于采用数值迭代逼近法（如例2中通过区间取值计算y值逐步缩小范围），结合表格系统梳理二次函数与不等式的联系，培养学生几何直观和运算能力。通过具体练习（如判断方程根的范围），帮助学生发展数学思维，教师可借助清晰结构提升教学效率。

26.3 二次函数与一元二次方程 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 温故知新 例2 利用函数图象求方程x²-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示. 尝试多次估算x1、 x2 ： -1 ≤ x1 ≤ -0.5， 2.5 ≤ x2 ≤ 3. 方法提示：在预估的范围内取x值计算y值，根据所得y值的正负逐步调整取值范围，逐步逼近近似值. 知识点1 利用二次函数的图象求与一元二次方程根的近似值 探索新知 y= x²-2x-2 根x1 2.5 ≤ x1 ≤ 3 0.0625 2.75 -0.35938 2.625 -0.15234 2.6875 -0.0459 2.71875 0.00807 2.73438 -0.01899 2.72656 -0.00547 2.73047 0.00131 2.73243 根据y的正负去进一步逼近x的准确值. 下一步是在2.6875~2.75之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. 2.7≈ y= x²-2x-2 根x2 -1 ≤ x2 ≤ -0.5 0.0625 -0.75 -0.35938 -0.625 -0.15234 -0.6875 -0.04590 -0.71875 0.00807 -0.73438 -0.01896 -0.72657 -0.00547 -0.73047 0.00131 -0.73243 下一步是在-0.75 ~ -0.6875之间选取，此时这个区间范围已小于0.1，可以不用继续了. -0.7≈ 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 求抛物线y=x2-2x-2与x轴的 公共点的横坐标. 当二次函数y=x2-2x-2的函数值是0时，求自变量x的值. 求方程x2-2x-2=0 的实数根 抛物线 y=x2-2x-2 抛物线与x轴的公共点的横坐标 方程x2-2x-2=0 的实数根 -0.7 2.7 例题解析 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴 的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). -0.7 2.7 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 例题解析 解：(1) 画出函数y=x2−3x+1的图象，它与x轴 的公共点的横坐标大约是0.4，2.6. 所以方程x2−3x+1=0的实数根为 x1≈0.4，x2≈2.6. 利用函数图象求下列方程根的近似值(结果保留小数点后一位): (1)x2−3x+1=0； (2)x2−x+1=0. 0.4 2.6 对应练习 解：(2) 画出函数y=x2−x+1的图象， 它与x轴无公共点. 所以方程x2−x+1=0无实数根. 对应练习 利用函数图象求下列方程根的近似值(结果保留小数点后一位): (1)x2−3x+1=0； (2)x2−x+1=0. 问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是____________； x1=-1，x2=3 不等式ax2+bx+c>0的解集是____________； x<-1或x>3 不等式ax2+bx+c<0的解集是____________. -1<x<3 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是____ ______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点， 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 1 (2, 0) 2 0 y O x 当a>0时，ax2+bx+c<0无解； 当a<0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 x<x1或x>x2 x1<x<x2 有一个交点 x≠x1或x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 1. 如图，二次函数y1＝x2＋2x与一次函数y2＝x＋2的图象相交于两点，观察图象回答下列问题： (1)当x满足______________时，y1＝y2；(2)当x满足___________时，y1<y2；(3)当x满足___________时，y1<0. x＝1或x＝－2 －2＜x＜1 －2＜x＜0 对应练习 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是_____________；(2)当x满足___________时，y<0. x1＝1，x2＝3 x＜1或x＞3 对应练习 总结：(1)对于抛物线y＝ax2＋bx＋c： y>0，是指函数图象在x轴_____的部分；y＝0，是指________________________；y<0，是指____________________的部分. (2)对于两个函数y1，y2： y1>y2，是指y1比y2图象高的部分；y1＝y2，是指y1与y2图象的_____；y1<y2，是指____________________. 上面 函数图象与x轴的交点 函数图象在x轴下面 交点 y1比y2图象低的部分 A.2.18 B.2.68 C.－0.51 D.2.45 1.如图，点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的解的一个近似值可能是( ) D 课堂练习 A.1＜x＜2 B.2＜x＜3 C.－3＜x＜－2 D.0＜x＜1 2.[2025·淮北期中]如表列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝6的其中一个解的取值范围是( ) A x … －2 －1 0 1 … y … 15 3 －1 3 … 3.用图象法求方程x2－x＋＝0的解. 解：图象如下：   由图象可知抛物线与x轴的交点为， ∴原方程的解为x1＝x2＝. A.2＜x＜3 B.3＜x＜4 C.4＜x＜5 D.5＜x＜6 4.如图，以(1，－3)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于A点，则ax2＋bx＋c＝0的正数解的取值范围是( ) C 5.利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝－1时，y＞0，所以方程x2－2x－2＝0有一个根在－1和0之间. (1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； 解：(1)利用函数y＝x2－2x－2的图象可知， 当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，所以方程x2－2x－2＝0的另一个根在2和3之间. (2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围. (2)易知函数y＝x2－2x＋c的对称轴为直线x＝1， 由题意得解得0＜c＜1. 6. (教材P48例2·改编)阅读材料，解答问题. 利用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0. 解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数. ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上. 当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3. ∴抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知，当x＜－1或x＞3时，y＞0. ∴x2－2x－3＞0的解集是x＜－1或x＞3. B层 提升练 (1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3＜0的解 集是 ⁠； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0. (2)解：设y＝x2－1，则y是x的二次函数. ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上. 当y＝0时，x2－1＝0. 解得x1＝－1，x2＝1. ∴抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示. －1＜x＜3　 (2)解：设y＝x2－1，则y是x的二次函数. ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上. 当y＝0时，x2－1＝0. 解得x1＝－1，x2＝1. ∴抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示. 答图 观察函数图象可知，当x＜－1或x＞1时，y＞0. ∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1. B层 提升练 7. (思想方法·数形结合)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中 y与x的部分对应值如下表，则下列判断中，正确的是(　D　) x … －1 0 1 3 … y … －5 1 3 －5 … A. 图象开口向上 B. 图象与y轴交于负半轴 C. 当x＝4时，y＞0 D. 方程ax2＋bx＋c＝0的正根在2与3之间 D C层 拓展练 8.[数形结合思想]已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的两个根分别为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则下列结论正确的是( ) A.x3＜x1＜x2＜x4 B.x1＜x3＜x4＜x2 C.x1＜x2＜x3＜x4 D.x3＜x4＜x1＜x2 B 利用函数图象求方程ax2+bx+c=0的根的近似值. 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点的横坐标. 当二次函数y=ax2+bx+c的函数值是0时，求自变量x的值. 求方程ax2+bx+c=0 的实数根 抛物线 y=ax2+bx+c 抛物线与x轴的公共点的横坐标 方程ax2+bx+c=0 的实数根 问题转化 问题解决 课堂小结 $